Третий признак подобия треугольников
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать подобные треугольники по равенству трёх соответствующих сторон, записывать верное соответствие вершин и применять признак при решении двух геометрических задач.
- Сформулировать третий признак подобия треугольников и объяснить, почему равенство трёх отношений соответствующих сторон достаточно для установления подобия.
- Научиться выделять соответствующие стороны и проверять равенство их отношений в практических и учебных задачах.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, проверять её на модели, аргументировать решение и находить ошибку в рассуждении.
- Воспитывать аккуратность математической записи, ответственность за результат совместной работы и готовность уважительно обсуждать разные способы решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность доказательного рассуждения и понимают, что геометрический вывод должен опираться на проверяемые отношения.
- Проявляют интерес к применению подобия в измерениях, проектировании и технических профессиях.
- Принимают необходимость точной записи соответствия сторон и критически относятся к непроверенным ответам.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу, корректно принимают замечания одноклассников.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и планируют последовательность действий для проверки гипотезы о подобии треугольников.
- Извлекают информацию из чертежа, таблицы отношений и условия задачи, преобразуют её в математическую запись.
- Сравнивают способы решения, находят несоответствие в порядке сторон и аргументируют выбранный вывод.
- Используют самопроверку по алгоритму и корректируют решение после обсуждения в паре.
Предметные
- Знать формулировку третьего признака подобия треугольников: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.
- Уметь устанавливать соответствие сторон и записывать равенство трёх отношений.
- Уметь определять коэффициент подобия и находить неизвестную сторону по пропорции.
- Уметь отличать доказанное подобие от внешнего сходства фигур по одному или двум признакам.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают значение точности и последовательности как условий математической деятельности.
- Проявляют учебную самостоятельность, выбирая базовый или повышенный вариант задания.
- Формируют ответственное отношение к коллективному результату и уважение к обоснованной позиции партнёра.
- Соотносят учебную задачу с практическими задачами измерения недоступных расстояний.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют алгоритм проверки пропорциональности сторон.
- Контролируют порядок записи соответствующих сторон и вычислительные действия.
- Оценивают результат по критериям, находят и исправляют ошибку.
Познавательные УУД
- Сравнивают пары треугольников по числовым данным и выделяют существенные признаки подобия.
- Строят математическую модель ситуации в виде пропорции и схемы соответствия.
- Проверяют гипотезу на конкретных примерах и формулируют общий вывод.
- Анализируют ошибочное решение, выявляя нарушение порядка соответствующих сторон.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель и проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют вопросы к решению партнёра и отвечают на них с опорой на условие.
- Аргументируют вывод о подобии, используя математические термины.
- Согласуют общий ответ и корректно разрешают расхождения в способах решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображение с двумя парами треугольников, длинами сторон и проблемным вопросом: «Достаточно ли равенства трёх отношений сторон?»
- Распечатать карточки с заданиями трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить листы для парной работы с таблицей: «Сторона первого треугольника — соответствующая сторона второго — отношение».
- Вывести на доску памятку-алгоритм: установить соответствие сторон; составить три отношения; проверить их равенство; сделать вывод; найти коэффициент подобия.
- Подготовить два набора бумажных треугольников разных размеров на каждую группу из четырёх человек.
- Распечатать карточку с ошибочным решением для этапа анализа — по одной на парту.
- Подготовить стикеры двух цветов для приёма «Светофор» и «Билет на выход» — по одному комплекту на ученика.
- Оборудовать рабочее место проектором или интерактивной доской, подготовить линейки, ручки и черновики.
- Записать на доске тему урока и оставить место для формулировки признака, алгоритма и итоговой пропорции.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, связанную с практическим измерением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобятся тетради, ручки, линейки и готовность рассуждать, а не только вспоминать правило. Проверьте, всё ли есть на столе. Начнём с короткой профессиональной ситуации: инженеру нужно определить высоту объекта, но измерить её непосредственно невозможно." | Проверяют принадлежности, записывают дату, настраиваются на работу и формулируют предположение: "Нужно использовать чертёж, измерения или подобие фигур". |
2 мин | Учитель показывает на экране два треугольника с длинами сторон 3 см, 4 см, 5 см и 6 см, 8 см, 10 см: "Посмотрите на рисунок. Как доказать, что эти треугольники имеют одинаковую форму, если мы пока не знаем ни одного угла? Какой вопрос возникает?" Учитель фиксирует проблемный вопрос: "Достаточно ли равенства отношений всех трёх соответствующих сторон?" | Рассматривают чертёж, обсуждают вопрос в парах 30 секунд и предлагают ответы: "Отношения нужно сравнить"; "Если все три отношения равны, треугольники могут быть подобными". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели практическую задачу и предположили, что форму можно установить по длинам сторон. Теперь проверим, какие знания о подобии уже помогут нам, а чего пока не хватает."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия подобия, соответствующих элементов и ранее изученные признаки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Блиц-опрос»: "Что называют подобными треугольниками? Что происходит с соответствующими углами? Как связаны соответствующие стороны?" Учитель записывает ключевые слова на доске и просит привести обозначение коэффициента подобия. | Отвечают: "Подобные треугольники имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны"; "Соответствующие углы равны"; "Соответствующие стороны относятся с одним и тем же коэффициентом". Записывают обозначение коэффициента $k$. |
2 мин | Учитель показывает треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$: "Если вершине $A$ соответствует вершина $A_1$, какие стороны считаются соответствующими? Как записать отношение сторон? Не торопитесь: сначала установите порядок вершин." | Называют пары: $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$; записывают $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$. |
2 мин | Учитель предлагает два утверждения: "Первый признак использует равенство двух углов. Второй — пропорциональность двух сторон и равенство угла между ними. Какой информации не хватает, чтобы проверить подобие только по сторонам?" Учитель принимает версии, но не сообщает новый признак. | Сравнивают известные признаки и формулируют затруднение: "Нужен признак по трём сторонам"; "Нужно понять, достаточно ли трёх пропорций". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что подобие связано с соответствием и пропорциональностью. Известные признаки используют углы, а сегодня нам предстоит открыть способ доказать подобие, имея только три пары сторон."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать гипотезу, учебную цель и план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре лист с данными: $AB=3$ см, $BC=4$ см, $AC=5$ см; $A_1B_1=6$ см, $B_1C_1=8$ см, $A_1C_1=10$ см. "Подумайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите в паре. Какие отношения нужно сравнить? Запишите гипотезу одним предложением." | Сначала выделяют соответствующие стороны, затем в парах вычисляют отношения и записывают гипотезу: "Если три отношения соответствующих сторон равны, то треугольники, вероятно, подобны". |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сформулируйте цель урока так, чтобы в ней были действие и условие. Что мы должны уметь делать к концу урока? Предложите план: что проверим сначала, что запишем затем и как применим результат." | Предлагают цель: "Научиться доказывать подобие треугольников по трём пропорциональным сторонам". Формулируют план: установить соответствие, составить отношения, проверить их равенство, сделать вывод, решить задачу. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: нам нужно не просто угадать подобие, а получить надёжный признак и научиться применять его по алгоритму. Переходим к проверке нашей гипотезы на моделях и числах."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно выявить и сформулировать третий признак подобия треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт бумажные треугольники и обращается к группам: "Измерьте стороны треугольников линейкой. Не сравнивайте только внешний вид: занесите результаты в таблицу. Для каждой стороны найдите отношение большей длины к меньшей. Что замечаете?" Учитель напоминает: "Работайте аккуратно, погрешность измерения может быть небольшой." | В группах измеряют три стороны каждой модели, заполняют таблицу и получают примерно одинаковые отношения, например $6:3=2$, $8:4=2$, $10:5=2$. Формулируют наблюдение: "Все три отношения равны одному числу". |
3 мин | Учитель выводит на экран числовой пример: $AB=4$ см, $BC=6$ см, $AC=8$ см; $A_1B_1=6$ см, $B_1C_1=9$ см, $A_1C_1=12$ см. "Проверьте три отношения. Обратите внимание на порядок сторон. Можно ли сделать вывод о подобии? Как записать соответствие вершин?" | В парах вычисляют $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$, $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$. Записывают вывод: $\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$; соответствие вершин $A\leftrightarrow A_1$, $B\leftrightarrow B_1$, $C\leftrightarrow C_1$. |
4 мин | Учитель организует «Сократовский диалог»: "Какое условие повторяется во всех примерах? Что именно пропорционально? Можно ли заменить одну сторону произвольной длиной? Почему порядок записи важен? Сформулируйте правило, используя слова «три стороны», «пропорциональны», «подобны»." После ответов записывает на доске формулировку и выделяет её рамкой. | Отвечают: "Пропорциональны все три пары соответствующих сторон"; "Нельзя менять соответствие без изменения всех отношений". Формулируют признак: "Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны». Алгоритм: 1) установить соответствие сторон; 2) составить три отношения; 3) проверить их равенство; 4) записать вывод о подобии; 5) при необходимости найти коэффициент подобия.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли правило и проверили его на модели и числовом примере. Теперь важно научиться применять признак без подсказки и не ошибаться в порядке соответствующих сторон."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм применения признака при решении задачи с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает условие: "В треугольнике $ABC$ стороны равны $AB=5$ см, $BC=7$ см, $AC=9$ см. В треугольнике $DEF$ стороны равны $DE=10$ см, $EF=14$ см, $DF=18$ см. Докажите, что треугольники подобны, и найдите коэффициент подобия второго треугольника к первому." Учитель просит одного ученика назвать первый шаг, а класс — продолжить алгоритм. | Один ученик устанавливает соответствие $AB\leftrightarrow DE$, $BC\leftrightarrow EF$, $AC\leftrightarrow DF$. Класс записывает $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}$ и подставляет значения. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Чему равны отношения? Какой вывод следует из третьего признака? В каком направлении задан коэффициент подобия?" Учитель просит сверить запись с партнёром. | Вычисляют $\frac{10}{5}=\frac{14}{7}=\frac{18}{9}=2$. Записывают $\triangle DEF\sim\triangle ABC$, $k=2$. Взаимно проверяют наличие трёх равных отношений. |
2 мин | Учитель предлагает мини-задание на выбор: "Выберите вариант А или Б. Вариант А: проверьте подобие треугольников со сторонами 6, 8, 10 и 9, 12, 15. Вариант Б: найдите неизвестную сторону второго треугольника, если соответствующие стороны первого равны 4 и 7 см, а второго — 10 и $x$ см, при коэффициенте 2,5." | Выбирают задание. В варианте А составляют отношения $\frac{9}{6}=\frac{12}{8}=\frac{15}{10}=1{,}5$ и делают вывод. В варианте Б составляют $\frac{x}{7}=2{,}5$ и находят $x=17{,}5$ см. |
Эталон решения
Для основной задачи: $\frac{DE}{AB}=\frac{10}{5}=2$, $\frac{EF}{BC}=\frac{14}{7}=2$, $\frac{DF}{AC}=\frac{18}{9}=2$. Три отношения соответствующих сторон равны, значит, по третьему признаку $\triangle DEF\sim\triangle ABC$. Коэффициент подобия второго треугольника к первому равен $k=2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает, если мы начинаем с соответствия, а не с механического деления чисел. Сейчас каждый проверит себя самостоятельно и покажет, может ли применить признак без помощи пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное умение применять третий признак и исправлять типичные ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. "Работайте самостоятельно. В базовом варианте нужно проверить подобие по трём сторонам; в повышенном — найти коэффициент и неизвестную сторону; в дополнительном — объяснить ошибку в готовом решении. Записывайте не только ответ, но и все три отношения." Учитель напоминает критерии: соответствие, вычисления, вывод. | Индивидуально выполняют выбранный вариант. Базовый: сравнивают стороны 3, 5, 7 и 6, 10, 14. Повышенный: для сторон 4, 6, 9 и 10, 15, $x$ находят $x=22{,}5$ при сохранении коэффициента $2{,}5$. Дополнительный: анализируют переставленные пары сторон. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "Сначала молча сравните свою запись с эталоном. Отметьте плюс рядом с верным шагом и вопросительный знак рядом с местом затруднения. Не исправляйте чужую работу — исправьте свою." | Сверяют три отношения, подчёркивают место ошибки, исправляют неверный порядок сторон или вычисление. Выставляют себе условный результат по критериям. |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если уверенно составляете три отношения; жёлтую, если путаетесь в соответствии; красную, если пока не можете сделать вывод. Я зафиксирую, кому нужна помощь на следующем уроке." | Поднимают карточку, формулируют личную трудность одним предложением: "Мне трудно определить соответствующие стороны" или "Мне нужно внимательнее считать отношения". |
Эталон решения
Для базового варианта: $\frac{6}{3}=2$, $\frac{10}{5}=2$, $\frac{14}{7}=2$. Все три отношения равны, поэтому треугольники подобны по третьему признаку. Для повышенного варианта: коэффициент $k=\frac{10}{4}=\frac{15}{6}=2{,}5$. Тогда $\frac{x}{9}=2{,}5$, откуда $x=22{,}5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основная трудность связана не с самим признаком, а с правильным выбором соответствующих сторон. В завершение свяжем новый признак с уже изученной системой признаков и сформулируем, где он пригодится."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: обобщить изученные признаки, оценить достижение цели и зафиксировать домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает заполнить на доске мини-таблицу: "Сравните три признака подобия. Первый основан на двух углах, второй — на двух сторонах и угле между ними, третий — на трёх сторонах. Какой признак выберете, если в условии даны только длины сторон?" | Заполняют таблицу в тетрадях и отвечают: "Если даны три пары пропорциональных сторон, выбираем третий признак". |
2 мин | Учитель раздаёт стикеры для приёма «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: что является обязательным условием третьего признака и какую ошибку нужно предотвратить при записи отношений?" Учитель собирает стикеры у выхода. | Пишут: "Нужна пропорциональность трёх пар соответствующих сторон"; "Нельзя сопоставлять стороны в разном порядке". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и обращается к классу: "Выберите уровень с учётом сегодняшнего результата. Обязательный уровень выполняют все; повышенный и дополнительный помогут подготовиться к задачам на неизвестные элементы. Перед уходом назовите одним словом главный результат урока." | Записывают домашнее задание, называют: "Признак", "пропорциональность", "соответствие", «коэффициент». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы открыли третий признак подобия и научились доказывать подобие по трём пропорциональным сторонам. Проверьте себя по билету на выход и не забывайте: правильный вывод начинается с правильного соответствия."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно установлено соответствие сторон, записаны и вычислены все три отношения, сделан вывод о подобии; в задаче повышенного уровня правильно найден коэффициент или неизвестная сторона, запись аккуратная.
- «4» — алгоритм применён верно, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не повлиявшая на основной вывод о подобии.
- «3» — установлено хотя бы часть соответствий и записана идея пропорциональности, но допущены ошибки в одном или двух отношениях либо вывод сформулирован неполно.
- Ниже отметки «3» — не установлено соответствие сторон или отсутствует проверка трёх отношений; требуется повторная работа по алгоритму с опорой на памятку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о признаках подобия треугольников? | Проверка осознания формулировки третьего признака. |
Какой шаг алгоритма оказался самым важным для вашего решения? | Выявление понимания роли соответствия сторон. |
В каком месте вы допустили или могли допустить ошибку? | Диагностика типичных затруднений: порядок сторон, вычисление отношений, вывод. |
Насколько уверенно вы теперь можете доказать подобие по трём сторонам: уверенно, с подсказкой или пока затрудняюсь? | Субъективная оценка освоения темы и планирование коррекционной помощи. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что для доказательства подобия не всегда нужно искать углы: достаточно установить пропорциональность трёх пар соответствующих сторон. Главная ошибка — сравнивать стороны в разном порядке и затем делать вывод по случайным отношениям. В следующий раз мы продолжим применять подобие для нахождения неизвестных отрезков и решения практических задач. Если сегодня вы работали с подсказкой, ещё раз проговорите алгоритм дома и проверьте себя на одном примере."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на проверку подобия треугольников по трём парам сторон: установить соответствие, записать три отношения и сформулировать вывод. | Закрепляет формулировку третьего признака и последовательность алгоритма; при проверке обратить внимание на соответствие сторон и наличие всех трёх отношений. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых по третьему признаку требуется найти коэффициент подобия или одну неизвестную сторону треугольника. | Формирует умение переходить от пропорциональности к вычислению неизвестного; проверять правильность пропорции и единицы измерения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу об измерении недоступного расстояния с использованием двух подобных треугольников и трёх пропорциональных сторон. | Развивает применение геометрии в реальном контексте и умение самостоятельно моделировать ситуацию; проверить наличие чертежа, условия, обоснования и ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как формулируется третий признак подобия треугольников? Какие стороны называют соответствующими? Сколько отношений нужно проверить? Как определить коэффициент подобия?»
