Построение треугольника по трём сторонам и вычисление его периметра
Цели и задачи
- Цель: научиться строить треугольник по трём заданным сторонам с помощью циркуля и линейки, а также вычислять периметр полученных фигур.
- Образовательная задача: изучить алгоритм построения треугольника по трем сторонам и экспериментально проверить условие существования треугольника.
- Развивающая задача: развивать навыки работы с чертёжными инструментами (циркуль, линейка) и логическое мышление через анализ возможности построения.
- Воспитательная задача: формировать культуру графического труда и аккуратность при выполнении геометрических построений.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию.
- Умение ясно и точно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Развитие критического мышления через проверку гипотез о возможности построения фигуры.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей и осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать алгоритм построения треугольника по трём сторонам.
- Уметь пользоваться циркулем и линейкой для геометрических построений.
- Владеть понятием периметра и формулой его вычисления для треугольника.
- Понимать и применять неравенство треугольника (сумма двух сторон всегда больше третьей).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Дальнейшее развитие интереса к математике как к инструменту познания мира.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Поиск и выделение необходимой информации из текста учебника.
- Моделирование геометрических объектов.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Взаимопроверка и коррекция действий партнера.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить демонстрационный набор: большой циркуль для доски, линейка.
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (3 варианта сложности) — 30 шт.
- Подготовить презентацию со слайдами: 1. Визуальный крючок (чертежи Леонардо да Винчи); 2. Алгоритм построения; 3. Задача-ловушка.
- Проверить наличие у каждого ученика циркуля, линейки, простого карандаша и ластика.
- Открыть учебник математики 6 класса (под ред. Виленкина) на странице 142.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и визуальный крючок (3 мин)
Цель этапа: эмоционально настроить учащихся на работу и вызвать интерес к теме через исторический контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель: "Здравствуйте, юные математики! Посмотрите на экран. Перед вами чертежи великого Леонардо да Винчи. Он говорил, что механика — это рай математических наук. Но чтобы построить любую машину, нужно уметь идеально точно чертить простейшие фигуры. Сегодня мы с вами станем инженерами-конструкторами. Но сначала проверим, всё ли у нас готово. Поднимите вверх ваши циркули — наши главные инструменты сегодня!" | Ученики приветствуют учителя, рассматривают слайд с чертежами, проверяют наличие инструментов на столе и поднимают циркули, демонстрируя готовность. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, инструменты в руках мастеров. Сегодня мы научимся строить то, что кажется простым, но требует ювелирной точности."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить базовые понятия (периметр, свойства треугольника), необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель: "Давайте вспомним базу. Что такое периметр фигуры? Как найти периметр треугольника, если известны его стороны a, b и c? Запишите формулу на полях тетради." | Ученики отвечают: "Периметр — это сумма длин всех сторон". Записывают в тетрадях: P = a + b + c. |
3 мин | Учитель организует блиц-опрос: "Если стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 8 см, чему равен периметр? А если треугольник равносторонний со стороной 10 см?" | Ученики устно вычисляют: "18 см" и "30 см". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "С расчётами вы справляетесь блестяще. А сможете ли вы начертить треугольник, если я просто назову длины его сторон?"
Этап 3. Выявление затруднения и постановка проблемы (5 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: создать проблемную ситуацию, где старый способ (рисование «на глаз») не работает.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель: "Задание: попробуйте в тетради с помощью только линейки начертить треугольник со сторонами 7 см, 2 см и 3 см. Даю вам одну минуту." | Ученики пытаются выполнить построение. У них не получается соединить стороны так, чтобы получился треугольник (стороны 2 и 3 слишком коротки). |
2 мин | Учитель: "Вижу замешательство. Почему не получается? В чём проблема? И как нам построить треугольник максимально точно, чтобы не гадать с углами?" | Ученики формулируют: "Концы отрезков не соединяются!", "Нам нужен точный способ, чтобы понять, где именно должна быть вершина". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Значит, нам нужен чёткий алгоритм и специальный инструмент. Сегодня мы откроем секрет построения с помощью циркуля."
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения (3 мин)
Цель этапа: сформулировать цель урока и составить план действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель: "Какова цель нашего урока? Давайте составим план. Что нам нужно сделать сначала? Что потом? Используем приём 'Снежный ком' — предлагайте пункты плана." | Ученики формулируют цель: "Научиться строить треугольник циркулем". План: 1. Узнать алгоритм. 2. Потренироваться строить. 3. Понять, когда треугольник построить нельзя. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План готов. Приступаем к реализации нашего инженерного проекта."
Этап 5. Реализация проекта — Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: изучить и отработать алгоритм построения треугольника по трем сторонам.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель показывает построение на доске: "Смотрите внимательно. Нам нужно построить треугольник со сторонами a=6 см, b=5 см, c=4 см. Шаг 1: Чертим линейкой основание 6 см. Шаг 2: Берем циркуль, отмеряем по линейке 5 см. Ставим иглу в один конец основания и проводим дугу. Шаг 3: Отмеряем циркулем 4 см, ставим иглу в другой конец и проводим вторую дугу до пересечения. Шаг 4: Соединяем точку пересечения с концами основания." | Ученики внимательно следят за действиями учителя, затем пошагово повторяют построение в тетрадях, используя свои инструменты. |
5 мин | Учитель: "Теперь вернемся к нашей ловушке: 7 см, 2 см и 3 см. Попробуйте проделать то же самое циркулем. Что вы видите на бумаге?" | Ученики выполняют построение и видят, что дуги не пересекаются. Делают вывод: сумма двух сторон должна быть больше третьей ($2 + 3 < 7$). |
Запись в тетрадях
Алгоритм построения треугольника (SSS):
1. Отложить одну из сторон как основание.
2. Раствором циркуля, равным второй стороне, провести дугу из одного конца основания.
3. Раствором циркуля, равным третьей стороне, провести дугу из другого конца.
4. Точку пересечения дуг соединить с концами основания.
1. Отложить одну из сторон как основание.
2. Раствором циркуля, равным второй стороне, провести дугу из одного конца основания.
3. Раствором циркуля, равным третьей стороне, провести дугу из другого конца.
4. Точку пересечения дуг соединить с концами основания.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли закон: треугольник существует только тогда, когда дуги пересекаются! А теперь закрепим навык."
Этап 6. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм в парах с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель: "Работаем в парах (приём 'Think-Pair-Share'). Задание: постройте треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 6 см. Один из вас диктует шаг алгоритма, другой выполняет. Затем меняетесь ролями и вычисляете периметр этого треугольника." | Ученики работают в парах, контролируют точность установки иглы циркуля. Вычисляют: P = 5 + 5 + 6 = 16 см. Сверяют результаты с соседями. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу много ровных треугольников. Вы отлично сработались в командах!"
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы и умения применять алгоритм.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки с заданием: 'Построить треугольник со сторонами 4 см, 7 см и 5 см. Найти его периметр. Записать, является ли он равнобедренным'. Выводит эталон на экран. | Ученики самостоятельно выполняют построение и расчеты в тетрадях. |
2 мин | Учитель: "Сверьте свой чертеж с эталоном на экране. Если дуги пересеклись в той же точке и P=16 см — поставьте себе плюс." | Ученики проводят самопроверку, исправляют ошибки, если они есть. |
Эталон решения
1. Основание $AC = 7$ см.
2. Дуга из точки $A$ радиусом 4 см.
3. Дуга из точки $C$ радиусом 5 см.
4. Точка пересечения $B$.
5. $P = 4 + 7 + 5 = 16$ см.
Ответ: треугольник разносторонний.
2. Дуга из точки $A$ радиусом 4 см.
3. Дуга из точки $C$ радиусом 5 см.
4. Точка пересечения $B$.
5. $P = 4 + 7 + 5 = 16$ см.
Ответ: треугольник разносторонний.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство справилось! Те, у кого возникли трудности с циркулем, не переживайте — это вопрос практики."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учениками своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель: "Наш урок-исследование подходит к концу. Поднимите зеленую карточку, если вы теперь можете построить любой треугольник, и красную, если вам еще нужна помощь." | Ученики проводят самооценку, поднимая карточки соответствующего цвета. |
2 мин | Учитель диктует домашнее задание и комментирует его выполнение. | Ученики записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — треугольник построен идеально точно (линии тонкие, точки пересечения четкие), алгоритм соблюден, периметр вычислен верно.
- «4» — построение верное, но есть небольшие неточности в измерениях (до 2 мм) или неаккуратность в чертеже.
- «3» — алгоритм понят, но допущены грубые ошибки в использовании циркуля или в расчете периметра.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В каком случае треугольник построить невозможно? | Проверка понимания неравенства треугольника. |
Какой шаг в алгоритме показался самым сложным? | Выявление технических трудностей с инструментами. |
Где в жизни может пригодиться навык точного построения фигур? | Связь с практической деятельностью и профориентация. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы с вами убедились, что геометрия — это не только цифры, но и искусство точности. Вы научились укрощать циркуль и узнали, что не каждые три отрезка могут стать семьей-треугольником. На следующем уроке мы узнаем, как строить углы, не используя транспортир. Вы — молодцы, урок окончен!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 456, 458 | Построить два треугольника по заданным сторонам и найти их периметры. |
Средний (повышающий) | № 460 + задача на логику | Построить равнобедренный треугольник с основанием 4 см и периметром 14 см. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческий проект | Нарисовать с помощью циркуля и линейки орнамент, состоящий только из правильных треугольников. |
Контрольный вопрос: Можно ли построить треугольник со сторонами 10 см, 5 см и 4 см? Обоснуйте ответ.