Обобщение по теме «Системы счисления»
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока обобщить способы представления чисел в позиционных системах счисления и научиться выбирать и применять подходящий алгоритм перевода чисел, выполнения арифметических действий и проверки результата в течение 45 минут.
- Закрепить понятия «система счисления», «основание системы», «разряд», «позиционная система счисления» и различия между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами.
- Совершенствовать умение переводить целые числа между системами счисления, выполнять действия в двоичной системе и проверять результат обратным переводом.
- Развивать умение анализировать условие задания, выбирать рациональный способ решения, объяснять ход рассуждений и находить ошибки в вычислениях.
- Формировать ответственное отношение к точности вычислений и понимание роли систем счисления в информатике и будущей профессиональной деятельности.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точности, последовательности и самоконтроля при работе с информацией.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать уровень сложности задания и отвечать за результат.
- Понимают связь систем счисления с программированием, компьютерной техникой и цифровыми профессиями.
- Развивают мотивацию к изучению способов представления информации.
Метапредметные
- Планируют последовательность действий при решении вычислительной задачи и контролируют промежуточные результаты.
- Извлекают необходимую информацию из текста учебника, таблиц и записей на доске.
- Сравнивают способы решения, выявляют причину ошибки и формулируют обоснованный вывод.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументированно представляют решение.
- Используют знаково-символические средства: разрядную запись, алгоритмы деления и двоичное представление.
Предметные
- Знать определения системы счисления, основания системы, цифры и разряда.
- Уметь переводить целые числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно.
- Уметь выполнять сложение и умножение двоичных чисел.
- Уметь проверять результат вычисления обратным переводом или оценкой разрядов.
- Уметь объяснять, почему запись цифры зависит от её позиции и основания системы.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к применению алгоритмов систем счисления.
- Осознают ценность аккуратности и проверки результата в цифровой среде.
- Выбирают задание с учётом собственных возможностей и стремятся повысить уровень сложности.
- Связывают изучаемый материал с задачами программиста, инженера и специалиста по данным.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель обобщения и составляют план решения выбранного задания.
- Сверяют каждый шаг перевода или вычисления с алгоритмом-напоминанием.
- Самостоятельно обнаруживают расхождение с эталоном и корректируют решение.
- Оценивают собственный результат по заданным критериям и фиксируют затруднение.
Познавательные УУД
- Классифицируют системы счисления по основанию и способу записи числа.
- Строят разрядную модель числа и используют её для обратной проверки.
- Анализируют ошибочное решение, выделяют неверный шаг и предлагают исправление.
- Применяют алгоритмы перевода и арифметических действий в новой задаче.
- Сравнивают трудоёмкость перевода последовательными делениями и через разрядную сумму.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют вопросы по конкретному шагу алгоритма, не подменяя объяснение готовым ответом.
- Представляют решение с использованием математических и информатических обозначений.
- Корректно обсуждают расхождения и обосновывают выбор способа решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с таблицей соответствия цифр шестнадцатеричной системы: 10 — A, 11 — B, 12 — C, 13 — D, 14 — E, 15 — F.
- Вывести на доску памятку: перевод из десятичной системы — последовательное деление с записью остатков снизу вверх; перевод в десятичную — сумма произведений цифр на степени основания.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней сложности — по одной на каждого ученика, с запасом 2 экземпляра каждого варианта.
- Распечатать карточки с ошибочными решениями — по одной на парту для приёма «Найди ошибку».
- Подготовить лист самооценки с пунктами «перевожу», «вычисляю», «проверяю», «объясняю» — по одному на ученика.
- Подготовить стикеры трёх цветов для рефлексии — по одному набору на каждого ученика.
- Подготовить фрагмент соответствующего материала учебника по теме систем счисления для сверки алгоритмов и терминов; конкретные страницы учитель выбирает по используемому изданию.
- Проверить наличие тетрадей, ручек, черновиков, проектора или интерактивной доски и таймера.
- Заранее записать на доске тему, цель с пропусками и условие стартового задания: $101101_2$ и $2A_{16}$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость точного представления чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не будем просто повторять определения. Представьте, что вы тестируете программу, которая хранит число в двоичном виде. Одна ошибка в разряде изменит результат. Подготовьте тетради, ручки и черновики." | Проверяют готовность рабочего места, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на доске записи $101101_2$ и $2A_{16}$: "Перед вами две записи чисел. Как понять, какое значение скрывается за каждой записью? Почему одна и та же цифра в разных позициях имеет разный вес? Сегодня вы выберете задания и докажете, что умеете работать с системами счисления как специалист по цифровой информации." | Высказывают предположения: "Нужно знать основание системы", "важны разряды и их веса"; формулируют ожидаемый результат урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы выяснили, что запись числа сама по себе недостаточна: нужно учитывать основание и положение цифр. Сначала восстановим опорные знания, а затем применим их к разным задачам."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить ключевые понятия и алгоритмы, необходимые для дальнейшего решения задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "За 30 секунд индивидуально запишите, что означает основание системы счисления. Затем одну минуту обсудите формулировку с соседом. После этого назовём точные варианты и проверим их по материалу учебника." Учитель фиксирует на доске слова «основание», «цифры», «разряд», «позиционная». | Индивидуально записывают определение, обсуждают его в парах, предлагают формулировку: "Основание показывает количество цифр, используемых в системе, а значение цифры зависит от её позиции". |
3 мин | Учитель показывает таблицу и задаёт вопросы: "Каково основание двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной систем? Как записывается число $1011_2$ в десятичной системе? Какой цифрой обозначают число 15 в шестнадцатеричной системе?" | Отвечают: "2, 8, 10 и 16"; вычисляют $1011_2=1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0=11_{10}$; отвечают: "F". |
Запись в тетрадях
- $a_n a_{n-1}\ldots a_0{}_p=a_n\cdot p^n+a_{n-1}\cdot p^{n-1}+\ldots+a_0\cdot p^0$.
- При переводе из десятичной системы в другую частное делят на основание, остатки записывают снизу вверх.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили определения и два главных алгоритма. Теперь проверим, где именно возникает затруднение и какую цель поставим для самостоятельной работы."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: выявить типичные ошибки и совместно определить план обобщения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку с ошибочным решением: "$45_{10}=101101_2$, потому что $4\cdot2^2+5\cdot2^1=26$". Учитель спрашивает: "Найдите не просто неправильный ответ, а первый неверный шаг. Какая цифра или разряд пропущены?" | В парах подчёркивают ошибочный фрагмент, объясняют: "Десятичные цифры нельзя умножать на степени двойки без разрядного представления; при делении нужно учитывать остатки". |
2 мин | Учитель подводит к плану: "Какие действия помогут нам уверенно решать задания? Предложите порядок работы. На доске оставим только те шаги, с которыми согласится класс." | Формулируют план: повторить алгоритмы, решить задания разных типов, проверить результаты, разобрать ошибки; записывают цель урока кратко. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема не в механическом запоминании цифр, а в выборе правильного алгоритма и контроле каждого шага. Переходим к совместному открытию удобной схемы проверки."
Этап 4. Открытие и систематизация знания (8 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритмы перевода и связать их в единую систему действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель обращается к материалу учебника и выводит на доску схему: "Откройте учебник на разделе о системах счисления и найдите описание перевода числа $45_{10}$ в двоичную систему. Сравним запись в учебнике с нашей памяткой. Выполним деление: $45:2=22$ остаток 1; $22:2=11$ остаток 0; $11:2=5$ остаток 1; $5:2=2$ остаток 1; $2:2=1$ остаток 0; $1:2=0$ остаток 1. Почему остатки читаем снизу вверх?" | Сверяют алгоритм с учебником, записывают цепочку делений, отвечают: "Потому что первый остаток является младшим разрядом, а последний — старшим"; получают $45_{10}=101101_2$. |
4 мин | Учитель показывает обратную проверку: "Теперь разложим $101101_2$ по степеням двойки: $1\cdot2^5+0\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0$. Сравните это с числом 45. В чём преимущество такой проверки?" Затем предлагает аналогично разобрать $2A_{16}$ и напоминает, что $A=10$. | Записывают разрядную сумму и вычисляют $32+8+4+1=45$. Объясняют: "Обратный перевод позволяет обнаружить ошибку". Вычисляют $2A_{16}=2\cdot16+10=42_{10}$. |
Запись в тетрадях
- Прямой перевод: последовательное деление на основание, чтение остатков снизу вверх.
- Обратный перевод: разложение числа по степеням основания.
- Проверка: повторный перевод полученного результата в исходную систему.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть не разрозненные правила, а единая схема: определить основание, выбрать алгоритм, выполнить действия и проверить результат. Применим её в заданиях с постепенным усложнением."
Этап 5. Первичное закрепление. Работа в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы перевода и двоичной арифметики с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "Выполните перевод $37_{10}$ в двоичную систему. Один ученик решает, второй проговаривает основание, частное и остаток. Затем поменяйтесь ролями и выполните обратную проверку." | Решают: $37:2=18$ ост. 1, $18:2=9$ ост. 0, $9:2=4$ ост. 1, $4:2=2$ ост. 0, $2:2=1$ ост. 0, $1:2=0$ ост. 1; получают $100101_2$, проверяют: $32+4+1=37$. |
3 мин | Учитель предлагает вторую задачу: "Вычислите $1011_2+1101_2$. Запишите переносы и объясните, почему $1+1$ даёт $10_2$, а не $2_2$." Учитель подходит к парам и уточняет ход решения. | Складывают столбиком: $1011_2+1101_2=11000_2$, объясняют: "В двоичной системе цифры 2 нет, поэтому 2 единицы заменяются на 1 десяток двоичной системы". |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Проверьте три позиции: основание, порядок остатков или переносов, итоговая проверка. Напишите напарнику одну сильную сторону и один совет." | Проверяют решения по памятке, отмечают корректные шаги, записывают совет: "Не забывай читать остатки снизу вверх" или "Проверяй перенос в разряде". |
Эталон решения
$1011_2+1101_2$: справа налево: $1+1=10_2$, записываем 0, переносим 1; $1+0+1=10_2$, записываем 0, переносим 1; $0+1+1=10_2$, записываем 0, переносим 1; $1+1+1=11_2$, записываем 1 и переносим 1 в новый разряд. Ответ: $11000_2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проговорили алгоритмы и проверили решения друг друга. Следующий шаг — индивидуально показать, какие действия вы уже выполняете без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с выбором уровня (10 мин)
Цель этапа: диагностировать самостоятельное владение переводом, вычислениями и проверкой результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Обязательный уровень выполняют все. Затем выберите базовый или повышенный вариант по готовности. Правило одно: записывайте не только ответ, но и способ решения, чтобы можно было проверить ход мысли." | Выбирают карточку или уровень, записывают номер варианта и план действий. |
6 мин | Учитель предлагает задания: "Минимум: переведите $26_{10}$ в двоичную и $11100_2$ в десятичную. Базовый уровень: переведите $74_{10}$ в восьмеричную и выполните $10110_2-111_2$. Повышенный уровень: найдите ошибку в равенстве $3F_{16}=311_{10}$ и исправьте его, а затем предложите собственную проверку." | Индивидуально решают выбранные задания, фиксируют деление, разрядную сумму и заимствования; получают для обязательного уровня $11010_2$ и $28_{10}$; для базового уровня $112_8$ и $11111_2$; исправляют $3F_{16}=63_{10}$. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "$26_{10}=11010_2$; $11100_2=28_{10}$; $74_{10}=112_8$; $10110_2-111_2=11111_2$; $3F_{16}=3\cdot16+15=63_{10}$. Сверьте решения, подчеркните место первой ошибки и поставьте себе знак «+» или «нужна коррекция»." | Сверяют каждую строку с эталоном, исправляют ошибки другим цветом, отмечают в листе самооценки умения, которые выполнены самостоятельно. |
Эталон решения
Для $74_{10}$: $74:8=9$ остаток 2; $9:8=1$ остаток 1; $1:8=0$ остаток 1, поэтому $74_{10}=112_8$. Для вычитания $10110_2-00111_2$ получаем $01111_2$, то есть $1111_2$; при выборе записи с пятью разрядами ответ $01111_2$. В карточке базового уровня следует считать правильным ответ $01111_2$, а не $11111_2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм перевода уже работает, но в двоичном вычитании особенно важно внимательно выполнять заимствование. Завершим урок проверкой общего результата и личного затруднения."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить достигнутый результат, определить точку роста и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно перевести число и проверить результат; жёлтую — если алгоритм понятен, но нужна тренировка; красную — если требуется разбор конкретного шага. Одним предложением объясните свой выбор соседу." | Поднимают карточки, формулируют самооценку: "Мне легко переводить в двоичную систему, но сложно проверять" или "Нужно повторить двоичное вычитание". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы «Билета на выход»: "Запишите: 1) какое правило сегодня стало понятнее; 2) какую ошибку вы теперь умеете находить; 3) где системы счисления применяются за пределами урока." | Пишут краткие ответы: "остатки читаются снизу вверх", "ошибку в разряде", "в памяти компьютера, программировании, кодировании данных". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный, повышающий или дополнительный уровень. Описание задания записано на доске и продублировано в дневнике. Перед уходом проверьте, что указали выбранный уровень и вопрос, который хотите задать на следующем уроке." | Записывают домашнее задание, отмечают выбранный уровень, сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы систематизировали способы перевода, выполнили двоичные действия и научились проверять результат. Важно не угадывать ответ, а видеть основание, разряды и логику алгоритма. На следующем уроке мы используем эти умения при решении более сложных задач представления информации."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательное и выбранное задание, записаны алгоритмы или разрядные суммы, выполнена проверка результата, исправления обоснованы.
- «4» — верно выполнено обязательное задание и большая часть выбранного уровня; допущена одна вычислительная ошибка, но алгоритм и запись шагов в основном корректны.
- «3» — выполнено обязательное задание или две его части с существенной помощью эталона; понятны основание системы и общий алгоритм, но есть ошибки в разрядах, остатках или переносах.
- Ниже отметки «3» — отсутствует полный алгоритм, не определено основание системы или ответ не подтверждён ни одной записью действия.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой алгоритм перевода вы сегодня можете выполнить без подсказки? | Выявление реально освоенного способа действия. |
На каком шаге решения возникло затруднение: выбор основания, вычисление, запись остатков или проверка? | Выявление конкретной точки затруднения, а не общей оценки «не понял». |
Как вы проверили хотя бы один полученный ответ? | Проверка сформированности навыка самоконтроля. |
Где системы счисления встречаются в будущей профессии или цифровой технике? | Осмысление практической значимости темы и поддержка мотивации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы собрали в одну систему знания о двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной записи чисел. Вы убедились, что главный источник ошибок — не само вычисление, а неверно выбранное основание, пропущенный разряд или отсутствие проверки. Пользуйтесь алгоритмом последовательно и обязательно объясняйте, почему получили именно такой результат. На следующем уроке мы применим эти умения к представлению чисел и информации в компьютере."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: перевести два целых числа из десятичной системы в двоичную и два двоичных числа в десятичную; для каждого записать проверку обратным способом. | Закрепляет два алгоритма перевода; при проверке смотреть на основание, порядок остатков и разрядную сумму. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 заданий: два перевода из десятичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, одно обратное преобразование и два действия с двоичными числами; минимум два ответа проверить. | Развивает выбор алгоритма и точность двоичной арифметики; при проверке смотреть на переносы, заимствования и оформление промежуточных шагов. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную мини-задачу для одноклассника: перевод числа между двумя системами, одно действие или поиск ошибки в готовом решении; приложить подробный эталон и объяснить практическое применение. | Развивает создание, анализ и аргументацию; при проверке смотреть на корректность условия, однозначность ответа и качество объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как определить основание системы счисления? Почему при переводе делением остатки читают снизу вверх? Как проверить перевод числа? Какая цифра обозначает число 15 в шестнадцатеричной системе?»
