Арифметические действия с обыкновенными и десятичными дробями; решение текстовых задач с дробями и процентами
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: за 45 минут систематизировать и применить правила действий с обыкновенными и десятичными дробями, решив не менее 4 практических заданий и 2 текстовые задачи с точностью не менее 80%.
- Закрепить умения выполнять сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных и десятичных дробей, выбирая рациональный способ вычисления.
- Научиться переводить десятичные дроби в обыкновенные и обратно в ситуациях, где это упрощает решение.
- Закрепить алгоритм решения текстовых задач на дроби и проценты: выделять известные и неизвестные величины, выбирать действие, составлять краткую запись и проверять ответ.
- Развивать навыки сотрудничества, математической речи, самоконтроля и аргументированного объяснения способа решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к применению дробей и процентов в бытовых ситуациях: покупках, скидках, измерениях и расчётах.
- Осознают значение аккуратности вычислений и проверки результата в практической деятельности.
- Развивают ответственное отношение к собственной работе и готовность корректно обсуждать решение с одноклассниками.
- Формируют уверенность в возможности преодолевать затруднения при решении задач.
Метапредметные
- Познавательные: извлекают данные из условия задачи, преобразуют информацию в краткую запись, схему или математическое выражение.
- Регулятивные: планируют последовательность решения, сверяют результат с эталоном, находят и исправляют вычислительные ошибки.
- Коммуникативные: объясняют выбор действия, задают уточняющие вопросы, сравнивают способы решения в паре.
- Используют математическую речь и запись для аргументации полученного ответа.
Предметные
- Знать правила выполнения арифметических действий с обыкновенными и десятичными дробями.
- Уметь выполнять вычисления с обыкновенными дробями, приводя их к общему знаменателю при необходимости.
- Уметь выполнять действия с десятичными дробями и выбирать удобную форму записи числа.
- Уметь находить дробь или процент от величины и величину по её дроби или проценту.
- Уметь решать текстовые задачи с дробями и процентами, записывать ответ с наименованием и выполнять проверку.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за достоверность вычислений и оформление решения.
- Проявляют готовность оценивать собственный прогресс без сравнения с результатами одноклассников.
- Связывают изучаемые математические действия с реальными финансовыми и бытовыми ситуациями.
- Сохраняют учебную мотивацию при возникновении вычислительного затруднения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и выбирают порядок выполнения заданий.
- Планируют решение текстовой задачи по условию и вопросу.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль: действие, промежуточный результат, единица измерения, ответ.
- Обнаруживают несоответствие результата условию и корректируют решение.
Познавательные УУД
- Классифицируют выражения по виду чисел и выбирают соответствующее правило действия.
- Сравнивают обыкновенную и десятичную формы записи одного числа.
- Моделируют условие задачи с помощью краткой записи, таблицы или схемы.
- Анализируют правдоподобие ответа и выявляют ошибки в готовом решении.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, проверяющий, докладчик.
- Формулируют полный устный ответ с объяснением выбранного действия.
- Слушают решение одноклассника и задают вопрос по непонятному шагу.
- Согласовывают общий вариант решения, опираясь на условие задачи и математические правила.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или экране таблицу-напоминание: порядок действий, правила действий с дробями, способы нахождения дроби от числа и числа по его дроби.
- Распечатать карточки для парной работы с тремя выражениями и одной текстовой задачей — по одной карточке на каждую пару.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы трёх уровней — по одному на каждого ученика.
- Подготовить карточки для приёма «Светофор»: зелёные, жёлтые и красные — по одной на ученика.
- Подготовить слайд или плакат с практическим сюжетом о скидке 20% на товар стоимостью 750 рублей.
- Подготовить эталоны решений для самопроверки: можно вывести их на экран после выполнения заданий.
- Разделить доску на три зоны: «Обыкновенные дроби», «Десятичные дроби», «Задачи и проценты».
- Подготовить таймер на 3–5 минут для коротких практических заданий и цветные маркеры.
- Предусмотреть опору на учебник: ученики используют теоретические правила и аналогичные образцы из текущей темы без указания конкретных страниц и номеров заданий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс, показать практическую значимость темы и настроить учащихся на активную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобятся тетради, ручки, учебник и внимательность. Положите всё необходимое на стол, а лишние предметы уберите. Работать мы будем быстро, но каждый ответ должны будем обосновать." | Проверяют наличие тетради, ручки и учебника, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "В магазине товар стоил 750 рублей. На него объявили скидку 20 процентов. Как быстро определить новую цену? Какие числа и действия нам понадобятся? Сегодня мы проведём практический математический маршрут и проверим, умеем ли применять дроби и проценты не только в примерах, но и в жизненных задачах." | Рассматривают условие, предполагают: "Нужно найти 20 процентов от 750 и вычесть результат из 750"; формулируют связь процентов и дробей. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что дроби и проценты помогают принимать решения в обычной жизни. Сначала быстро восстановим правила, затем применим их в выражениях и текстовых задачах."
Этап 2. Актуализация знаний. Математическая разминка (6 мин)
Цель этапа: актуализировать правила действий с дробями и выявить индивидуальные затруднения перед практической работой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Верно — неверно»: "Покажите большой палец вверх, если утверждение верно, и в сторону, если нужно исправление. Первое: чтобы сложить дроби с разными знаменателями, достаточно сложить числители. Второе: при умножении дробей числители перемножают с числителями, знаменатели — со знаменателями. Третье: 0,6 — это $\frac{6}{10}$ и $\frac{3}{5}$." | Оценивают утверждения; отвечают: "Неверно, нужен общий знаменатель"; "Верно"; "Верно, если сократить дробь". |
2 мин | Учитель записывает на доске выражения: $\frac{3}{4}+\frac{1}{8}$ и $2,7-0,85$. "Решите по одному выражению в тетради. Обратите внимание: в первом примере нужен общий знаменатель, во втором — правильное выравнивание запятых. После решения сравните запись с соседом." | Решают выражения: $\frac{3}{4}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$; $2,7-0,85=1,85$. Сверяют записи в парах. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Объясните соседу не только ответ, но и первый шаг. Если ответы различаются, не исправляйте сразу, а найдите строку, где появились разные действия." | Сравнивают решения построчно, находят возможную ошибку, формулируют правило. |
Запись в тетрадях
- При сложении и вычитании обыкновенных дробей с разными знаменателями приводим дроби к общему знаменателю.
- При умножении дробей перемножаем числители и знаменатели, при делении умножаем на обратную дробь.
- При действиях с десятичными дробями выравниваем запятые и соблюдаем порядок действий.
- $1\% = 0,01 = \frac{1}{100}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Основные правила вы вспомнили, но важно не только помнить их, а правильно выбирать в конкретной ситуации. Сейчас проверим, как вы действуете в выражениях, где встречаются разные виды дробей."
Этап 3. Практикум в парах «Математический маршрут» (8 мин)
Цель этапа: закрепить выполнение арифметических действий с обыкновенными и десятичными дробями через совместное решение и взаимопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку и объясняет роли: "В каждой паре один ученик начинает решение, второй проверяет порядок действий и вычисления. Затем поменяйтесь ролями. На карточке три выражения: $\frac{5}{6}-\frac{1}{4}$; $1,2\cdot 0,35$; $\left(\frac{3}{5}+0,4\right):2$. Записывайте каждый шаг, а не только ответ." | Распределяют роли, читают карточку, уточняют условие задания. |
4 мин | Учитель организует работу и напоминает: "Начните с определения удобной формы записи. В третьем выражении подумайте, можно ли представить десятичную дробь как обыкновенную. Проверяющий задаёт вопрос: какое действие выполняется первым и почему?" | Решают выражения в паре, проговаривают порядок действий, переводят $0,4$ в $\frac{2}{5}$ при необходимости. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "$\frac{5}{6}-\frac{1}{4}=\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$; $1,2\cdot0,35=0,42$; $\left(\frac{3}{5}+0,4\right):2=\left(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\right):2=1:2=0,5$. Сверьте не только ответы, но и оформление." | Сверяют решения с эталоном, отмечают совпадения, исправляют ошибки другим цветом. |
1 мин | Учитель проводит краткий опрос: "Какая ошибка здесь наиболее вероятна? Почему в третьем выражении удобно было заменить десятичную дробь обыкновенной?" | Отвечают: "Можно забыть общий знаменатель или запятую"; "Так проще сложить дроби с одинаковыми знаменателями". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Эталон решения
$\frac{5}{6}-\frac{1}{4}=\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$. В произведении $1,2\cdot0,35$ перемножаем числа без запятых: $12\cdot35=420$, всего три знака после запятой в множителях, поэтому ответ $0,420=0,42$. В выражении $\left(\frac{3}{5}+0,4\right):2$ заменяем $0,4$ на $\frac{2}{5}$, получаем $1:2=0,5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вычисления выполнены, и мы увидели, что иногда полезно менять форму записи числа. Теперь переходим к задачам, где сначала нужно понять смысл условия, а уже затем выбрать арифметическое действие."
Этап 4. Разбор текстовой задачи с дробями (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм анализа и решения текстовой задачи, содержащей дробь от величины.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает условие на экране: "Для школьного проекта подготовили 24 листа цветной бумаги. На плакаты израсходовали $\frac{3}{8}$ всей бумаги, а на карточки — $\frac{1}{4}$ всей бумаги. Сколько листов осталось? Прочитайте задачу молча и назовите, что известно и что требуется узнать." | Выделяют данные: всего 24 листа, израсходовано $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{4}$; формулируют вопрос: "Сколько листов осталось?" |
2 мин | Учитель применяет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно определите, сколько листов ушло на плакаты и карточки. Затем обсудите с соседом, каким действием найти остаток. Не начинайте вычисления, пока не составите план." | Составляют план: найти две части от 24, сложить их и вычесть из общего количества; обсуждают план в парах. |
2 мин | Учитель приглашает ученика к доске и задаёт вопросы: "Почему сначала мы умножаем 24 на дробь? Что означает сумма $\frac{3}{8}+\frac{1}{4}$? Как проверить, что ответ разумен?" | Записывают решение, отвечают: "Умножение на дробь находит часть числа"; "Сумма показывает всю израсходованную часть"; оценивают, что остаток должен быть меньше 24. |
1 мин | Учитель обращает внимание на оформление: "В текстовой задаче обязательно запишите краткое пояснение к каждому действию и ответ с единицей измерения. Проверьте, получился ли целый смысловой результат — количество листов." | Дописывают пояснения и ответ, сверяют решение с эталоном. |
Эталон решения
1. Найдём, сколько листов израсходовали на плакаты: $24\cdot\frac{3}{8}=9$ листов. 2. Найдём, сколько листов израсходовали на карточки: $24\cdot\frac{1}{4}=6$ листов. 3. Найдём общее количество израсходованных листов: $9+6=15$ листов. 4. Найдём остаток: $24-15=9$ листов. Ответ: 9 листов осталось.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы перевели текст в последовательность действий и получили ответ с единицей измерения. В следующей задаче изменится сюжет: вместо дроби от числа появится процент и скидка, поэтому особенно внимательно прочитаем вопрос."
Этап 5. Решение задачи с процентами «Покупка со скидкой» (7 мин)
Цель этапа: закрепить нахождение процента от величины и применение результата в реальном финансовом контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает условие: "Рюкзак стоил 1500 рублей. В магазине объявили скидку 20 процентов. Какую сумму составила скидка? Сколько рублей нужно заплатить за рюкзак?" Учитель спрашивает: "Что найдём первым — новую цену или размер скидки? Почему?" | Отвечают: "Сначала найдём размер скидки, затем вычтем его из первоначальной цены"; записывают краткую запись. |
3 мин | Учитель предлагает решить задачу в парах и напоминает: "Процент можно представить десятичной дробью: 20 процентов — это 0,2. Запишите единицы измерения и проверьте, что новая цена меньше первоначальной." | Решают: $1500\cdot0,2=300$ рублей; $1500-300=1200$ рублей. Объясняют ход решения соседу. |
1 мин | Учитель предлагает альтернативный способ: "Можно сразу найти, какая часть цены осталась после скидки. Если скидка 20 процентов, сколько процентов составляет новая цена? Запишите этот способ рядом, если успеваете." | Формулируют: осталось 80 процентов; $1500\cdot0,8=1200$ рублей; сравнивают два способа. |
1 мин | Учитель организует проверку: "Поднимите зелёную карточку, если оба способа понятны, жёлтую — если нужен ещё один пример, красную — если осталось существенное затруднение. По цветам я определю, кому нужна помощь в самостоятельной работе." | Показывают карточки, называют затруднение: перевод процентов в десятичную дробь или выбор первого действия. |
Эталон решения
Первый способ: $1500\cdot0,2=300$ рублей — размер скидки; $1500-300=1200$ рублей — цена со скидкой. Второй способ: после скидки осталось $100\%-20\%=80\%=0,8$ первоначальной цены; $1500\cdot0,8=1200$ рублей. Ответ: скидка составила 300 рублей, заплатить нужно 1200 рублей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Процент от величины можно найти умножением на десятичную дробь, а новую цену — вычитанием скидки или умножением на оставшуюся долю. Сейчас каждый индивидуально покажет, насколько уверенно умеет применять эти правила."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение вычислительных умений и алгоритма решения задач, организовать самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки: "Выберите уровень по своей уверенности. Базовый уровень обязателен для всех, повышающий можно выполнить после него, дополнительный — по желанию. Работайте самостоятельно, записывайте все промежуточные действия." | Выбирают карточку, подписывают работу, читают инструкции. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: 1) $\frac{7}{9}+\frac{1}{6}$; 2) $3,5:0,7$; 3) найти 15 процентов от 240. Повышающий уровень: задача: "В баке было 40 литров воды. Утром использовали $\frac{3}{10}$ всей воды, а днём — 25 процентов всей воды. Сколько литров осталось?" Учитель оказывает адресную помощь, задавая вопросы, но не сообщая действие. | Самостоятельно выполняют выбранные задания, оформляют вычисления и ответы с единицами измерения. |
2 мин | Учитель выводит эталон и говорит: "Проверьте каждую строку. За правильный результат поставьте плюс, ошибку аккуратно исправьте, а рядом коротко запишите причину: общий знаменатель, порядок действий, перевод процентов или вычисление." | Сверяют: $\frac{7}{9}+\frac{1}{6}=\frac{14}{18}+\frac{3}{18}=\frac{17}{18}$; $3,5:0,7=5$; $240\cdot0,15=36$. Для задачи получают $40\cdot\frac{3}{10}=12$, $40\cdot0,25=10$, $40-12-10=18$ литров. |
1 мин | Учитель просит провести самооценку: "Посчитайте количество верных заданий и отметьте внизу листа: что получилось уверенно, а какой шаг требует повторения. Это не наказание, а маршрут дальнейшей тренировки." | Подсчитывают результат, записывают личное затруднение и формулируют следующий шаг. |
Эталон решения
$\frac{7}{9}+\frac{1}{6}=\frac{14}{18}+\frac{3}{18}=\frac{17}{18}$. $3,5:0,7=5$. $15\%=0,15$, поэтому $240\cdot0,15=36$. В задаче: $40\cdot\frac{3}{10}=12$ л; $40\cdot0,25=10$ л; $40-12-10=18$ л. Ответ: 18 литров воды осталось.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие действия уже стали устойчивыми, а какие нужно ещё потренировать. Перед завершением урока обобщим способы решения и проверим, можем ли сформулировать общий алгоритм."
Этап 7. Рефлексия, подведение итогов и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, зафиксировать способы действий и определить содержание дальнейшей самостоятельной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Лестница успеха»: "Закончите три фразы в тетради: сегодня я научился; при решении задачи сначала нужно; мне нужно потренировать. Затем обсудите один ответ с соседом." | Заполняют три фразы, сравнивают ответы в парах, называют: "Сначала выделить данные и вопрос, затем выбрать действие". |
1 мин | Учитель возвращается к мотивационной задаче: "Рюкзак стоил 1500 рублей, скидка 20 процентов. Назовите ответ и объясните его одним предложением." | Отвечают: "Скидка 300 рублей, новая цена 1200 рублей; 20 процентов от 1500 — это 300". |
1 мин | Учитель проводит устный «Билет на выход»: "Запишите на маленьком листке одно правило, которое сегодня применили, и одну типичную ошибку, которой нужно избежать." | Записывают правило и ошибку, сдают листок при выходе. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии выполнения: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, один повышающий или дополнительный. В каждой задаче записывайте краткую запись, действия, пояснения и ответ с единицей измерения." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы повторили действия с обыкновенными и десятичными дробями и применили их к задачам на части и проценты. Главный алгоритм — понять условие, выбрать действие, выполнить вычисления и проверить смысл ответа. По вашим билетам на выход я определю, какие вычисления начнём повторять на следующем уроке."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три вычислительных задания и текстовая задача, записаны промежуточные действия, правильно использованы правила дробей и процентов, ответ сформулирован с единицей измерения.
- «4» — верно выполнены не менее трёх заданий из четырёх, допущена одна вычислительная ошибка при правильном выборе способа решения, оформление в основном полное.
- «3» — верно выполнены не менее двух заданий, ученик понимает общий алгоритм, но допускает ошибки в приведении к общему знаменателю, переводе процентов или вычислениях.
- Результат ниже отметки «3» означает необходимость индивидуальной отработки базовых правил и повторного решения аналогичных заданий с опорой на алгоритм.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое правило действий с дробями вы сегодня применили наиболее уверенно? | Выявление осознанно усвоенного способа вычислений. |
Как определить, какое действие первым выполнить в текстовой задаче? | Проверка понимания связи между условием, вопросом и математической моделью. |
На каком шаге возникло затруднение: перевод процентов, выбор действия или вычисление? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Как вы проверяли, что ответ задачи разумен? | Формирование навыка самоконтроля и оценки результата. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы тренировались действовать с дробями не механически, а осмысленно: сначала понять задачу, затем выбрать правило и проверить результат. Особенно важно не путать нахождение процента от числа с нахождением числа по его проценту и не забывать единицы измерения. Если вычисления пока требуют времени, используйте таблицу-напоминание и записывайте каждый промежуточный шаг. На следующем уроке мы продолжим решать практические задачи и разберём более сложные случаи с несколькими действиями."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 вычислительных задания: два на сложение и вычитание обыкновенных дробей, одно на умножение или деление дробей и одно на действия с десятичными дробями. Решить 1 задачу на нахождение дроби от величины. | Закрепляет основные алгоритмы; при проверке обратить внимание на общий знаменатель, порядок действий, сокращение дробей и наличие пояснений. |
Средний (повышающий) | Решить 2 текстовые задачи: одну на нахождение процента от величины и одну на последовательное использование дроби и процента. В каждой задаче составить краткую запись и выполнить проверку ответа. | Развивает умение переводить условие в последовательность действий и применять проценты в практическом контексте. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о покупке со скидкой или расходовании материала, используя обыкновенную дробь и процент, затем решить её двумя способами и объяснить, почему ответы совпадают. | Формирует умение создавать математическую модель, выбирать рациональный способ и аргументировать решение. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как сложить обыкновенные дроби с разными знаменателями?», «Как найти 25 процентов от числа?», «Какие три шага нужно выполнить после прочтения текстовой задачи?», «Как проверить, что ответ задачи соответствует условию?»
