Арифметические операции и переводы в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться выполнять сложение и вычитание двоичных чисел, переводить числа между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления и применять эти умения при решении не менее четырёх практических заданий.
- Сформировать представление о правилах арифметических операций в двоичной системе счисления и закрепить их на примерах.
- Познакомить с цифрами и особенностями записи чисел в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.
- Развивать умение выбирать рациональный способ перевода чисел, проверять результат обратным действием и обнаруживать ошибки.
- Воспитывать ответственное отношение к точности вычислений, готовность аргументировать решение и сотрудничать при работе в парах.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к способам представления информации, используемым в вычислительной технике.
- Осознают значение точности, последовательности и самопроверки в работе с данными.
- Принимают необходимость уважительно обсуждать разные способы решения и самостоятельно выбирать уровень задания.
- Связывают изучаемые системы счисления с будущими направлениями деятельности в сфере информационных технологий.
Метапредметные
- Извлекают правило из примеров, сравнивают алгоритмы перевода и выделяют существенные признаки.
- Планируют последовательность действий при выполнении вычислений и переводов.
- Работают с таблицей соответствий, краткой записью алгоритма и результатами одноклассников.
- Аргументируют ответ, задают уточняющие вопросы и осуществляют взаимопроверку по эталону.
Предметные
- Знать правила сложения и вычитания двоичных чисел.
- Уметь выполнять сложение и вычитание двоичных чисел с переходом через разряд.
- Знать цифры восьмеричной системы и обозначения A–F в шестнадцатеричной системе.
- Уметь переводить целые числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а также выполнять обратный перевод.
- Уметь группировать двоичные разряды по три и по четыре для ускоренного перевода в восьмеричную и шестнадцатеричную системы.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают практическую ценность разных систем счисления для хранения и обработки информации.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня практического задания.
- Формируют установку на точность записи каждого разряда и проверку результата.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют алгоритм перевода и арифметической операции.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибки.
- Оценивают степень освоения каждого умения по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Сравнивают правила выполнения действий в разных системах счисления.
- Моделируют перевод числа через разряды, степени основания и группировку битов.
- Анализируют неверные решения и устанавливают причину ошибки.
- Используют таблицу соответствий двоичных триад и тетрад.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли при парной работе: решающий и проверяющий.
- Формулируют объяснение алгоритма полным предложением.
- Слушают решение партнёра и корректно предлагают исправление.
- Аргументируют выбор способа перевода перед классом.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или экранную таблицу с основаниями систем счисления 2, 8, 10 и 16.
- Вывести на доску памятку: правила сложения и вычитания двоичных чисел, цифры 0–9 и A–F.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Распечатать карточки с двоичными триадами и тетрадами — по одному комплекту на каждую пару.
- Подготовить лист самооценки с четырьмя пунктами: сложение, вычитание, перевод в восьмеричную систему, перевод в шестнадцатеричную систему.
- Подготовить маркеры, стикеры двух цветов и таблички «решающий» и «проверяющий» для парной работы.
- Подготовить интерактивную доску или проектор, компьютер и таймер на 2–4 минуты.
- Заранее записать на доске проблемный пример: $1011_2+1101_2$ и вопрос «Можно ли считать в двоичной системе по тем же принципам, что и в десятичной?».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, связанную с точной обработкой данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране две записи: $1010_2$ и $1010_{10}$. «Ребята, записи похожи, но обозначают разные числа. Сегодня мы будем работать как специалисты, которые должны точно понимать формат данных. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и карточка для вычислений». | Проверяют готовность, рассматривают записи и формулируют предположение: «Основание системы меняет значение числа». |
2 мин | Учитель обращается к приёму «Проблемный вопрос»: «Почему компьютер может хранить данные в двоичном виде, а человеку часто удобнее использовать восьмеричную или шестнадцатеричную запись? Какие операции нам понадобятся, чтобы не переводить каждое число вручную через длинную запись?» Учитель фиксирует гипотезы на доске. | Высказывают предположения: «Двоичная запись удобна для техники», «Восьмеричная и шестнадцатеричная записи короче», «Нужны быстрые переводы и вычисления». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одинаковая последовательность цифр может иметь разное значение. Теперь проверим, умеем ли мы выполнять действия в двоичной системе и как можно быстро переводить записи в другие системы».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о позиционной записи числа, основаниях систем счисления и разложении числа по степеням основания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Самостоятельно за 30 секунд определите значение записи $1011_2$. Затем обсудите с соседом, как вы это получили. В ответе назовите не только результат, но и способ». | Вычисляют $1011_2=1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0=11_{10}$, обсуждают решение в парах и называют разложение по степеням двойки. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы и записывает ответы: «Как называется цифра справа? Как меняется цена разряда при переходе влево? Какие цифры допустимы в системе с основанием 8? Какие цифры используются в системе с основанием 16?» | Отвечают: «Младший разряд», «Каждый следующий разряд в два, восемь или шестнадцать раз больше», «В восьмеричной системе цифры от 0 до 7», «В шестнадцатеричной — 0–9 и A–F». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что значение цифры зависит от её позиции и основания системы. Но пока не проверили, как выполнять действия, когда в записи есть только нули и единицы. Найдём правило на конкретном примере».
Этап 3. Выявление затруднения и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при выполнении двоичного сложения и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает решить на черновике пример $1011_2+1101_2$. «Решите самостоятельно так, как умеете. Не подсматривайте в соседнюю тетрадь. Если возникнет сомнение, отметьте место вопросительным знаком». Затем просит двух учеников записать варианты на доске. | Решают пример, фиксируют затруднение при записи $1+1$, сравнивают варианты. Предполагают: «При сложении двух единиц нужно записать 0 и перенести 1 в следующий разряд». |
2 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: «Чему равно $1+1$ в десятичной системе? Как записать число 2 в двоичной системе? Что произойдёт, если к переносу добавить следующую единицу? Какие знания нужно получить сегодня, чтобы выполнить не только этот пример?» | Отвечают: «$1+1=10_2$», «Нужно учитывать перенос», «Нужно знать сложение и вычитание, а также способы перевода в системы 8 и 16». Формулируют цель урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение возникло не случайно: в двоичной системе после единицы сразу появляется новый разряд. Составим алгоритмы и проверим их на учебных и практических заданиях».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести правила двоичного сложения и вычитания и установить быстрые способы перевода между системами счисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает на доске таблицу: $0+0=0$, $0+1=1$, $1+0=1$, $1+1=10_2$. «Складываем справа налево. Если сумма равна двум, в текущем разряде записываем 0, а 1 переносим в следующий. Если к единице добавляется перенос, получаем $1+1+1=11_2$: записываем 1 и переносим 1». Учитель вместе с классом разбирает $1011_2+1101_2$. | Записывают правило и по шагам получают: единицы $1+1=10_2$, затем $1+1+1=11_2$, далее $0+1+1=10_2$, затем $1+1+1=11_2$; результат $11000_2$. |
3 мин | Учитель демонстрирует вычитание: «При вычитании $0-1$ занимаем единицу из следующего разряда. В двоичной записи занятая единица превращается в $10_2$, поэтому $10_2-1_2=1_2$. Выполним $11010_2-00111_2$ поразрядно». | Записывают действие, проговаривают заимствование и получают $10011_2$. Сверяют результат обратным сложением. |
3 мин | Учитель показывает таблицу группировки: «Для перевода двоичного числа в восьмеричное отделяем справа группы по три бита, а в шестнадцатеричное — по четыре. Заполните недостающие соответствия: $000_2=0_8$, $001_2=1_8$, …, $111_2=7_8$; $0000_2=0_{16}$, …, $1001_2=9_{16}$, $1010_2=A_{16}$, $1111_2=F_{16}$.» | Составляют таблицу соответствий. Переводят $11010110_2$: группируют как $11|010|110$ и получают $326_8$; группируют как $1101|0110$ и получают $D6_{16}$. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают правила: при сложении $1+1=10_2$; при вычитании из $0$ единицы выполняется заимствование; для перевода из двоичной системы в восьмеричную используются группы по 3 бита, в шестнадцатеричную — группы по 4 бита. Также записывают соответствия $1010_2=A_{16}$, $1011_2=B_{16}$, $1100_2=C_{16}$, $1101_2=D_{16}$, $1110_2=E_{16}$, $1111_2=F_{16}$.
Эталон решения
$1011_2+1101_2=11000_2$. Проверка: $1011_2=11_{10}$, $1101_2=13_{10}$, $11+13=24_{10}$, а $11000_2=24_{10}$. Перевод $11010110_2$ в восьмеричную систему: $11|010|110=3|2|6$, поэтому $11010110_2=326_8$. Перевод в шестнадцатеричную систему: $1101|0110=D|6$, поэтому $11010110_2=D6_{16}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили два алгоритма: вычисления выполняем справа налево с переносом или заимствованием, а быстрый перевод выполняем группировкой битов. Теперь применим правила сначала вместе, а затем самостоятельно».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать арифметические операции и группировку двоичных разрядов с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с заданиями и распределяет роли: «Первый ученик — решающий, второй — проверяющий. Через две минуты роли поменяются. Проверяющий не сообщает ответ сразу, а задаёт вопрос: “На каком шаге появился перенос или заимствование?”» | В парах решают $1101_2+1011_2$ и объясняют появление переносов. |
3 мин | Учитель предлагает второй блок: «Переведите $111001_2$ в восьмеричную систему и $10111100_2$ в шестнадцатеричную. Подчеркните границы групп. Если слева не хватает разрядов, допишите нули». | Группируют $111001_2$ как $111|001$ и получают $71_8$; группируют $10111100_2$ как $1011|1100$ и получают $BC_{16}$. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по эталону на экране и применяет приём «Две звезды и пожелание»: «Назовите две сильные стороны решения партнёра и один конкретный совет». | Сверяют ответы, отмечают две удачные операции и формулируют совет, например: «Нужно аккуратнее подписывать перенос над разрядом». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В парной работе вы увидели, что ошибка чаще всего появляется не в правиле, а в пропуске разряда или неверной группировке. Теперь каждый проверит себя без помощи партнёра».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение арифметических операций и переводов, обеспечить выбор уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: «На карточке три уровня. Обязательный минимум выполняют все. Затем можно выбрать базовый или повышенный уровень. Работайте индивидуально, записывайте промежуточные шаги и не стирайте ошибочный вариант до проверки». | Выбирают карточку или уровень, записывают цель: «Проверю, умею ли выполнять переносы и группировать разряды». |
6 мин | Учитель предлагает задания. Минимум: $1010_2+111_2$ и $11001_2-1011_2$. Базовый: перевести $45_{10}$ в $2$, $8$, $16$ и $101101_2$ в $10$. Повышенный: вычислить $101101_2+11101_2$ и перевести результат в восьмеричную и шестнадцатеричную системы. | Решают выбранные задания с полной записью алгоритма. Для обратного перевода используют разложение по степеням основания или проверку группировкой. |
3 мин | Учитель выводит эталон: $1010_2+111_2=10001_2$; $11001_2-1011_2=1110_2$; $45_{10}=101101_2=55_8=2D_{16}$; $101101_2=45_{10}$. «Поставьте плюс рядом с верным заданием, вопросительный знак — рядом с требующим исправления. Исправление выполните другим цветом». | Проверяют решения, находят несовпадения, исправляют ошибки и заполняют лист самооценки: «могу самостоятельно», «могу с подсказкой», «нужна тренировка». |
Эталон решения
$1010_2+0111_2$: справа $0+1=1$, затем $1+1=10_2$ — записываем 0 и переносим 1; далее $0+1+1=10_2$; слева $1+0+1=10_2$. Получаем $10001_2$. Для $45_{10}$: $45=32+8+4+1$, поэтому $45_{10}=101101_2$; группировка $101|101$ даёт $55_8$, а $10|1101$ даёт $2D_{16}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, какое действие уже стало уверенным, а какое требует повторения. Осталось связать отдельные правила в единую систему и ответить на вопрос, зачем нужны разные формы записи одного числа».
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритмы, осознать результат и определить индивидуальную зону дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Снежный ком»: «Сначала каждый сформулируйте одно правило, затем объединитесь в пары и выберите самое точное. Четыре ученика представят общий вариант». Учитель возвращает класс к проблемному вопросу урока. | Формулируют правила: «Двоичное сложение требует переноса», «В восьмеричной системе группируем по три бита», «В шестнадцатеричной — по четыре», «Разные записи удобны для разных задач». |
2 мин | Учитель раздаёт стикеры: «На зелёном напишите умение, которое уже можете применить без подсказки; на жёлтом — место, где нужна тренировка. Прикрепите стикер к соответствующей части доски». | Заполняют и прикрепляют стикеры, называют затруднения: «Путаю буквы C и D», «Ошибаюсь при заимствовании». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание и контрольные вопросы: «Перед выходом ответьте письменно: чему равно $1+1$ в двоичной системе? По сколько битов группируют для перевода в восьмеричную и шестнадцатеричную системы? Как проверить результат перевода?» | Записывают домашнее задание, отвечают на контрольные вопросы и сдают стикер или лист самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы научились выполнять действия в двоичной системе и сокращать двоичные записи с помощью восьмеричной и шестнадцатеричной систем. На следующем уроке продолжим работать с представлением чисел и разберём более сложные вычисления и задачи на объём информации».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, корректно оформлены переносы и заимствования, переводы содержат группировку или разложение, выполнена проверка хотя бы одного результата.
- «4» — верно выполнены не менее 80% заданий, допущена одна несущественная ошибка в записи или одна вычислительная ошибка, алгоритм в целом соблюдён.
- «3» — верно выполнены обязательные задания, но допущены ошибки при переносе, заимствовании или обозначении шестнадцатеричных цифр; ход решения частично понятен.
- Ниже «3» — обязательные действия не выполнены или запись не позволяет восстановить алгоритм; требуется индивидуальная отработка по памятке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое правило двоичного сложения вы сегодня применяли чаще всего? | Проверка осознания механизма переноса и понимания алгоритма. |
Какой перевод оказался удобнее выполнять группировкой битов и почему? | Выявление понимания связи между основаниями 2, 8 и 16. |
На каком шаге самостоятельной работы появилась ошибка? | Выявление точек затруднения в вычислении или записи разрядов. |
Какое умение вы готовы применить без подсказки уже сегодня? | Субъективная оценка освоения темы и фиксация личного результата. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что двоичная система — это не набор случайных нулей и единиц, а строгая позиционная система с понятными правилами действий. Мы научились складывать и вычитать двоичные числа, а также быстро переводить их в восьмеричную и шестнадцатеричную запись. Самая частая ошибка — потеря переноса или неверная группировка разрядов, поэтому всегда записывайте промежуточные шаги. На следующем уроке мы продолжим применять эти алгоритмы к задачам, связанным с представлением информации в компьютере».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: два примера на сложение и вычитание двоичных чисел, перевод двух десятичных чисел в двоичную систему с проверкой обратным переводом. | Закрепить перенос, заимствование и алгоритм перевода; при проверке смотреть на правильность разрядов и наличие промежуточной записи. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 переводов: два числа из двоичной системы в восьмеричную, два — в шестнадцатеричную и одно число из шестнадцатеричной системы в десятичную; объяснить один выбранный перевод словами. | Отработать группировку по три и по четыре бита и перевод через степени основания; проверить обозначения A–F. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу: выбрать два двоичных числа, сложить или вычесть их, затем представить результат в восьмеричной и шестнадцатеричной системах и выполнить проверку десятичным переводом. | Развить умение проектировать задание, выбирать алгоритм и контролировать результат несколькими способами. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Чему равно $1+1$ в двоичной системе? По сколько разрядов объединяют для перевода в восьмеричную и шестнадцатеричную системы? Как обозначаются числа 10–15 в шестнадцатеричной системе? Каким действием можно проверить результат двоичного вычитания?»
