Делители и кратные. НОД и НОК
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить НОК двух и трёх чисел, определять взаимно простые числа и применять НОК для решения практической задачи, выполнив не менее 3 из 4 заданий самостоятельной работы.
- Закрепить понятия делителя, кратного, НОД, НОК и взаимно простых чисел.
- Отработать алгоритм нахождения НОК разложением чисел на простые множители и подбором кратных.
- Развивать умение сравнивать способы решения, работать в паре, объяснять выбор действия и проверять результат.
- Формировать ответственное отношение к совместной работе и самоконтролю результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность НОК при планировании повторяющихся событий.
- Проявляют готовность доводить вычисление до проверенного результата.
- Принимают ответственность за собственный вклад в парную работу.
- Оценивают собственную успешность и называют действие, которое необходимо улучшить.
Метапредметные
- Выделяют существенные данные в условии задачи и выбирают математическую модель.
- Сравнивают способы нахождения НОК и обосновывают более удобный способ.
- Планируют последовательность вычислений, выполняют самопроверку и исправляют ошибки.
- Используют математическую речь при объяснении решения партнёру.
Предметные
- Знают определения делителя, кратного, НОД, НОК и взаимно простых чисел.
- Умеют находить НОК двух и трёх чисел по разложению на простые множители.
- Умеют определять, являются ли два числа взаимно простыми.
- Умеют применять НОК для решения задачи о повторяющихся событиях.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться быстро и без ошибок находить НОК.
- Проявляют интерес к поиску рационального способа вычисления.
- Соблюдают доброжелательность и ответственность при обсуждении решения с партнёром.
- Оценивают собственный прогресс по результату самостоятельной работы.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе предложенной практической задачи.
- Планируют алгоритм нахождения НОК и соблюдают его этапы.
- Сверяют вычисления с эталоном и находят место ошибки.
- Корректируют решение после взаимопроверки и формулируют вывод о качестве работы.
Познавательные УУД
- Воспроизводят определения и признаки, необходимые для решения.
- Раскладывают числа на простые множители и структурируют полученные данные.
- Сравнивают пары чисел и устанавливают связь между взаимной простотой и НОК.
- Моделируют ситуацию повторяющихся встреч с помощью последовательности кратных.
Коммуникативные УУД
- Распределяют действия в паре и договариваются о единой записи.
- Задают уточняющие вопросы: «Почему выбран именно этот множитель?» и «Как проверить ответ?»
- Аргументируют способ решения и корректно оценивают работу партнёра.
- Используют математические термины в устном объяснении.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки для парной работы с заданиями на нахождение НОК и определение взаимно простых чисел — по одной карточке на пару.
- Распечатать самостоятельную работу на каждого ученика: четыре вычислительных задания и задачу о встрече Миши и Лены.
- Подготовить карточки трёх цветов для приёма «Светофор» — по одной тройке на ученика или организовать показ цветов на экране.
- Вывести на доску памятку: «Разложить числа на простые множители; выбрать каждый простой множитель с наибольшим показателем; перемножить».
- Подготовить эталон решений для самопроверки и листы для взаимопроверки в парах.
- Разместить на доске числа 12, 8, 14, 42 и вопрос: «Какое самое маленькое число делится на оба числа?»
- Подготовить таймер, тетради, ручки и калькулятор учителя для проверки вычислений.
- Подготовить слайд или плакат с жизненной ситуацией: Миша бегает каждые 3 дня, Лена — каждые 4 дня.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую работу и актуализировать жизненный смысл НОК.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовы ли тетрадь, ручка и карточка для работы в паре. Сегодня у нас урок-практикум: большую часть времени мы будем считать, сравнивать и объяснять решения. В конце каждый проверит, насколько уверенно умеет находить НОК." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на доске числа 3 и 4: "Миша тренируется каждые 3 дня, а Лена — каждые 4 дня. Если сегодня они встретились, через сколько дней встретятся снова? Не называйте первое случайное число — найдите общее кратное и выберите наименьшее." | Называют первые кратные 3 и 4, предполагают: «Через 12 дней», объясняют, что 12 делится и на 3, и на 4. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что НОК помогает определить момент повторной встречи. Сейчас вспомним необходимые понятия и проверим, какие способы вычисления уже умеем применять."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения и способы работы с делителями, кратными и разложением на простые множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устную разминку: "Назовите делители числа 12. Какие числа являются кратными 5? Чем отличается делитель от кратного? Говорим полными фразами: число ... является делителем числа ..., потому что ..." | Отвечают: «Делители 12 — 1, 2, 3, 4, 6, 12»; называют 5, 10, 15, 20; формулируют различие между делителем и кратным. |
2 мин | Учитель записывает на доске утверждения: «4 — делитель 20», «20 — делитель 4», «24 — кратное 6», «6 — кратное 24». Просит применить приём «Верю — не верю»: "Покажите, какие утверждения верны, и кратко обоснуйте каждое." | Отмечают верные утверждения, объясняют: «4 делит 20 без остатка», «24 кратно 6». |
2 мин | Учитель предлагает разложить числа 12 и 18 на простые множители: "Работаем в тетради. После записи подчеркните общие простые множители. Это понадобится для нахождения НОД и НОК." | Записывают: $12=2\cdot2\cdot3$, $18=2\cdot3\cdot3$, называют общие множители 2 и 3. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили делители, кратные и разложение на простые множители. Теперь выясним, как по этим записям быстро находить НОК и не путать его с НОД."
Этап 3. Практическая постановка задачи и план работы (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: сформулировать алгоритм нахождения НОК и критерии правильного решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Рассмотрим числа 12 и 8. Можно выписать их кратные, но при больших числах это неудобно. Как найти наименьшее общее кратное быстрее? Что нужно сделать с разложениями чисел?" Учитель принимает гипотезы и фиксирует их на доске. | Предлагают разложить числа на простые множители, выбрать необходимые множители и перемножить их. |
2 мин | Учитель формулирует алгоритм: "Для нахождения НОК разложим числа на простые множители, возьмём каждый простой множитель в наибольшей встречающейся степени и перемножим. Затем проверим: полученное число должно делиться на каждое исходное." | Записывают алгоритм, формулируют план: разложить, выбрать, перемножить, проверить. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План у нас есть. Теперь применим его сначала вместе, а затем передадим решение вам — в парной и самостоятельной работе."
Этап 4. Парная работа: закрепление алгоритма (9 мин)
Цель этапа: отработать нахождение НОК и взаимную проверку рассуждений в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель разбирает пример: "Найдём НОК чисел 12 и 8. Записываем разложения: $12=2^2\cdot3$, $8=2^3$. Берём $2^3$ и $3$, получаем $НОК(12,8)=2^3\cdot3=24$. Почему 24 подходит? Потому что делится и на 12, и на 8." | Записывают решение, отвечают: «24 делится на 12 и на 8, а меньшего общего кратного нет». |
4 мин | Учитель раздаёт карточки парам: «Найдите НОК чисел 14 и 42; 10, 15 и 30; 6, 9 и 18. Один ученик выполняет разложение, второй контролирует выбор множителей, затем поменяйтесь ролями». Учитель напоминает использовать приём «Подумай — обсуди в паре». | Решают задания в парах, проговаривают шаги, получают ответы: $НОК(14,42)=42$, $НОК(10,15,30)=30$, $НОК(6,9,18)=18$. |
2 мин | Учитель просит две пары представить решения: "Покажите не только ответ, но и разложения. Остальные сравнивают записи и ставят знак «+», если алгоритм соблюдён." | Представляют решения, сверяют разложения, задают вопросы о выборе наибольшей степени множителя. |
Эталон решения
$14=2\cdot7$, $42=2\cdot3\cdot7$, поэтому $НОК(14,42)=2\cdot3\cdot7=42$. $10=2\cdot5$, $15=3\cdot5$, $30=2\cdot3\cdot5$, поэтому $НОК(10,15,30)=2\cdot3\cdot5=30$. $6=2\cdot3$, $9=3^2$, $18=2\cdot3^2$, поэтому $НОК(6,9,18)=2\cdot3^2=18$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы увидели, что НОК уже входит в набор кратных каждого числа. Теперь проверим ещё одно важное наблюдение: что происходит с НОК взаимно простых чисел."
Этап 5. Исследование и первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: установить связь между взаимной простотой чисел и нахождением их НОК.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает пары: 9 и 13; 15 и 19; 24 и 35; 27 и 32. "Для каждой пары определите, есть ли общий делитель, кроме 1. Затем найдите НОК. Работайте по двое: один ищет общие делители, второй находит НОК." | Проверяют пары, формулируют: «В каждой паре числа взаимно простые». Находят НОК: 117, 285, 840, 864. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Сравните НОК с произведением чисел. Что вы замечаете? Почему при взаимно простых числах удобно находить НОК умножением?" | Сравнивают: $9\cdot13=117$, $15\cdot19=285$, $24\cdot35=840$, $27\cdot32=864$. Делают вывод: «Если числа взаимно простые, их НОК равен произведению чисел». |
2 мин | Учитель проводит мини-проверку «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете объяснить признак, жёлтую — если нужен пример, красную — если требуется помощь." Затем уточняет затруднения. | Показывают карточки, называют трудность: поиск общих делителей, разложение или проверка результата. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили полезное правило для взаимно простых чисел. Теперь каждый самостоятельно применит оба способа: разложение на множители и работу с кратными в практической задаче."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом нахождения НОК и его применение в задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель раздаёт самостоятельную работу: "Решайте индивидуально, записи делайте полностью. 1. Найдите НОК чисел: а) 28 и 35; б) 120 и 150; в) 45 и 95; г) 200 и 300. 2. Миша бегает раз в 3 дня, а Лена — раз в 4 дня. Через сколько дней они снова встретятся на стадионе, если бегают в одно и то же время?" | Самостоятельно находят НОК и записывают решение задачи. Ответы: $НОК(28,35)=140$, $НОК(120,150)=600$, $НОК(45,95)=855$, $НОК(200,300)=600$; в задаче — через 12 дней. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Сначала проверьте ответы, затем найдите одну ошибку, если она есть. Не исправляйте молча: зачеркните неверный шаг и запишите правильный рядом. После этого оцените работу по количеству верных заданий." | Сверяют решения, исправляют ошибки, ставят себе предварительный результат и отмечают, на каком шаге возникло затруднение. |
Эталон решения
$28=2^2\cdot7$, $35=5\cdot7$, поэтому $НОК=2^2\cdot5\cdot7=140$. $120=2^3\cdot3\cdot5$, $150=2\cdot3\cdot5^2$, поэтому $НОК=2^3\cdot3\cdot5^2=600$. $45=3^2\cdot5$, $95=5\cdot19$, поэтому $НОК=3^2\cdot5\cdot19=855$. $200=2^3\cdot5^2$, $300=2^2\cdot3\cdot5^2$, поэтому $НОК=2^3\cdot3\cdot5^2=600$. В задаче нужно найти первое общее кратное 3 и 4: $3,6,9,12$ и $4,8,12$, значит, ребята встретятся через 12 дней.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, умеем ли мы применять алгоритм без подсказки. Осталось осмыслить результат: что получилось уверенно, а какой шаг требует дополнительной тренировки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, зафиксировать затруднения и выбрать уровень домашней практики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию: "Закончите фразы: «Сегодня я научился...», «При нахождении НОК важно сначала...», «В парной работе мне помогло...». Затем покажите светофор: зелёный — могу объяснить алгоритм, жёлтый — решаю с ошибками, красный — нужна помощь." | Формулируют выводы, называют последовательность алгоритма, показывают карточку самооценки и записывают вопрос, который остался. |
3 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по результату самостоятельной работы. Обязательный уровень выполняют все; повышающий и дополнительный выбирают по готовности. Перед уходом ответьте на контрольные вопросы на доске." | Записывают выбранный уровень, отвечают: «Что такое НОК? Как проверить ответ? Когда НОК равен произведению взаимно простых чисел?» |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все четыре вычислительных задания и задача о встрече; разложения, выбор множителей и проверка записаны корректно.
- «4» — верно решены не менее трёх вычислительных заданий и задача, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка.
- «3» — верно решены два задания или два вычислительных задания и задача при наличии отдельных ошибок в разложении; основная идея алгоритма понятна.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового или более уверенно вы сегодня научились делать при нахождении НОК? | Выявление осознания предметного результата урока. |
На каком шаге алгоритма возникло затруднение: разложение, выбор степеней или умножение? | Выявление точки затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Как помогла работа в паре при решении карточки? | Оценка эффективности сотрудничества и математического объяснения. |
Можете ли вы объяснить, почему НОК взаимно простых чисел равен их произведению? | Проверка понимания связи между определением и правилом. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы закрепили работу с делителями и кратными и научились находить НОК двух и трёх чисел. Важно не просто получить число, а показать разложение и убедиться, что результат делится на каждое исходное число. Частая ошибка — взять не все множители или выбрать не наибольшую степень простого множителя. На следующем уроке мы продолжим применять НОД и НОК при решении задач и разберём способы проверки результата."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на нахождение НОК двух и трёх чисел, используя разложение на простые множители; одно из чисел в каждой паре должно быть кратным другого. | Закрепляет алгоритм и проверку делимостью; при проверке смотреть на правильность разложения и выбор наибольших степеней. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на НОК чисел, среди которых есть взаимно простые пары, и составить к двум парам краткие объяснения, почему НОК равен произведению. | Закрепляет распознавание взаимно простых чисел и перенос правила на новые примеры. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о двух повторяющихся событиях, происходящих через 3 и 5 дней или через 4 и 6 дней; записать модель, решение и ответ. | Развивает умение применять НОК в жизненном контексте и объяснять смысл полученного ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют НОК чисел? Какие четыре шага составляют алгоритм его нахождения? Как проверить найденный результат? Чему равен НОК взаимно простых чисел?»
