Логические высказывания. Логические операции. Приоритет логических операций
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться определять истинность простых и составных логических высказываний, распознавать операции НЕ, И, ИЛИ, строить значения выражений с учётом приоритета операций и объяснять полученный результат.
- Сформировать представление о логическом высказывании как предложении, которому можно однозначно сопоставить значение «истина» или «ложь».
- Научиться различать простые и составные высказывания, определять логические связки и записывать их с помощью обозначений.
- Отработать применение правил приоритета логических операций при вычислении значения выражения.
- Развивать умение аргументировать ответ, проверять собственное решение и видеть связь логики с программированием, поиском информации и цифровыми технологиями.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к способам формального описания рассуждений, используемым в информатике и будущих профессиях.
- Осознают значение точности формулировок и последовательности действий при работе с информацией.
- Принимают необходимость проверять утверждения и аргументировать собственную позицию.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору уровня задания и ответственному отношению к результату.
Метапредметные
- Выделяют логические связи в тексте и преобразуют словесные высказывания в формальные выражения.
- Планируют последовательность вычисления логического выражения и контролируют промежуточные результаты.
- Сравнивают способы решения, выявляют ошибку в рассуждении и объясняют её причину.
- Используют таблицы и схемы для представления информации, участвуют в обсуждении и аргументируют ответ.
Предметные
- Знать понятие логического высказывания и два возможных значения его истинности.
- Уметь отличать высказывания от вопросов, побудительных предложений и предложений, истинность которых нельзя установить однозначно.
- Знать обозначения и смысл логических операций НЕ, И, ИЛИ.
- Уметь вычислять значение простых и составных логических выражений.
- Уметь применять приоритет операций: скобки, отрицание, конъюнкция, дизъюнкция.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают практическую ценность логического мышления для программирования, анализа данных и принятия решений.
- Формируют ответственное отношение к точности утверждений в цифровой среде.
- Оценивают собственную готовность применять новые правила.
- Выбирают посильный, базовый или повышенный уровень задания.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют порядок выполнения логического выражения.
- Проверяют результат по таблице истинности или пошаговым вычислением.
- Находят и исправляют ошибку в собственном решении.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Классифицируют предложения по признаку наличия истинностного значения.
- Выделяют простые высказывания и логические связки в составном выражении.
- Строят таблицу истинности для базовых операций.
- Применяют правила приоритета и моделируют ход вычисления.
- Устанавливают связь между естественным языком, логическими обозначениями и программным кодом.
Коммуникативные УУД
- Формулируют ответ полным предложением и приводят доказательство.
- Обсуждают решение в паре, принимают и корректно уточняют позицию партнёра.
- Задают вопросы о причине выбора операции или порядка вычислений.
- Распределяют роли при совместной проверке задания.
- Разрешают разногласия обращением к определению и правилу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или экранную запись с примерами предложений, обозначениями логических операций и правилом приоритета.
- Распечатать карточки с 12 предложениями для классификации — по одной на пару, всего 15 комплектов.
- Распечатать карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика, 30 экземпляров.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я умею определить высказывание», «Я различаю НЕ, И, ИЛИ», «Я учитываю приоритет».
- Вывести на доску памятку: «Сначала скобки, затем НЕ, затем И, затем ИЛИ».
- Подготовить таблицу истинности для операций НЕ, И, ИЛИ в качестве эталона самопроверки.
- Подготовить маркеры, стикеры трёх цветов и таймер на 2–4 минуты.
- Обеспечить компьютер и проектор или интерактивную доску; при наличии оборудования подготовить короткий фрагмент логического условия из программы.
- Разместить на отдельных слайдах проблемный пример и задания для самостоятельной работы без указания номеров страниц или конкретного учебника.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и показать практическую значимость логики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране условие: «Если температура ниже 0 градусов и идёт снег, то приложение предупреждает о гололёде». Учитель говорит: "Сегодня мы будем рассуждать так, как это делают программы: выделять условия, соединять их и получать точный результат. Проверьте, что на столе есть тетрадь и ручка, а телефон убран." | Проверяют готовность, читают условие с экрана, предполагают: «Программа проверяет несколько условий». |
2 мин | Учитель использует приём «Проблемный вопрос»: "Можно ли по одной фразе понять, будет ли предупреждение истинным? Что нужно знать о словах «и», «или», «не»? Сегодня мы найдём правила, которые позволяют компьютеру и человеку одинаково понимать такие выражения." | Обсуждают вопрос с соседом 30 секунд, формулируют предположения: «Нужно знать значения отдельных условий и порядок операций». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что повседневная фраза может быть условием в программе. Теперь выясним, какие предложения можно назвать высказываниями и как проверить их истинность."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о предложениях, условиях и двоичном представлении информации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки и объясняет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Разделите предложения на те, которым можно однозначно приписать истину или ложь, и остальные. Не угадывайте ответ, объясняйте критерий." На карточках: «Москва — столица России»; «Закройте окно»; «Сколько сейчас времени?»; «7 умножить на 8 равно 56»; «Это красивый фильм»; «Земля вращается вокруг Солнца». | Классифицируют предложения, обсуждают критерий. Отвечают: «Высказывания — предложения, про которые можно сказать, истинны они или ложны». |
3 мин | Учитель проверяет ответы: "Почему вопрос и побудительное предложение мы не относим к высказываниям? Можно ли однозначно доказать утверждение «Это красивый фильм»? Запишите два примера собственных высказываний: одно истинное и одно ложное." | Объясняют: «Вопрос требует ответа, команда побуждает к действию, а оценка зависит от мнения». Записывают примеры, например: «2 плюс 2 равно 4» и «9 меньше 3». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что высказывание имеет одно из двух значений: истина или ложь. Но одно высказывание можно соединить с другим. Посмотрим, какие операции для этого используются."
Этап 3. Выявление затруднения и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при вычислении составного выражения и сформулировать цель урока.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: «Не 3 больше 1 или 2 равно 2». Затем спрашивает: "Попробуйте быстро определить, истинно ли это выражение. Почему у разных пар могут получиться разные ответы? Какие слова требуют уточнения?" | Предлагают варианты, выделяют слова «не» и «или», замечают, что выражение записано неформально и порядок действий неочевиден. |
2 мин | Учитель говорит: "Сформулируйте цель урока от своего имени. Какие знания помогут избежать спора?" Учитель фиксирует на доске формулировку: «Научиться записывать и вычислять логические выражения с учётом приоритета операций». | Формулируют цель: «Узнать обозначения операций и порядок их выполнения», «научиться получать один правильный результат». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло не из-за сложных вычислений, а из-за отсутствия общего порядка действий. Сейчас мы сами построим этот порядок и проверим его на примерах."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести понятия логического выражения, операций НЕ, И, ИЛИ и правила их приоритета.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает таблицу на экране и объясняет: "Обозначим простые высказывания буквами $A$ и $B$. Операция НЕ изменяет значение высказывания на противоположное: если $A$ истинно, то $¬A$ ложно. Операция И истинна только тогда, когда истинны оба высказывания. Операция ИЛИ истинна, если истинно хотя бы одно высказывание. В информатике И часто называют конъюнкцией, а ИЛИ — дизъюнкцией." | Записывают определения, проговаривают значения операций, приводят примеры: «A — число чётное; ¬A — число нечётное». |
4 мин | Учитель демонстрирует таблицу истинности: "Посмотрите на три строки. Для И достаточно одной ложной части, чтобы весь результат стал ложным. Для ИЛИ достаточно одной истинной части, чтобы результат стал истинным. Запишите таблицу в тетрадь и объясните соседу одну выбранную строку." | Заполняют и проверяют таблицу истинности, объясняют партнёру строки. Формулируют: «И даёт истину только при 1 и 1; ИЛИ даёт ложь только при 0 и 0». |
4 мин | Учитель записывает памятку: "Порядок действий такой: сначала выражения в скобках, затем НЕ, затем И, затем ИЛИ. Например, в выражении $¬A И B ИЛИ C$ сначала выполняем $¬A$, затем операцию И, затем ИЛИ. Скобки позволяют изменить естественный порядок. Если встречаются операции одного приоритета, читаем выражение слева направо." | Составляют алгоритм вычисления из четырёх шагов, выделяют операции цветными маркерами, задают вопросы о скобках. |
Запись в тетрадях
Логическое высказывание — предложение, которому можно однозначно поставить в соответствие значение «истина» или «ложь». Основные операции: НЕ — $¬A$, И — $A ∧ B$, ИЛИ — $A ∨ B$. Приоритет: 1) скобки; 2) НЕ; 3) И; 4) ИЛИ.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть язык логики и общий порядок вычислений. Проверим новое правило сначала вместе, проговаривая каждый шаг вслух, чтобы не пропустить ошибку."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить пошагово вычислять логические выражения с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Пусть $A$ — высказывание «5 больше 2», а $B$ — высказывание «5 равно 2». Вычислите $¬A ∨ B$. Не называйте только ответ: укажите порядок операций." Учитель просит одну пару оформить решение на доске. | Записывают: $A=1$, $B=0$; $¬A=0$; $0∨0=0$. Отвечают: «Выражение ложно». |
2 мин | Учитель предлагает второй пример: "Пусть $A=1$, $B=0$, $C=1$. Найдите значение $(A ∧ B) ∨ C$. Сначала назовите действие в скобках." | Вычисляют: $A∧B=0$; $0∨C=1$. Формулируют: «Значение выражения истинно». |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Сравните решение с эталоном на экране. Если ответ совпал, поставьте рядом знак плюс. Если нет, подчеркните шаг, на котором возникло расхождение, и объясните его партнёру." | Сверяют решения, ставят отметку, находят ошибку при её наличии и исправляют конкретный шаг. |
Эталон решения
Для $¬A∨B$, если $A=1$, $B=0$: 1) выполняем отрицание: $¬A=0$; 2) выполняем дизъюнкцию: $0∨0=0$. Ответ: выражение ложно. Для $(A∧B)∨C$, если $A=1$, $B=0$, $C=1$: 1) скобки: $1∧0=0$; 2) дизъюнкция: $0∨1=1$. Ответ: выражение истинно.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились не угадывать результат, а получать его по шагам. Далее каждый выберет уровень задания и проверит, насколько уверенно умеет применять правило самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение распознавать высказывания и вычислять логические выражения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень осознанно. Базовый обязателен для всех; повышенный можно выбрать, если базовый выполнен уверенно; дополнительное задание предназначено для тех, кто хочет проверить себя на сложном выражении. Работайте молча, записывайте промежуточные значения." | Выбирают карточку, записывают фамилию и начинают индивидуальную работу. |
5 мин | Учитель наблюдает и при необходимости задаёт направляющий вопрос: "Какую операцию вы выполняете первой? Есть ли скобки? Какое значение имеет каждое простое высказывание?" На карточках: базовый — определить, какие из 4 предложений являются высказываниями; вычислить $¬A∧B$ при $A=1$, $B=1$ и $A∨B$ при $A=0$, $B=1$; повышенный — вычислить $¬A∨(B∧C)$ при $A=0$, $B=1$, $C=0$ и $(A∨B)∧¬C$ при $A=0$, $B=1$, $C=0$; дополнительный — составить логическое выражение для условия «число $x$ положительное и не превышает 10». | Решают выбранные задания, указывают порядок действий. Для дополнительного задания записывают, например: $x>0 ∧ ¬(x>10)$ или $x>0 ∧ x≤10$. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте не только итог, но и каждый промежуточный шаг. Исправление ошибки — часть работы, поэтому рядом с неверным шагом запишите короткое объяснение." Затем предлагает поставить в листе самооценки знак «+», «±» или «−». | Сверяют ответы, исправляют ошибки другим цветом, заполняют лист самооценки и отмечают, нужна ли помощь с приоритетом. |
Эталон для проверки: $¬A∧B$ при $A=1$, $B=1$: $¬A=0$, $0∧1=0$. $A∨B$ при $A=0$, $B=1$: $0∨1=1$. $¬A∨(B∧C)$ при $A=0$, $B=1$, $C=0$: $¬A=1$, $B∧C=0$, $1∨0=1$. $(A∨B)∧¬C$: $A∨B=1$, $¬C=1$, $1∧1=1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная проверка показала, что главное затруднение обычно связано не с операциями, а с нарушением их порядка. На последнем этапе соберём правила в единую схему и проверим, можем ли объяснить их другому человеку."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: обобщить новый способ действия, оценить продвижение и зафиксировать домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёный стикер, если можете самостоятельно вычислить выражение с НЕ, И и ИЛИ; жёлтый — если нужна тренировка; красный — если требуется объяснение с начала. Теперь одним предложением ответьте: что выполняется раньше — И или ИЛИ?" | Поднимают стикеры, отвечают: «Операция И выполняется раньше операции ИЛИ», формулируют личное затруднение. |
2 мин | Учитель говорит: "Запишите домашнее задание. Перед выходом ответьте на контрольный вопрос: является ли предложением «Откройте файл» логическим высказыванием и почему?" Учитель собирает стикеры самооценки. | Записывают домашнее задание, отвечают: «Нет, это побудительное предложение, ему нельзя однозначно присвоить истину или ложь». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно классифицированы все предложения, правильно выполнены оба базовых вычисления или задания выбранного повышенного уровня, записаны промежуточные шаги и корректно применён приоритет операций.
- «4» — правильно выполнено большинство заданий, допущена одна вычислительная ошибка или неточность в записи промежуточного шага, но правило приоритета в целом применено верно.
- «3» — верно определена часть логических высказываний и выполнено хотя бы одно вычисление, однако имеются ошибки в различении операций или порядке действий; решение требует коррекции по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о логическом высказывании? | Проверка осознания ключевого определения и двух возможных значений. |
Какая операция показалась наиболее понятной, а какая потребовала усилий? | Выявление субъективных точек затруднения в понимании НЕ, И и ИЛИ. |
Как вы определяете, какую операцию выполнять первой? | Проверка понимания алгоритма приоритета и умения проговаривать шаги. |
Где логические выражения могут понадобиться за пределами урока? | Связь учебного материала с программированием, поиском информации и цифровыми технологиями. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились рассматривать предложения как логические высказывания и соединять их операциями НЕ, И и ИЛИ. Самая частая ошибка — начинать вычисление слева направо, не учитывая скобки и приоритет. Если вы записываете промежуточные значения, такая ошибка становится заметной и исправимой. На следующем уроке мы продолжим работу с логическими выражениями и построим таблицы истинности для составных условий."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: определить, какие из предложенных предложений являются логическими высказываниями; записать два собственных высказывания; вычислить значения двух выражений с операциями НЕ, И и ИЛИ при заданных значениях переменных; выписать порядок приоритета операций. | Закрепляет определения и базовый алгоритм вычисления; при проверке обратить внимание на однозначность высказываний и запись промежуточных шагов. |
Средний (повышающий) | Решить 4 составных логических выражения со скобками и без скобок, включая выражения вида $¬A∨(B∧C)$; для двух выражений кратко объяснить, почему выбран именно такой порядок действий. | Формирует устойчивое применение приоритета и умение аргументировать решение, а не только записывать ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 3 логических условия для повседневной или программной ситуации: фильтрация товаров, допуск пользователя, прогноз погоды или выбор маршрута. Для каждого обозначить простые высказывания и записать итоговое выражение с использованием НЕ, И и ИЛИ. | Развивает создание собственных моделей, связывает тему с программированием и функциональной грамотностью; при проверке оценить корректность обозначений и соответствие выражения описанию. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что такое логическое высказывание? Какие значения оно принимает? Какая операция выполняется раньше: И или ИЛИ? Почему скобки могут изменить результат выражения?»
