Системы счисления: двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться переводить целые числа от 0 до 1024 между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления, выполняя не менее 4 из 5 практических заданий без ошибок.
- Сформировать понимание основания системы счисления, разрядного значения цифр и принципа записи чисел в позиционной системе.
- Научить применять алгоритмы перевода из десятичной системы делением с остатком и в десятичную систему разложением по степеням основания.
- Развивать исследовательские, логические и коммуникативные умения через работу в парах и сравнение способов решения.
- Воспитывать ответственное отношение к точности вычислений и осознание связи систем счисления с информатикой, электроникой и цифровыми технологиями.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к способам представления информации в компьютере.
- Понимают практическую ценность точности и проверки вычислений в цифровых технологиях.
- Осознают возможность выбора уровня сложности задания и личную ответственность за результат.
- Связывают изучаемый материал с профессиями программиста, инженера, аналитика и специалиста по информационной безопасности.
Метапредметные
- Планируют последовательность действий при переводе числа и сверяют результат с исходными данными.
- Выделяют основание системы, разряды и допустимые цифры, структурируют информацию в таблице.
- Работают с алгоритмом, анализируют ошибочные решения и аргументируют выбор способа перевода.
- Сотрудничают в паре, распределяют роли и используют взаимопроверку по критериям.
Предметные
- Знают понятия «система счисления», «основание», «разряд», «позиционная система».
- Умеют переводить целые числа от 0 до 1024 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.
- Умеют переводить двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числа в десятичную систему.
- Знают соответствие цифр $10_{10}$–$15_{10}$ буквам A–F в шестнадцатеричной системе.
- Умеют проверять перевод обратным преобразованием и находить ошибку в готовом решении.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на урок и выбирают посильный, базовый или повышенный уровень практики.
- Проявляют интерес к исследованию закономерностей записи чисел.
- Понимают значение настойчивости и самопроверки при работе с алгоритмами.
- Оценивают собственный прогресс без сравнения себя с другими учениками.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную задачу по результатам проблемной ситуации.
- Планируют этапы перевода числа и распределяют время на выполнение карточки.
- Проверяют вычисления обратным переводом и исправляют обнаруженные ошибки.
- Оценивают результат по критериям и фиксируют, какой алгоритм требует дополнительной тренировки.
Познавательные УУД
- Сравнивают основания 2, 8, 10 и 16 и делают вывод о наборе допустимых цифр.
- Моделируют число как сумму разрядных слагаемых, умноженных на степени основания.
- Исследуют связь между группировкой двоичных разрядов и переводом в восьмеричную или шестнадцатеричную систему.
- Работают с таблицей соответствий, алгоритмом и примерами, представленными в разных формах.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру каждый шаг перевода, используя математические термины.
- Задают уточняющие вопросы о направлении перевода и способе проверки.
- Согласовывают общий ответ и корректно указывают на ошибку в решении.
- Представляют результат исследования классу и аргументируют вывод.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или материалы для доски: основания систем 2, 8, 10, 16; таблицу степеней 2 от $2^0$ до $2^{10}$; соответствие $10_{10}$–$15_{10}$ буквам A–F.
- Распечатать карточки трёх уровней по одной на каждого ученика: минимальный, базовый и повышенный; предусмотреть 2 запасных комплекта.
- Распечатать карточки для парной исследовательской работы: примеры переводов и два намеренно ошибочных решения — по одной на пару.
- Подготовить лист самопроверки с алгоритмами перевода и критериями: правильность, запись промежуточных действий, обратная проверка.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на ученика.
- Вывести на доску или экран проблемный вопрос: «Почему компьютер использует двоичную систему, а программисту удобны восьмеричная и шестнадцатеричная?»
- Подготовить таймер на 3–5 минут и интерактивную доску либо маркеры для фиксации решений.
- Освободить небольшой проход между рядами для физкультминутки с движениями по разрядам и степеням двойки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и вызвать интерес к проблеме представления чисел в компьютере.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране три записи: $1011_2$, $13_8$, $B_{16}$. «Ребята, сегодня мы будем не просто выполнять переводы, а исследовать, почему одно и то же количество можно записать по-разному. Подготовьте тетради и ручки, а в конце проверим, какая запись скрывается за каждой из этих комбинаций». | Готовят рабочее место, рассматривают записи, предполагают: «Это разные числа» или «Это разные способы записи одного числа». |
2 мин | «Подумайте 30 секунд, где вы могли встретить двоичные или шестнадцатеричные записи. Обсудите ответ с соседом и поделитесь одной идеей». Учитель принимает ответы и фиксирует на доске слова «компьютер», «цвет», «адрес», «память». | Индивидуально формулируют предположение, затем обсуждают его в парах и называют примеры: «двоичный код», «цвет в веб-дизайне», «адрес памяти». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что системы счисления встречаются в цифровой среде. Теперь выясним, как устроена такая запись и как переводить числа без угадывания».
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия разряда и степени основания, обнаружить необходимость нового алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает $583_{10}=5\cdot100+8\cdot10+3\cdot1$. «Что означает положение цифры в записи числа? Как изменится разрядное слагаемое, если основание будет не 10, а 2?». | Отвечают: «Значение цифры зависит от её позиции». Формулируют: «Разряды будут соответствовать степеням основания». |
3 мин | Учитель предлагает парам задание: «Запишите число $13_{10}$ как сумму степеней двойки. Не пользуйтесь пока готовым алгоритмом — исследуйте». После обсуждения спрашивает: «Как записать результат только нулями и единицами?». | В парах получают $13=8+4+1=2^3+2^2+2^0$, записывают $1101_2$, объясняют отсутствие $2^1$ цифрой 0. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Разложение по степеням уже помогает переводить числа в десятичную систему и обратно для небольших значений. Чтобы уверенно работать с числами до 1024, нам нужен общий алгоритм и способ самопроверки».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (3 мин)
Цель этапа: сформулировать цель урока и критерии успешного перевода чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель показывает ошибочное решение: $25_{10}=11001_2$. «Проверьте запись. Можно ли доверять ответу? Как быстро обнаружить ошибку?». | Складывают степени двойки и замечают: $16+8+1=25$, формулируют, что запись правильна, но предлагают проверить делением или обратным переводом. |
2 мин | «Сформулируйте цель урока одним предложением. Какие действия должны присутствовать в хорошем решении?». Учитель фиксирует критерии: выбрать основание, применить алгоритм, записать промежуточные действия, проверить ответ. | Предлагают цель: «Научиться переводить числа между системами счисления и проверять результат». Записывают критерии в тетради. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: мы научимся переводить числа в трёх новых системах и проверять себя. Сначала исследуем двоичный алгоритм, затем перенесём его на основания 8 и 16».
Этап 4. Открытие нового знания: алгоритмы перевода (10 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать алгоритмы перевода из десятичной системы и в десятичную систему для оснований 2, 8 и 16.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует перевод $45_{10}$ в двоичную систему. «Делим число на 2, записываем остаток, частное снова делим на 2, пока частное не станет нулём. Затем читаем остатки снизу вверх». На доске: $45:2=22$ ост. 1; $22:2=11$ ост. 0; $11:2=5$ ост. 1; $5:2=2$ ост. 1; $2:2=1$ ост. 0; $1:2=0$ ост. 1; ответ $101101_2$. | Записывают алгоритм и пример, проговаривают порядок: «делим, записываем остаток, продолжаем, читаем снизу вверх». Проверяют: $32+8+4+1=45$. |
3 мин | «Тот же принцип работает для основания 8 и 16: делим на основание, остаток становится цифрой. Переведём $83_{10}$ в восьмеричную систему: $83:8=10$ ост. 3; $10:8=1$ ост. 2; $1:8=0$ ост. 1, значит $123_8$. Для шестнадцатеричной системы вспомним: 10 — A, 11 — B, 12 — C, 13 — D, 14 — E, 15 — F». | Фиксируют примеры, объясняют: «остаток не может быть равен основанию». Называют запись $83_{10}=123_8$. Повторяют соответствия A–F. |
3 мин | «При обратном переводе умножаем каждую цифру на соответствующую степень основания и складываем. Например, $2D_{16}=2\cdot16^1+13\cdot16^0=32+13=45_{10}$. Почему буква D заменяется числом 13?». | Записывают модель и отвечают: «D — шестнадцатая цифра после 0–9, её значение 13». Сравнивают прямой и обратный перевод. |
Запись в тетрадях
- В позиционной системе счисления значение цифры определяется её местом и основанием системы.
- Для перевода из десятичной системы: последовательно делить число на основание, записывать остатки, читать остатки снизу вверх.
- Для перевода в десятичную систему: умножить цифры на соответствующие степени основания и сложить.
- В шестнадцатеричной системе: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели единый алгоритм: меняется только основание и набор допустимых цифр. Теперь применим его на практике и посмотрим, как восьмеричная и шестнадцатеричная записи связаны с двоичной».
Этап 5. Практическое исследование в парах и физкультминутка (8 мин)
Цель этапа: исследовать группировку двоичных разрядов и закрепить алгоритмы в сотрудничестве.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку. «Исследуйте два примера: $110101_2$ и $10111100_2$. Переведите их в восьмеричную и шестнадцатеричную системы двумя способами: через десятичную систему и группировкой разрядов справа налево. Сравните ответы и сформулируйте правило». Учитель напоминает: «Для восьмеричной системы группируем по 3 бита, для шестнадцатеричной — по 4». | Распределяют роли «вычислитель» и «проверяющий». Получают $110101_2=65_8=35_{16}$ и $10111100_2=274_8=BC_{16}$, сопоставляют два способа и формулируют правило группировки. |
2 мин | Физкультминутка. «Встаньте рядом с партой. На каждый мой сигнал покажите количество пальцев, соответствующее степени двойки по порядку: $2^0$, $2^1$, $2^2$, $2^3$. Затем объединитесь по трое и по четверо — так мы изобразим группировку разрядов». | Встают, выполняют движения, называют: «1, 2, 4, 8», объединяются в условные группы по 3 и 4 человека, возвращаются к рабочему месту. |
1 мин | «Поднимите карточку: зелёная — правило понятно, жёлтая — нужна одна подсказка, красная — требуется повторное объяснение. По цветам я распределю помощь на следующем этапе». | Показывают цвет, фиксируют личное затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Группировка двоичных разрядов сокращает запись: три бита соответствуют одной восьмеричной цифре, четыре бита — одной шестнадцатеричной. Теперь каждый проверит себя индивидуально».
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (11 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритмов и обеспечить каждому ученику посильный уровень практики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Выберите карточку по своему уровню. Минимальный уровень содержит два перевода, базовый — четыре, повышенный — пять заданий с поиском ошибки. Выбор уровня не является оценкой ваших способностей: он нужен, чтобы вы работали с усилием, но успели проверить результат». Учитель напоминает критерии и запускает таймер. | Выбирают карточку, записывают номер уровня и планируют порядок выполнения. |
6 мин | Учитель консультирует адресно. «В каждой задаче сначала подчеркните основание системы. Если переводите из десятичной, используйте деление с остатком; если в десятичную — разложение по степеням. Не стирайте промежуточные действия: по ним мы найдём место ошибки». | Выполняют задания индивидуально. Минимальный уровень: $19_{10}$ в двоичную и $10110_2$ в десятичную. Базовый уровень: $156_{10}$ в двоичную, $73_8$ в десятичную, $2A_{16}$ в десятичную, $111001_2$ в восьмеричную. Повышенный уровень дополнительно проверяет ошибку $47_{10}=2F_{16}$ и исправляет её. |
3 мин | Учитель выводит эталон: $19_{10}=10011_2$; $10110_2=22_{10}$; $156_{10}=10011100_2$; $73_8=59_{10}$; $2A_{16}=42_{10}$; $111001_2=71_8$; верно $47_{10}=2F_{16}$, поскольку $2\cdot16+15=47$. «Проверьте решения, поставьте плюс рядом с верным заданием, вопрос рядом с тем, которое требует разбора». | Сверяют ответы по шагам, исправляют ошибки другим цветом, отмечают затруднение и формулируют его причину: «перепутал порядок остатков», «не заменил F числом 15», «не дописал нулевую группу». |
Эталон решения
$156_{10}$ делим на 2: $156:2=78$ ост. 0; $78:2=39$ ост. 0; $39:2=19$ ост. 1; $19:2=9$ ост. 1; $9:2=4$ ост. 1; $4:2=2$ ост. 0; $2:2=1$ ост. 0; $1:2=0$ ост. 1. Читаем остатки снизу вверх: $10011100_2$. Проверка: $128+16+8+4=156$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что алгоритм работает для разных оснований. Ошибки чаще всего возникают в порядке чтения остатков, в записи степеней и в шестнадцатеричных цифрах. Завершим урок осмыслением результата и ответом на начальный вопрос».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить способы перевода, оценить продвижение каждого ученика и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к записям начала урока. «Теперь объясните, что означают $1011_2$, $13_8$ и $B_{16}$. Какой общий алгоритм вы использовали? Почему программисту может быть удобнее шестнадцатеричная запись, чем длинная двоичная?». | Переводят записи: $1011_2=11_{10}$, $13_8=11_{10}$, $B_{16}=11_{10}$. Формулируют: «Это компактные способы записи двоичной информации; шестнадцатеричная запись короче». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: «Запишите: 1) что теперь умеете; 2) какой шаг алгоритма даётся труднее всего; 3) какое задание готовы решить самостоятельно». Затем предлагает отметить цветом уровень уверенности. | Пишут ответы, выбирают зелёный, жёлтый или красный уровень уверенности, называют один личный результат. |
1 мин | «Домашняя работа имеет три уровня. Выполните обязательный, а затем выберите повышающий или дополнительный по готовности. Перед выходом ответьте на два контрольных вопроса: как проверить перевод и почему остаток при делении на основание не может быть больше или равен основанию?». | Записывают выбранный уровень, отвечают: «Проверить обратным переводом» и «остаток всегда меньше делителя». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены не менее 90% заданий выбранной карточки, записаны промежуточные действия, выполнена обратная проверка и корректно использованы цифры A–F.
- «4» — правильно выполнены не менее 70% заданий, алгоритм выбран верно, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, исправленная при самопроверке.
- «3» — правильно выполнены не менее 50% заданий, ученик понимает направление перевода, но нуждается в подсказке при делении с остатком, разложении по степеням или работе с A–F.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем? | Выявление осознания общего основания и правила группировки разрядов. |
Какой шаг перевода оказался самым сложным? | Выявление точек затруднения в алгоритме для последующей коррекции. |
Как вы проверяли полученный ответ? | Проверка сформированности навыка самоконтроля и обратного перевода. |
Какой уровень домашней работы вы выбираете и почему? | Оценка субъективной уверенности и развитие ответственного выбора уровня сложности. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы увидели, что двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы описывают числа разными, но закономерными способами. Главное — не запоминать отдельные ответы, а точно выполнять алгоритм и проверять себя обратным переводом. Особенно внимательно следите за порядком остатков и заменой букв A–F их числовыми значениями. На следующем уроке мы применим эти системы при выполнении операций и решении задач, связанных с представлением информации в компьютере».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 переводов: два числа из десятичной системы в двоичную, два двоичных числа в десятичную, одно восьмеричное и одно шестнадцатеричное число в десятичную. Числа подобрать в диапазоне от 0 до 1024. | Закрепляет базовые алгоритмы; при проверке смотреть на промежуточные действия, порядок остатков и правильность степеней основания. |
Средний (повышающий) | Выполнить 6 смешанных переводов между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами, используя прямой способ через десятичную систему и один раз группировку двоичных разрядов. | Формирует гибкость выбора способа; при проверке сравнить результаты двух способов и отметить совпадение. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать представление одного числа, например $255_{10}$ или $1024_{10}$, в четырёх системах счисления; составить краткое объяснение, почему шестнадцатеричная запись компактнее двоичной, и придумать одну задачу с ошибочным переводом. | Развивает исследовательское и критическое мышление; при проверке оценивать корректность вычислений, аргументацию и качество найденной ошибки. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как выполнить перевод из десятичной системы в систему с основанием $p$? Как выполнить обратный перевод? Каким числам соответствуют буквы A, B, C, D, E, F в шестнадцатеричной системе?»
