Разложение на множители
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться представлять многочлен в виде произведения множителей, применяя вынесение общего множителя за скобки, и самостоятельно выполнить не менее 3 из 4 заданий без ошибок.
- Сформировать представление о разложении многочлена на множители как о действии, обратном раскрытию скобок.
- Научить находить общий множитель и выносить его за скобки, проговаривая каждый шаг алгоритма.
- Развивать умение анализировать выражение, выбирать рациональный способ преобразования и проверять результат раскрытием скобок.
- Воспитывать внимательность к записи, готовность сотрудничать в паре и ответственность за результат общей работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик проявляет познавательный интерес к преобразованию математических выражений и видит его практическую пользу.
- Осознаёт значение аккуратной записи, самопроверки и исправления ошибок.
- Положительно относится к совместному поиску способа решения и уважительно оценивает ответ одноклассника.
- Формирует установку на преодоление затруднения через последовательное выполнение алгоритма.
Метапредметные
- Умеет ставить учебную цель после выявления затруднения и планировать последовательность действий.
- Извлекает информацию из формулы, схемы и условия задачи, преобразует её в математическую запись.
- Сотрудничает в паре, формулирует вопрос, объясняет способ решения и аргументирует выбор общего множителя.
- Осуществляет самопроверку по обратному действию — раскрытию скобок, фиксирует и исправляет ошибку.
Предметные
- Знать смысл разложения многочлена на множители как представления суммы или разности в виде произведения.
- Уметь находить общий множитель одночленов и выносить его за скобки.
- Уметь раскладывать на множители выражения вида $ab+ac=a(b+c)$ и $ab-ac=a(b-c)$.
- Владеть алгоритмом разложения и проверять полученный результат раскрытием скобок.
- Применять разложение на множители для упрощения вычислений в простой жизненной задаче.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель: научиться видеть общий множитель и использовать его для преобразования выражения.
- Осознают связь математической точности с качеством результата в учебной и практической деятельности.
- Проявляют готовность спокойно относиться к ошибке как к источнику нового способа действия.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и результат группы.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную задачу, сформулированную на основе проблемного примера.
- Планируют действия: найти общий множитель, определить оставшиеся множители, записать произведение, выполнить проверку.
- Контролируют знак, коэффициенты и буквы в каждом слагаемом.
- Оценивают работу по критериям и корректируют решение после самопроверки.
Познавательные УУД
- Выделяют общий признак слагаемых и классифицируют выражения по наличию общего множителя.
- Сравнивают раскрытие скобок и разложение на множители как взаимно обратные действия.
- Строят математическую модель жизненной ситуации с помощью буквенного выражения.
- Используют символическую запись, таблицу и алгоритм для решения учебной задачи.
Коммуникативные УУД
- Формулируют объяснение решения с использованием математических терминов.
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Задают уточняющие вопросы о выборе общего множителя и корректно исправляют ошибку партнёра.
- Представляют общий результат классу и аргументируют его проверкой раскрытием скобок.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с примерами $3x+3y$, $5a-10b$, $4m+8$ и схемой обратных действий.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки для парной игры «Собери произведение»: слагаемые на одной половине и соответствующие произведения на другой.
- Раздать каждому ученику лист самооценки с пунктами «нахожу общий множитель», «выношу за скобки», «проверяю раскрытием скобок».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и листы для рефлексии.
- Вывести на доску или экран памятку: «1. Найди общий множитель. 2. Раздели каждое слагаемое на него. 3. Запиши множитель перед скобками. 4. Проверь».
- Подготовить таймер, маркеры и сигнальные карточки для работы в парах.
- Подготовить слайд с межпредметным контекстом: площадь прямоугольника со сторонами $x+3$ и $4$, выраженная двумя способами.
- Освободить небольшой участок класса для короткой физкультминутки без оборудования.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и вызвать интерес к поиску нового способа преобразования выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, учебные материалы должны лежать справа от вас. Сегодня нам понадобится внимательность и умение замечать общее. Покажите большой палец, если готовы работать." | Проверяют принадлежности, показывают сигнал готовности, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает выражение $4x+12$ и обращается к классу: "Представьте, что это две части одной конструкции. Что общего у слагаемых? Можно ли записать выражение короче, не изменив его значения? Пока не называйте случайный ответ, сначала обсудите мысль с соседом по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | 30 секунд обдумывают ответ, 1 минуту обсуждают в парах, предлагают варианты: "$4$ является общим множителем", "$4x+12=4(x+3)$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что иногда длинную сумму можно представить как произведение. Сейчас выясним, как выполнять такое преобразование по точному алгоритму."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить распределительное свойство умножения и подготовить его использование в обратном направлении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске $3(a+5)$, $-2(4x-1)$ и спрашивает: "Как раскрыть скобки? Какой множитель умножается на каждый член в скобках? Объясняйте не только ответ, но и знак." Учитель фиксирует правильные преобразования. | По очереди проговаривают: "$3(a+5)=3a+15$"; "$-2(4x-1)=-8x+2$"; называют распределительное свойство и следят за знаками. |
2 мин | Учитель предлагает мини-проверку «Светофор»: "Покажите цвет, если готовы проверить утверждение: $5(x+2)=5x+2$; $4(a-b)=4a-4b$; $-3(y+1)=-3y-3$. После каждого ответа объясните ошибку или подтвердите равенство." | Поднимают зелёную, жёлтую или красную карточку; исправляют первое утверждение: "$5(x+2)=5x+10$"; подтверждают два следующих. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Распределительное свойство помогает раскрывать скобки. Сегодня мы направим это свойство в обратную сторону и научимся находить множитель перед скобками."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель и план урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает выражение $6x+18$ и говорит: "Попробуйте записать его в виде произведения двух множителей. Нельзя просто сократить выражение и нельзя менять его значение. Что мешает выполнить задание сразу?" Учитель принимает разные гипотезы и фиксирует затруднение. | Пробуют записать выражение, замечают общий множитель $6$, формулируют затруднение: «Нужно понять, что вынести за скобки и что оставить внутри». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какую цель поставим? Какие шаги помогут её достичь? Как проверим, что не ошиблись?" На доске записывает формулировку, предложенную классом. | Формулируют цель: «Научиться раскладывать многочлен на множители». Предлагают план: найти общий множитель, разделить слагаемые, записать скобки, раскрыть скобки для проверки. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение стало понятным: мы умеем раскрывать скобки, но пока не умеем выполнять обратное действие. Откроем этот способ вместе и оформим его как алгоритм."
Этап 4. Открытие нового знания (8 мин)
Цель этапа: вывести правило вынесения общего множителя за скобки и научиться применять его к выражениям с буквами и знаками.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает цепочку: $4x+12=4\cdot x+4\cdot3=4(x+3)$. "Посмотрите на каждый шаг. Какой общий множитель есть у слагаемых? На что разделили $4x$ и $12$? Почему в скобках появились $x$ и $3$?" | Находят общий множитель $4$, объясняют: "$4x:4=x$, $12:4=3$", формулируют равенство $4x+12=4(x+3)$. |
3 мин | Учитель разбирает пример со знаком: $5a-10b=5\cdot a-5\cdot2b=5(a-2b)$. "Обратите внимание: знак минус остаётся внутри скобок. Нельзя потерять его. Как проверить результат?" | Записывают пример, называют общий множитель $5$, объясняют сохранение знака, предлагают раскрыть скобки: $5(a-2b)=5a-10b$. |
2 мин | Учитель формулирует алгоритм и просит одного ученика проговорить его классу: "Шаг первый — найдите общий множитель всех слагаемых. Шаг второй — разделите каждое слагаемое на него. Шаг третий — вынесите множитель за скобки. Шаг четвёртый — проверьте раскрытием скобок." | Один ученик проговаривает алгоритм, остальные сверяют его с записью на доске и задают уточняющие вопросы. |
Запись в тетрадях
Разложение на множители — это представление суммы или разности в виде произведения. Основное правило: $ab+ac=a(b+c)$. Алгоритм: найти общий множитель; разделить на него каждое слагаемое; вынести его за скобки; проверить раскрытием скобок.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили правило и проверили его на выражениях с положительными и отрицательными слагаемыми. Теперь применим алгоритм сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Физкультминутка с математическим содержанием (3 мин)
Цель этапа: снять утомление и повторить структуру алгоритма через двигательную активность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Встаньте рядом с партами. Я называю шаг алгоритма, а вы выполняете движение: «найти общий множитель» — поднимаем руки вверх; «разделить слагаемые» — наклон вправо и влево; «вынести за скобки» — вытягиваем руки вперёд; «проверить» — ставим большой палец вверх. Повторяем в возрастающем темпе." | Выполняют движения, хором повторяют: «найти — разделить — вынести — проверить», затем садятся и готовят тетради к работе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили последовательность действий и готовы использовать её без подсказки. Переходим к первым тренировочным примерам."
Этап 6. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм через совместное решение и взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки парам и объясняет приём «Собери произведение»: "В каждой карточке нужно разложить выражение на множители и соединить его с правильной записью-произведением. Сначала решает один партнёр, второй проверяет раскрытием скобок, затем вы меняетесь ролями." | Получают карточки, распределяют роли и записывают первый пример: $3x+15=3(x+5)$. |
3 мин | Учитель предлагает задания: $7a+14$, $-4m+12$, $6p-9q$. "Не называйте только ответ. Обязательно проговаривайте общий множитель и результат деления каждого слагаемого." | Решают в парах: $7(a+2)$; $-4(m-3)$; $3(2p-3q)$. Проверяют раскрытием скобок и исправляют записи. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Поставьте знак «+», если общий множитель выбран верно, и коротко запишите совет при ошибке." | Обмениваются карточками, проверяют три выражения, записывают две сильные стороны и одно пожелание по приёму «Две звезды и пожелание». |
Эталон решения
Для $6p-9q$ общий множитель равен $3$: $6p:3=2p$, $-9q:3=-3q$. Поэтому $6p-9q=3(2p-3q)$. Проверка: $3(2p-3q)=6p-9q$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете находить общий множитель и объяснять решение партнёру. Теперь каждый покажет, насколько уверенно выполняет алгоритм самостоятельно."
Этап 7. Самостоятельная работа и межпредметная связь (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение алгоритма и показать связь разложения на множители с геометрией и практическими вычислениями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. "Выберите уровень по своей готовности. Обязательная часть — два выражения, повышенный уровень — ещё одно. Работайте самостоятельно и записывайте все шаги. В конце проверьте хотя бы один ответ раскрытием скобок." На карточках: минимум — $8x+16$, $12a-18$; базовый — $15m+10n$, $-6y-9$; повышенный — вычислить $37\cdot18+37\cdot2$ разложением общего множителя. | Индивидуально решают выбранные задания: $8(x+2)$; $6(2a-3)$; $5(3m+2n)$; $-3(2y+3)$; для вычисления получают $37(18+2)=37\cdot20=740$. |
3 мин | Учитель показывает на экране задачу: "Прямоугольная площадка имеет длину $x+3$ метров и ширину $4$ метра. Запишите её площадь и преобразуйте выражение двумя способами. Что означает общий множитель в геометрической модели?" | Записывают площадь $S=4(x+3)=4x+12$, объясняют: «$4$ — ширина, а разложение показывает сумму площадей прямоугольников со сторонами $4$ и $x$, $4$ и $3$». |
Эталон решения
Площадь прямоугольника: $S=4(x+3)$. При раскрытии скобок $S=4x+12$. Обратное преобразование: $4x+12=4(x+3)$. Общий множитель $4$ имеет геометрический смысл ширины обеих частей составной фигуры.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что разложение на множители помогает не только преобразовывать буквы, но и быстро считать и описывать площадь. Осталось оценить свой результат и сформулировать, что стало понятным, а что требует тренировки."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить новый способ действия, выявить затруднения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно найти общий множитель и выполнить проверку; жёлтую — если нужна тренировка; красную — если пока требуется помощь. Заполните лист самооценки одним конкретным примером." | Выбирают цвет, отмечают в листе самооценки освоенные действия, записывают пример, который умеют решать, и вопрос, который остался. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что является первым шагом алгоритма? Почему знак минус нельзя потерять? Каким действием проверяем ответ? Где в жизни или в других предметах может пригодиться вынесение общего множителя?" | Отвечают: «Сначала ищем общий множитель»; «минус входит в оставшийся множитель»; «проверяем раскрытием скобок»; приводят пример с площадью и быстрыми вычислениями. |
2 мин | Учитель объясняет домашнюю работу: "Выберите уровень, соответствующий вашей сегодняшней уверенности. В каждом решении записывайте общий множитель и выполняйте одну проверку раскрытием скобок. Если выбираете продвинутый уровень, объясните смысл преобразования словами." | Записывают выбранный уровень и содержание задания, задают уточняющие вопросы, сверяют запись с доской. |
Домашнее задание: базовый уровень — выполнить 4 выражения на вынесение общего числового множителя за скобки; средний уровень — решить 5 выражений с буквенными коэффициентами и знаками плюс и минус, два ответа проверить раскрытием скобок; продвинутый уровень — решить 3 задачи на упрощение вычислений или нахождение площади, используя разложение на множители, и письменно объяснить один выбранный способ.
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания и задание выбранного уровня, общий множитель найден правильно, знаки сохранены, не менее двух преобразований проверены раскрытием скобок.
- «4» — верно выполнены обязательные задания, допущена не более одной арифметической или знаковой ошибки, алгоритм в целом записан правильно.
- «3» — верно выполнено не менее половины обязательных заданий, общий множитель найден хотя бы в двух выражениях, но имеются ошибки в скобках или проверке.
- Ниже базового уровня — ученик вместе с учителем повторяет поиск общего множителя на двух простых выражениях и выполняет коррекционное задание.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что является первым шагом при разложении многочлена на множители? | Проверка понимания начала алгоритма и умения выделять общий признак. |
Как проверить, что запись $6x+12=6(x+2)$ выполнена верно? | Выявление понимания обратной связи между разложением и раскрытием скобок. |
Какое выражение сегодня оказалось самым трудным и почему? | Выявление точек затруднения: общий множитель, знак или деление слагаемых. |
Где можно использовать разложение на множители вне урока математики? | Осознание практической и межпредметной ценности нового действия. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились превращать сумму или разность в произведение, находя общий множитель. Запомните главный порядок действий: найти, разделить, вынести, проверить. Самая частая ошибка — потерять знак минус или забыть один из членов выражения, поэтому всегда выполняйте проверку раскрытием скобок. На следующем уроке мы продолжим разложение на множители и рассмотрим случаи, когда общий множитель связан не только с числом, но и с буквой. Спасибо за внимательную и активную работу."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 выражения на вынесение общего числового множителя за скобки, включая два выражения с разностью. В двух примерах выполнить проверку раскрытием скобок. | Закрепляет поиск общего множителя и правильную работу со знаками; при проверке смотреть на полноту записи и сохранение исходного выражения. |
Средний (повышающий) | Решить 5 выражений с буквенными коэффициентами, например вида $ab+ac$ и $ab-ac$, выбрать общий множитель и проверить не менее трёх ответов. | Формирует перенос алгоритма на буквенные выражения; при проверке смотреть, что в скобках получены частные от деления каждого слагаемого. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 3 практические задачи на быстрые вычисления или площадь прямоугольной составной фигуры с использованием разложения на множители и письменно объяснить один способ. | Развивает применение, анализ и математическое моделирование; при проверке оценивать обоснование выбора множителя и связь записи с условием. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти общий множитель? Как записать выражение после вынесения множителя за скобки? Каким действием проверить результат? Выполните устно: $9x+18=...$»
