Применение квадратных уравнений для поиска основания системы счисления
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться составлять и решать квадратное уравнение для определения основания позиционной системы счисления по заданному равенству чисел, а также проверять найденное основание и допустимость его цифр.
- Сформировать представление о том, что запись числа в системе счисления с неизвестным основанием позволяет перевести задачу в алгебраическую модель.
- Научиться заменять запись числа в системе счисления многочленом по основанию системы и составлять квадратное уравнение.
- Отработать алгоритм решения практических задач с неизвестным основанием: раскрыть запись числа, составить уравнение, решить его, проверить корни и записать ответ.
- Развивать интерес к применению информатики и математики в программировании, криптографии и обработке данных; воспитывать аккуратность при проверке результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность систем счисления и квадратных уравнений для решения задач информатики.
- Проявляют познавательный интерес к поиску основания системы счисления и готовность проверять собственную гипотезу.
- Принимают необходимость точности, самоконтроля и аргументированного объяснения результата.
- Получают опыт выбора уровня задания и самостоятельной оценки степени понимания темы.
Метапредметные
- Преобразуют текстовое условие в математическую модель и выделяют существенные данные.
- Планируют последовательность решения, сопоставляют полученный корень с ограничениями системы счисления.
- Работают с информацией в символьной форме, используют таблицу разрядов и схему развёрнутой записи числа.
- Формулируют вывод, аргументируют выбор основания и корректно взаимодействуют в паре при взаимопроверке.
Предметные
- Знают, что запись числа $abc_b$ означает $a\cdot b^2+c\cdot b+b$, если цифры записи равны $a$, $b$ и $c$; основание системы обозначается отдельной буквой, например $q$.
- Умеют разворачивать запись числа в позиционной системе счисления через степени основания.
- Умеют составлять квадратное уравнение по равенству чисел, записанных в разных системах счисления.
- Умеют решать полученное квадратное уравнение и отбрасывать корни, не удовлетворяющие условиям $q>\max(цифра)$ и $q\geqslant2$.
- Умеют выполнять проверку найденного основания обратной подстановкой в исходное равенство.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения темы через связь систем счисления с кодированием и программированием.
- Проявляют ответственное отношение к точности вычислений и проверке цифровых данных.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм без подсказки.
- Принимают возможность разных способов рассуждения при сохранении единого математически обоснованного результата.
Регулятивные УУД
- Совместно формулируют цель урока и план действий по поиску основания системы счисления.
- Контролируют соответствие каждого шага алгоритму: запись числа, уравнение, решение, проверка.
- Выявляют ошибку в знаке, степени основания или ограничении на корень и исправляют её.
- Оценивают результат по предложенным критериям и фиксируют затруднение для дальнейшей работы.
Познавательные УУД
- Анализируют структуру позиционной записи числа и выделяют значение каждого разряда.
- Строят математическую модель задачи через равенство многочленов от неизвестного основания.
- Сравнивают два способа проверки: подстановку в уравнение и перевод чисел в десятичную систему.
- Выдвигают гипотезу о возможном основании и проверяют её вычислением.
- Используют символическую запись, таблицу разрядов и алгоритм как модели изучаемого объекта.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему цифра ограничивает возможные значения основания.
- Задают уточняющие вопросы о степени основания и выборе допустимого корня.
- Распределяют роли в паре: составитель модели, вычислитель и проверяющий.
- Аргументированно защищают решение, используя математические обозначения и проверку.
- Корректно принимают замечания и совместно исправляют найденную ошибку.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с примерами двоичной, десятичной и неизвестной позиционной системы счисления.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить отдельные карточки для работы в парах с заданиями на составление развёрнутой записи и проверку корней.
- Вывести на доску памятку: «разверни запись → составь уравнение → реши → проверь ограничения → проверь исходное равенство».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и листы для рефлексии, по одному комплекту на каждого ученика.
- Заранее записать на доске обозначения: $q$ — основание системы; $q\geqslant2$; каждая цифра записи меньше основания.
- Подготовить проектор или интерактивную доску для показа проблемного равенства $121_q=26_{10}$.
- Распечатать эталон решения для самопроверки: по одному экземпляру на парту или вывести его на экран после самостоятельной работы.
- Организовать рассадку так, чтобы учащиеся могли быстро объединиться в пары без перемещения мебели.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл поиска неизвестного основания системы счисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, чтобы на столе были тетрадь, ручка и карточка для работы. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и готовность исследовать неизвестное. В информатике число может быть записано не в десятичной системе, а основание этой системы иногда приходится находить по условию задачи." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель выводит на экран равенство $121_q=26_{10}$ и говорит: "Посмотрите на запись слева. Основание системы неизвестно, но мы знаем, что это число равно 26 в десятичной системе. Как вы думаете, можно ли найти $q$? Не перебирайте основания наугад: попробуйте предложить способ, который можно объяснить и проверить." | Индивидуально формулируют гипотезу, затем называют варианты: "Нужно раскрыть запись числа", "Можно перебрать основания", "Наверное, получится уравнение". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели задачу, в которой основание системы счисления неизвестно. Чтобы решить её не перебором, а обоснованно, нам нужно связать разрядную запись числа с квадратным уравнением. Сначала вспомним, как устроена позиционная запись."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить правила позиционной записи чисел и ограничения на цифры и основание системы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске схему: $abc_q=a\cdot q^2+b\cdot q+c$ и поясняет: "Вспомним, что цифра в разряде единиц умножается на $q^0$, цифра в следующем разряде — на $q^1$, следующая — на $q^2$. Поэтому запись разворачивается справа налево. Как развернётся число $314_q$? А как — $52_q$?" | Записывают схемы и отвечают: "$314_q=3q^2+q+4$"; "$52_q=5q+2". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Почему запись $314_q$ возможна только при определённых значениях $q$? Какое минимальное основание допустимо? Что произойдёт, если цифра равна основанию?" | Отвечают: "Все цифры должны быть меньше основания"; "$q$ должно быть больше 4"; "Цифра с номером основания не может находиться в записи, потому что счёт начинается с нуля". |
1 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "За 30 секунд определите, какие основания могут подойти для записи $203_q$. Обсудите с соседом и назовите условие." | Сначала думают индивидуально, затем обсуждают в паре и формулируют: "$q\geqslant4$, потому что наибольшая цифра 3 должна быть меньше основания". |
Запись в тетрадях
$abc_q=a\cdot q^2+b\cdot q+c$; основание системы $q\geqslant2$; любая цифра записи меньше $q$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили главное: разрядная запись превращается в выражение со степенями основания, а цифры задают ограничения на $q$. Теперь выясним, почему в нашей проблемной задаче появляется именно квадратное уравнение."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при непосредственном решении и совместно сформулировать алгоритм выхода из него.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к равенству $121_q=26_{10}$: "Попробуйте объяснить, что означает запись слева, не используя пока вычислений в десятичной системе. Какое выражение получится после развёртывания? Видите ли вы, что неизвестное основание входит в это выражение несколько раз?" | Формулируют: "$121_q=1\cdot q^2+2\cdot q+1$; неизвестное $q$ входит как $q^2$ и как $q$; значит, получится квадратное уравнение". |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите план решения из трёх-четырёх шагов. Затем объединитесь в пары, сравните планы и выберите наиболее полный. Одна-две пары озвучат итог." На доске фиксирует предложения учащихся. | Составляют план: "развернуть запись; составить и решить уравнение; проверить основание и цифры; записать ответ". Формулируют цель: "Научиться находить неизвестное основание через квадратное уравнение". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы не будем угадывать основание, а построим математическую модель. Теперь вместе выполним этот переход от записи числа к уравнению и проверим каждый шаг."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм поиска основания системы счисления на примере и осознанно проверить полученный корень.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает пример и проговаривает: "Рассмотрим равенство $121_q=26_{10}$. Первый шаг — разворачиваем запись по разрядам: $1\cdot q^2+2\cdot q+1$. Второй шаг — приравниваем выражение к 26: $q^2+2q+1=26$. Переносим всё в левую часть: $q^2+2q-25=0$. Что получили? Почему это квадратное уравнение?" | Записывают преобразования в тетрадь, отвечают: "Получили квадратное уравнение относительно $q$, потому что старшая степень неизвестного равна двум". |
3 мин | Учитель предлагает решить уравнение вместе: "Найдём корни. По формуле дискриминанта $D=b^2-4ac$ получаем $D=2^2-4\cdot1\cdot(-25)=104$. Корни равны $q_1=\frac{-2+\sqrt{104}}2$ и $q_2=\frac{-2-\sqrt{104}}2$. Такой пример показывает, что не всякое равенство приводит к целому основанию. Значит, в задачах важно проверить существование допустимого целого решения. Рассмотрим пример с удобным корнем: $132_q=30_{10}$." | Следят за вычислением, замечают, что в первом примере корни не являются подходящими целыми основаниями. Для нового примера предлагают развернуть запись: $q^2+3q+2=30$. |
3 мин | Учитель продолжает: "Получаем $q^2+3q-28=0$. Разложим на множители: $(q+7)(q-4)=0$. Отсюда $q=-7$ или $q=4$. Отрицательный корень невозможен. Основание 4 допустимо, потому что цифры 1, 3 и 2 меньше 4. Выполним проверку: $1\cdot4^2+3\cdot4+2=16+12+2=30$. Значит, $132_4=30_{10}$." | Записывают алгоритм и проверку, отвечают: "$q=4$; корень $-7$ отбрасываем, потому что основание не может быть отрицательным; цифра 3 меньше 4, поэтому запись допустима". |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) развернуть запись числа по разрядам; 2) приравнять выражение к известному числу; 3) привести уравнение к стандартному виду и решить его; 4) проверить ограничения на основание и цифры; 5) выполнить проверку в исходном равенстве.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили полный алгоритм. Главное — не остановиться на корне квадратного уравнения: основание должно быть целым, не меньше двух и больше каждой цифры записи. Теперь проверим алгоритм на заданиях, где решение нужно проговаривать вслух."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить составление уравнения и отработать проверку допустимости корня в совместной деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с заданием: "В парах решите задачу $203_q=35_{10}$. Один участник разворачивает запись и составляет уравнение, второй решает его. Затем поменяйтесь ролями и вместе выполните проверку. На карточке есть место для пяти шагов алгоритма." | Разворачивают запись: $2q^2+3=35$, составляют $2q^2-32=0$, находят $q^2=16$, выбирают положительный корень $q=4$, проверяют, что цифра 3 меньше 4. |
3 мин | Учитель проводит выборочную проверку: "Сравните свои записи с решением соседней пары. Обратите внимание: нельзя сразу записать $q=4$ без объяснения, откуда оно получилось. Какая цифра задаёт ограничение на основание? Почему корень $-4$ не подходит?" | Обмениваются карточками, отмечают пропущенные шаги, отвечают: "Наибольшая цифра 3 требует $q\geqslant4$"; "$-4$ не является основанием системы счисления". |
2 мин | Учитель предлагает одну пару к доске: "Запишите решение полностью, а класс проверьте его по критериям: развёрнутая запись, уравнение, корень, ограничение, обратная проверка." | Представитель пары записывает решение. Остальные сверяют пять шагов и формулируют: "$2\cdot4^2+3=35$, значит, основание найдено верно". |
Эталон решения
$203_q=35_{10}$. Разворачиваем запись: $2q^2+0q+3=35$. Получаем $2q^2-32=0$, откуда $q^2=16$ и $q=4$ или $q=-4$. Основание системы положительно и не меньше двух, поэтому $q=4$. Наибольшая цифра 3 меньше 4. Проверка: $2\cdot4^2+3=32+3=35$. Ответ: $q=4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парном решении вы увидели, что проверка состоит из двух частей: сначала проверяем допустимость основания по цифрам, затем возвращаем найденное значение в исходную запись. Теперь каждый самостоятельно выберет уровень задания и покажет, насколько уверенно владеет алгоритмом."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное умение применять алгоритм к задачам разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выберите карточку по силам. Уровень 1 — обязательный минимум, уровень 2 — базовый, уровень 3 — повышенный. Выбор уровня не является оценкой личности: он помогает понять, какая поддержка вам сейчас нужна. В каждой работе обязательно записывайте все шаги алгоритма." | Выбирают карточку, записывают номер уровня и приступают к индивидуальной работе. |
6 мин | Учитель контролирует работу и напоминает: "Если затрудняетесь, задайте себе пять вопросов: как раскрывается запись; чему она равна; какое уравнение получилось; какие корни найдены; допустим ли корень для системы счисления?" Задания: уровень 1 — решить $112_q=14_{10}$; уровень 2 — решить $231_q=45_{10}$; уровень 3 — определить основание из равенства $102_q+11_q=113_{q}$ и объяснить каждый переход. | Решают выбранное задание. Для уровня 1 получают $q^2+q+2=14$, затем $q^2+q-12=0$, $q=3$. Для уровня 2 получают $2q^2+3q+1=45$, решают уравнение и проверяют наличие целого допустимого корня. Для уровня 3 раскрывают обе части равенства и анализируют условие. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте не только ответ, но и оформление. Поставьте плюс возле верного шага, вопрос возле места сомнения. Если ошибка есть, исправьте её другим цветом и подпишите, на каком шаге она возникла." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки, отмечают затруднившийся шаг. Поднимают зелёную, жёлтую или красную карточку по приёму «Светофор». |
Эталон решения
Для задания $112_q=14_{10}$: $q^2+q+2=14$; $q^2+q-12=0$; $(q+4)(q-3)=0$; $q=-4$ или $q=3$. Подходит $q=3$, так как $q\geqslant2$ и цифра 2 меньше 3. Проверка: $1\cdot3^2+1\cdot3+2=14$. Ответ: $q=3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм работает только при аккуратном выполнении всех шагов. Особенно важно не принимать первый найденный корень автоматически. В завершение свяжем новый способ с уже известными представлениями о системах счисления и сформулируем общий вывод."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить способ решения, осознать результат обучения и определить дальнейшую практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как связаны запись числа в позиционной системе и квадратное уравнение? На каком шаге чаще всего появляется ошибка? Почему найденный корень обязательно нужно проверять по цифрам записи?" | Отвечают: "Трёхзначная запись содержит квадрат основания"; "Ошибка появляется при развёртывании записи или переносе членов"; "Не каждый корень является допустимым основанием". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: "Запишите одним предложением, чему вы научились, и одним предложением — что ещё требует тренировки. Затем поставьте себе оценку готовности: могу объяснить алгоритм; могу решить по образцу; пока нужна помощь." | Заполняют мини-лист самооценки, формулируют личный результат и затруднение. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и завершает: "Сохраните сегодняшний алгоритм: именно он поможет решать задачи, в которых основание не дано напрямую. На следующем уроке мы рассмотрим более сложные равенства и научимся использовать найденное основание для перевода чисел." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают лист рефлексии. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы превратили неизвестную запись числа в квадратное уравнение, научились отбирать допустимый корень и проверять его в исходном равенстве. Это и есть переход от догадки к математически обоснованному решению."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнено выбранное задание, полностью записаны развёрнутая форма числа, квадратное уравнение, решение, ограничения на основание и обратная проверка; объяснение содержит не менее пяти последовательных шагов.
- «4» — найден правильный ответ и составлено верное уравнение, но допущена одна неточность в оформлении, объяснении ограничения или проверке, не повлиявшая на итог.
- «3» — выполнены развёртывание записи и составление уравнения, но решение содержит существенную вычислительную ошибку либо отсутствует полноценная проверка допустимости корня.
- Ниже «3» — не установлена связь между позиционной записью и уравнением; требуется повторить развёртывание числа и условия допустимости основания.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи систем счисления и квадратных уравнений? | Выявление осознания математической модели темы. |
Какой шаг алгоритма оказался самым трудным: развёртывание записи, решение уравнения или проверка основания? | Выявление точки затруднения для последующей коррекции. |
Почему нельзя оставить любой найденный корень квадратного уравнения? | Проверка понимания ограничений на основание и цифры. |
Можете ли вы решить аналогичную задачу без образца? Что поможет это сделать? | Субъективная оценка готовности к самостоятельному применению алгоритма. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что запись числа в неизвестной системе счисления можно превратить в алгебраическое выражение, а затем — в квадратное уравнение. Главная ошибка, которой нужно избегать, — принять корень уравнения без проверки того, что он является допустимым основанием и больше каждой цифры записи. Вы работали не только с вычислениями, но и с математической моделью, как это делают при решении задач программирования и обработки данных. На следующем уроке мы продолжим переводить числа между системами счисления и рассмотрим более сложные случаи."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на поиск основания системы счисления по равенству трёхзначного числа и десятичного числа. В каждой задаче записать развёрнутую форму, квадратное уравнение, корни, ограничение на основание и проверку. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на правильность степеней основания и отбрасывание недопустимых корней. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых равенство содержит два числа с неизвестным основанием, например сумму или разность записей. Объяснить преобразование обеих частей в многочлены от основания. | Развивает умение строить модель по более сложному условию; проверить раскрытие всех разрядов и перенос членов уравнения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу, ответом в которой является основание $q=5$ или $q=6$, записать полное решение и обменяться задачей с одноклассником для проверки. | Развивает умение конструировать математическую задачу и контролировать корректность условия, цифр и найденного основания. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как развернуть запись $abc_q$?», «Какое условие накладывают цифры на основание системы?», «Какие шаги нужно выполнить после решения квадратного уравнения?», «Почему отрицательный или нецелый корень не может быть основанием позиционной системы счисления?»
