Второй признак подобия треугольников
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, формулировать второй признак и применять его при решении не менее двух геометрических задач.
- Сформулировать и доказать второй признак подобия треугольников через построение вспомогательного треугольника и первый признак подобия.
- Научиться проверять пропорциональность соответствующих сторон и равенство угла между ними.
- Развивать умение строить логическое доказательство, выделять условие и заключение теоремы, аргументировать ход решения.
- Воспитывать точность геометрических построений, ответственность за результат совместной работы и готовность обосновывать собственное мнение.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к способам доказательства геометрических утверждений.
- Понимают значение точности, последовательности и обоснованности рассуждений.
- Осознают возможность выбора способа решения и ответственность за математическую аргументацию.
- Развивают уверенность при защите собственного решения и уважение к иной стратегии рассуждения.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность доказательства.
- Извлекают информацию из чертежа, условия задачи и таблицы отношений.
- Сравнивают два способа решения, находят логические ошибки и корректируют доказательство.
- Работают в паре, распределяют роли, формулируют вопросы и представляют общий вывод.
Предметные
- Знать формулировку второго признака подобия треугольников.
- Понимать, что пропорциональными должны быть две стороны, заключающие равные углы в сравниваемых треугольниках.
- Уметь распознавать соответствующие стороны и углы на чертеже.
- Уметь применять признак для доказательства подобия треугольников и нахождения неизвестного элемента.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в работу пары и оценивают собственную готовность к доказательству.
- Проявляют смыслообразование через понимание практической роли подобия в измерениях и проектировании.
- Принимают необходимость проверять каждое утверждение геометрическим обоснованием.
- Сохраняют учебную мотивацию при возникновении затруднения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель: установить новый признак подобия и научиться его применять.
- Планируют доказательство по шагам: выделить данные, построить модель, применить известный признак, сделать вывод.
- Осуществляют самопроверку по чек-листу и исправляют несоответствие сторон или углов.
- Оценивают результат по критериям правильности условия, рассуждения и вывода.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки подобия из условия и чертежа.
- Устанавливают соответствие между сторонами и углами треугольников.
- Моделируют доказательство с помощью вспомогательного треугольника.
- Сравнивают первый и второй признаки подобия, классифицируют условия их применения.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему выбранные стороны являются соответствующими.
- Задают уточняющие вопросы о порядке доказательства.
- Согласуют общий вариант формулировки теоремы.
- Аргументированно представляют решение и корректно принимают замечания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с двумя парами треугольников: в первой параллельны соответствующие стороны, во второй заданы две пропорции и равенство углов между ними.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые — распознавание признака, средние — доказательство подобия, повышенные — задача с неизвестным отрезком; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить лист доказательства с пропусками для работы в парах — по одному листу на пару.
- Распечатать чек-лист самопроверки — по одному на каждого ученика.
- Подготовить линейки, транспортиры и карандаши — по одному комплекту на парту.
- Вывести на доску тему урока, проблемный вопрос и памятку: «Стороны — угол между ними — соответствие — вывод».
- Подготовить цветные маркеры или магниты для выделения соответствующих сторон и углов.
- Организовать на доске место для формулировки теоремы и схемы доказательства.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в работу и показать практический смысл установления подобия треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, линейки, карандаша и транспортира. Сегодня вы будете не только применять готовое правило, но и сами восстановите логику нового признака. Важно, чтобы каждый мог объяснить, почему сделан именно такой вывод." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовят чертёжные инструменты. |
2 мин | Учитель показывает на экране два треугольника разного размера и спрашивает: "Представьте, что один треугольник — план участка, а другой — его уменьшенная схема. Как можно доказать, что форма сохранена? Достаточно ли сравнить только один угол? Какие данные были бы убедительными?" Учитель фиксирует ответы без оценки. | Формулируют предположения: "Нужно сравнить стороны и углы", "важно найти соответствующие элементы", "одного угла недостаточно". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что для доказательства сохранения формы нужны согласованные данные о сторонах и угле. Сейчас проверим, какие именно два отношения и какой угол позволяют сделать строгий вывод."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия подобия, соответствующих элементов и первого признака.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала самостоятельно запишите, что означает подобие треугольников. Затем за минуту сравните ответы с соседом. Обязательно назовите, что происходит с углами и сторонами." | Записывают определение, обсуждают его в парах, предлагают формулировки: "соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны". |
2 мин | Учитель показывает чертёж треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ и спрашивает: "Если вершины $A$ и $A_1$ соответствуют друг другу, какие стороны считаются соответствующими? Как записать коэффициент подобия?" | Называют пары $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$; записывают отношение сторон. |
2 мин | Учитель предлагает восстановить первый признак: "При каких условиях два треугольника подобны по первому признаку? Почему важно, чтобы углы были именно соответствующими?" | Отвечают: "Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны"; объясняют необходимость соответствия. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что подобие связывает равенство углов и пропорциональность сторон, а первый признак опирается на два угла. Теперь найдём другой путь к тому же выводу — через две стороны и угол между ними."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и сформулировать задачу открытия нового признака.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку с условием: "В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ известно, что $AB/A_1B_1=AC/A_1C_1$ и $\angle A=\angle A_1$. Можно ли уже утверждать, что треугольники подобны? Обоснуйте ответ, используя только известные признаки." | Читают условие, пытаются применить первый признак, замечают, что известны не два угла, а две стороны и один угол. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Чего нам не хватает для доказательства? Можно ли преобразовать эти данные в условие первого признака? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Формулируют затруднение: "Нужно доказать, что третьи углы равны". Предлагают цель: "Установить признак подобия по двум пропорциональным сторонам и углу между ними". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нам нужно превратить две пропорции и равенство заключённых углов в доказательство подобия. Для этого сначала попробуем построить треугольник, который будет сравним с одним из данных."
Этап 4. Открытие нового знания и доказательство (12 мин)
Цель этапа: вывести и доказать второй признак подобия треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует работу в парах: "На листе отмечены треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Дано $AB/A_1B_1=AC/A_1C_1$ и $\angle A=\angle A_1$. Подумайте, какой треугольник можно построить на лучах угла $A$, чтобы его стороны были равны $A_1B_1$ и $A_1C_1$. Не забывайте: построенный угол должен быть равен углу $A_1$." | Строят на сторонах угла $A$ точки $B_2$ и $C_2$ так, чтобы $AB_2=A_1B_1$, $AC_2=A_1C_1$, а $\angle B_2AC_2=\angle A_1$. |
4 мин | Учитель задаёт цепочку вопросов Сократовского диалога: "Как связаны треугольники $ABC$ и $AB_2C_2$? Что известно об угле между их сторонами? Как связаны две стороны? Какой признак применяем?" | Отвечают: "Углы при вершине $A$ равны"; "отношения сторон равны по условию"; "треугольники $ABC$ и $AB_2C_2$ подобны по первому признаку, если докажем равенство второго угла через построение". |
3 мин | Учитель корректирует рассуждение: "Сравним построенный треугольник с $A_1B_1C_1$. У него две стороны равны соответствующим сторонам второго треугольника и равен угол между ними. Значит, по построению треугольники совпадают, а их третьи элементы связаны. Теперь используем пропорциональность исходных сторон и найдём коэффициент подобия." | Фиксируют, что построенный треугольник равен треугольнику $A_1B_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними; переносят равенства на чертёж. |
2 мин | Учитель выводит формулировку: "Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Это второй признак подобия треугольников. Проговорите его с указанием соответствующих элементов." | Хором и индивидуально формулируют признак, подчёркивают слова "две стороны", "угол между ними", "пропорциональны", "равны". |
Запись в тетрадях
Записывают: «Второй признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны». Схема: $AB/A_1B_1=AC/A_1C_1$, $\angle A=\angle A_1$ $\Rightarrow$ $\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не просто запомнили формулировку, а увидели, почему она работает: пропорциональные стороны и равные заключённые углы позволяют связать треугольники через первый признак. Теперь проверим признак на конкретных чертежах."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научиться быстро распознавать условия второго признака и применять его в типовой задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: "Работаем в парах. В первой задаче выделите цветом две пары соответствующих сторон и обведите угол между ними. В условии указано: $AB=6$ см, $AC=9$ см, $A_1B_1=8$ см, $A_1C_1=12$ см, $\angle A=40^\circ$, $\angle A_1=40^\circ$. Сделайте вывод о подобных треугольниках." | Проверяют $6/8=9/12=3/4$, отмечают равные заключённые углы, записывают: $\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$ по второму признаку. |
2 мин | Учитель разбирает решение: "Почему нельзя ограничиться фразой ‘стороны пропорциональны’? Что именно должно быть сказано об угле? Назовите все три элемента, на которые мы опираемся." | Отвечают: "Нужно указать две пропорции и равенство углов между соответствующими сторонами". |
2 мин | Учитель предлагает задание на выбор: "Выберите уровень. Базовый: определить, выполняется ли признак. Повышенный: объяснить, почему в похожем чертеже признак применить нельзя, если равный угол не является углом между данными сторонами." | Решают выбранный вариант, формулируют вывод: "условие второго признака не выполнено, потому что угол не заключён между пропорциональными сторонами". |
Эталон решения
$AB/A_1B_1=6/8=3/4$, $AC/A_1C_1=9/12=3/4$. Следовательно, $AB/A_1B_1=AC/A_1C_1$. Углы $A$ и $A_1$ равны и являются углами между указанными сторонами. По второму признаку подобия $\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Главная проверка выполнена: мы не только нашли одинаковые отношения, но и убедились, что равный угол заключён именно между этими сторонами. Переходим к индивидуальной работе, где каждый покажет, умеет ли применять алгоритм самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение применять второй признак и находить неизвестный отрезок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель выдаёт два варианта: "Решайте самостоятельно. В задаче 1 установите подобие по данным о сторонах и угле. В задаче 2 используйте подобие для нахождения неизвестного отрезка. Записывайте не только ответ, но и обоснование выбора признака." | Решают индивидуально. Вариант задания: в треугольниках $ABC$ и $DEF$ $AB=10$ см, $AC=15$ см, $DE=8$ см, $DF=12$ см, $\angle A=\angle D$. Устанавливают подобие и соответствие вершин. |
3 мин | Учитель выводит эталон на доску: "Проверьте сначала пропорции, затем угол и только после этого вывод. Отметьте в чек-листе, выполнены ли три пункта: соответствующие стороны, равные отношения, заключённый угол." | Сверяют решение с эталоном, отмечают ошибки. Формулируют: $10/8=15/12=5/4$, поэтому треугольники подобны по второму признаку. |
Эталон решения
Проверяем пропорции: $AB/DE=10/8=5/4$, $AC/DF=15/12=5/4$. Следовательно, $AB/DE=AC/DF$. Углы $A$ и $D$ равны и заключены между указанными сторонами. Значит, $\triangle ABC\sim\triangle DEF$ по второму признаку. Коэффициент подобия первого треугольника ко второму равен $5/4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что алгоритм состоит из трёх обязательных действий: сопоставить стороны, сравнить отношения, проверить заключённый угол. Если один шаг пропущен, доказательство нельзя считать завершённым. Осталось связать новый признак с уже изученными и оценить свою работу."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать способ действия, выявить затруднения и определить дальнейшую практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Покажите цвет: зелёный — я могу самостоятельно применить второй признак; жёлтый — путаю соответствующие стороны или угол; красный — мне нужна помощь. После этого запишите одним предложением, что является главным условием признака." | Поднимают карточки, записывают: "Две стороны пропорциональны, а угол между ними равен". |
2 мин | Учитель предлагает "Билет на выход": "Ответьте письменно на вопрос: можно ли применить второй признак, если равны два угла, но не указаны отношения сторон? Объясните одним предложением. Второй вопрос: какую ошибку вы будете проверять первой?" | Пишут: "Нет, это условие первого признака, а не второго"; называют ошибку: несоответствие сторон или неверно выбранный угол. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и говорит: "Выберите обязательный уровень или более сложный, если готовы. При проверке мне важно увидеть ход рассуждения, а не только ответ." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли второй признак подобия и проверили его на чертежах и задачах. На следующем уроке мы будем использовать подобие для вычисления неизвестных сторон и решения практических задач на измерение расстояний."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе самостоятельные задачи, указаны соответствующие стороны, проверены обе пропорции, назван угол между ними и корректно сформулирован вывод о подобии.
- «4» — обе задачи решены по существу верно, но допущена одна неточность в записи соответствия, обозначениях или формулировке признака.
- «3» — правильно распознано хотя бы одно условие второго признака и выполнена одна пропорция, но доказательство неполное либо допущена ошибка в установлении соответствия.
- Оценка может быть повышена при ясном объяснении выбора признака и самостоятельном исправлении ошибки по чек-листу.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие три условия нужно проверить перед применением второго признака подобия? | Выявление понимания алгоритма и существенных признаков теоремы. |
Как определить, что угол является заключённым между выбранными сторонами? | Диагностика типичной ошибки при чтении чертежа. |
На каком шаге самостоятельной задачи возникло затруднение? | Выявление точки затруднения в рассуждении. |
Что ты теперь можешь объяснить однокласснику по теме урока? | Осознание личного результата и развитие метапредметной рефлексии. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили второй признак подобия треугольников: две пары соответствующих сторон должны быть пропорциональны, а углы между ними — равны. Самая частая ошибка — увидеть равный угол, но не проверить, что он заключён именно между выбранными сторонами. Поэтому в каждой задаче сначала отмечайте соответствующие элементы на чертеже, затем сравнивайте отношения и только после этого делайте вывод. На следующем уроке применим подобие для вычисления неизвестных отрезков и решения практических задач на измерение."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на распознавание второго признака: в каждой проверить две пропорции сторон, равенство углов между ними и записать вывод о подобии или невозможности его установить. | Закрепляет формулировку признака и последовательность проверки; при проверке обратить внимание на соответствие сторон и положение угла. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых после доказательства подобия требуется найти неизвестную сторону по коэффициенту подобия или пропорции. | Формирует умение переходить от доказательства подобия к вычислению; проверить правильность составления пропорции. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу с двумя подобными треугольниками, задать две пары пропорциональных сторон и равный заключённый угол, выполнить чертёж и полное доказательство. | Развивает умение создавать математическую модель и самостоятельно формулировать условие; проверить логичность чертежа и полноту обоснования. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие элементы сравниваются по второму признаку? Почему угол должен быть заключённым? Чем второй признак отличается от первого? Какую запись нужно сделать после проверки пропорций?»
