Первый признак подобия треугольников
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать подобные треугольники по двум равным углам и применять первый признак подобия при решении не менее двух геометрических задач.
- Сформулировать первый признак подобия треугольников и объяснить, почему равенство двух углов достаточно для установления подобия.
- Научиться находить пары соответствующих углов и сторон в подобных треугольниках, выполнять краткую запись доказательства.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, проверять её на чертеже, аргументировать ответ и работать в паре.
- Воспитывать аккуратность построений, ответственное отношение к доказательству и уважение к математическому мнению одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску общего свойства геометрических объектов и видят ценность доказательного рассуждения.
- Осознают связь геометрических моделей с практикой измерений, проектирования и архитектуры.
- Принимают возможность высказать собственную гипотезу и корректно отнестись к другой точке зрения.
- Формируют привычку проверять результат и исправлять ошибку, а не угадывать ответ.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки подобия и устанавливают логическую связь между равенством углов и пропорциональностью сторон.
- Извлекают информацию из чертежа, текста условия и таблицы соответствия элементов.
- Планируют решение задачи, распределяют действия в паре и формулируют общий вывод.
- Проводят самопроверку по эталону и объясняют причину обнаруженной ошибки.
Предметные
- Знать формулировку первого признака подобия треугольников.
- Уметь устанавливать подобие треугольников по двум равным углам.
- Уметь правильно записывать соответствие вершин и определять соответствующие стороны.
- Уметь применять подобие для нахождения неизвестной стороны в простых задачах.
- Владеть краткой схемой доказательства: указать две пары равных углов и сделать вывод о подобии.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат: научиться отличать доказанное подобие от внешнего сходства фигур.
- Проявляют смыслообразование через понимание практической ценности косвенных измерений.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и готовность обосновать ответ.
- Соблюдают корректность при обсуждении разных способов рассуждения.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и совместно формулируют план её достижения.
- Планируют последовательность действий при анализе чертежа и решении задачи.
- Сверяют решение с критериями и находят несоответствие в записи соответствующих элементов.
- Корректируют решение после самопроверки по эталону.
Познавательные УУД
- Сравнивают треугольники по углам и сторонам, выделяют общий признак.
- Строят гипотезу о достаточности двух равных углов для подобия.
- Моделируют соответствие вершин стрелками и таблицей.
- Используют математическую символику для записи вывода о подобии.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и ответ в парном обсуждении, используя геометрические термины.
- Аргументируют, почему выбранные углы являются соответствующими.
- Распределяют роли: чертёжник, аналитик и докладчик.
- Слушают возражение партнёра и уточняют собственное доказательство.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения двух пар треугольников: одной пары с двумя равными углами и одной пары с внешне похожим, но недоказанным расположением.
- Распечатать карточки трёх уровней по одной на каждого ученика: базовый, повышающий и дополнительный варианты.
- Подготовить лист наблюдений для парной работы с колонками «Дано», «Найти равные углы», «Вывод».
- Раздать каждой паре линейку, транспортир и два изображения треугольников для сравнения.
- Вывести на доску памятку: «1. Найди две пары равных углов. 2. Установи соответствие вершин. 3. Запиши вывод».
- Подготовить эталон решения для самостоятельной работы и критерии оценивания на отдельном слайде.
- Распечатать по одному листу самооценки на каждого ученика и по одному стикеру для выхода.
- Оборудование: доска или интерактивная панель, проектор, маркеры, тетради, линейки и транспортиры.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и показать практическую задачу, которую помогает решать подобие треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка, линейка и транспортир. Сегодня вы будете не просто запоминать признак, а сами проверите гипотезу и сформулируете правило. Запишите дату и тему урока: «Первый признак подобия треугольников»." | Проверяют принадлежности, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает изображение двух треугольных деталей разного размера: "Представьте, что вы создаёте чертёж детали или измеряете высоту объекта по фотографии. Как понять, что два треугольника имеют одну форму, хотя размеры различаются? Сегодня найдём признак, который позволит ответить без измерения всех сторон." | Рассматривают изображения, предлагают: "Нужно сравнить углы и форму", "Треугольники могут быть увеличенной копией друг друга". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели практическую задачу: установить одинаковую форму фигур разных размеров. Сейчас вспомним, что уже знаем о подобных треугольниках и углах."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать определения, свойства углов и обозначение соответствующих элементов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните, какие треугольники называют подобными. Сначала 30 секунд запишите определение самостоятельно, затем обсудите его с соседом. Назовите минимум два признака, по которым можно сравнивать треугольники." | Записывают определение, обсуждают в парах, формулируют: "У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны". |
3 мин | Учитель показывает треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$: "Посмотрите на обозначения. Если вершина $A$ соответствует вершине $A_1$, какие стороны являются соответствующими? Как обозначить равенство углов?" Учитель фиксирует правильные ответы на доске. | Называют пары сторон $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$; записывают равенства углов в принятой форме. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что подобие связано и с равенством углов, и с пропорциональностью сторон. Возникает вопрос: обязательно ли измерять и сравнивать все стороны, чтобы доказать подобие?"
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два треугольника, у которых отмечены два равных угла: "Перед вами треугольники $ABC$ и $DEF$. Известно, что $\angle A=\angle D$ и $\angle B=\angle E$. Можно ли уже утверждать, что треугольники подобны? Не отвечайте только «да» или «нет» — предложите обоснование." | Высказывают гипотезы: "Да, потому что третий угол тоже должен быть равен", либо "Нужно проверить стороны"; фиксируют разные мнения. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы эвристической беседы: "Чему равна сумма углов треугольника? Если две пары углов равны, что произойдёт с третьими углами? Как это связано с определением подобия? Сформулируйте цель урока." | Рассуждают: "Третьи углы равны, потому что сумма углов равна $180^\circ$"; формулируют цель: "Вывести и научиться применять признак подобия по двум углам". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Гипотеза появилась: двух равных углов может быть достаточно. Теперь проверим её на чертежах и превратим рассуждение в точное математическое правило."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести первый признак подобия треугольников и оформить его формулировку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам лист наблюдений и карточку: "В треугольниках $ABC$ и $DEF$ известно: $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$. Найдите третьи углы. Запишите, какие вершины соответствуют друг другу, и предположите, что можно сказать о треугольниках." Учитель напоминает приём «Математический детектив»: каждый вывод должен опираться на известное свойство. | В парах находят $\angle C=\angle F$, устанавливают соответствие $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$, записывают гипотезу: "$\triangle ABC\sim\triangle DEF$". |
3 мин | Учитель просит две пары представить рассуждение: "Объясните не только результат, но и цепочку рассуждений. Почему равенство третьих углов не является новым независимым условием?" Учитель уточняет формулировки и исправляет путаницу в порядке вершин. | Докладчики объясняют: "Сумма углов каждого треугольника равна $180^\circ$, поэтому равенство двух углов даёт равенство третьих"; класс проверяет порядок записи. |
3 мин | Учитель записывает на доске и проговаривает: "Первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Обратите внимание на слово «соответственно»: углы должны принадлежать соответствующим вершинам." | Записывают формулировку, условие и вывод: $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E\Rightarrow\triangle ABC\sim\triangle DEF$. Подчёркивают слово «соответственно». |
Запись в тетрадях
Первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны. Схема: $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E\Rightarrow\triangle ABC\sim\triangle DEF$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы сами вывели признак: равенство двух соответствующих углов гарантирует подобие треугольников. Теперь проверим, умеем ли применять его к конкретным чертежам и не ошибаемся ли в соответствии вершин."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм установления подобия при устном и графическом анализе чертежа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает чертёж: в $\triangle ABC$ и $\triangle KLM$ отмечено $\angle A=\angle K$, $\angle C=\angle M$. "Назовите соответствие вершин. Как правильно записать вывод? Не начинайте с отношений сторон: сегодня используем первый признак." | Записывают $A\leftrightarrow K$, $C\leftrightarrow M$, значит $B\leftrightarrow L$; отвечают: "$\triangle ABC\sim\triangle KLM$". |
2 мин | Учитель предлагает приём «Лови ошибку»: "На доске записано: $\angle A=\angle L$, $\angle B=\angle K$, поэтому $\triangle ABC\sim\triangle KLM$. Найдите возможную ошибку в записи и исправьте порядок вершин." | Находят ошибку в соответствии, объясняют, что порядок вершин в записи подобия должен совпадать с порядком соответствующих углов. |
2 мин | Учитель даёт выбор: "Выберите одну из двух карточек: на первой нужно определить подобие по готовым отметкам, на второй — самостоятельно отметить пары равных углов и записать вывод. На работу две минуты." | Выбирают карточку, выполняют задание, сверяют ответ с партнёром и называют использованный шаг алгоритма. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились начинать доказательство с углов и правильно записывать соответствие вершин. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное умение применять первый признак подобия и находить неизвестный элемент в простой задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выполните обязательное задание, а затем по желанию выберите повышенное. Задача 1: в треугольниках $ABC$ и $DEF$ $\angle A=\angle D=40^\circ$, $\angle B=\angle E=70^\circ$. Докажите, что треугольники подобны, и запишите соответствие вершин. Задача 2: объясните, почему при этом $\angle C=\angle F$." | Индивидуально записывают дано, находят соответствие и оформляют вывод о подобии; в задаче 2 используют сумму углов треугольника. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте три пункта: указаны две пары равных углов, правильно записано соответствие вершин, вывод сделан по первому признаку. Если нашли ошибку, зачеркните неверный фрагмент одной линией и исправьте рядом." | Сверяют решение с эталоном, отмечают ошибки в листе самооценки, исправляют запись. |
Эталон решения
1. По условию $\angle A=\angle D=40^\circ$ и $\angle B=\angle E=70^\circ$. 2. Эти углы являются двумя парами соответственно равных углов. 3. По первому признаку подобия $\triangle ABC\sim\triangle DEF$. 4. Из соответствия вершин следует $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$; дополнительно $\angle C=\angle F=70^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главный риск — не в вычислениях, а в неверном соответствии вершин. Перед выходом ещё раз сформулируем алгоритм и проверим, что каждый может объяснить его своими словами."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознать способ действия, оценить результат и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "На стикере допишите три фразы: «Первый признак утверждает...», «Сначала в задаче я проверяю...», «Мне ещё нужно потренировать...». На обороте решите мини-вопрос: если $\angle A=\angle D$ и $\angle B=\angle E$, какой вывод можно сделать?" | Индивидуально заполняют стикер, записывают вывод: "$\triangle ABC\sim\triangle DEF$ при правильном соответствии вершин". |
2 мин | Учитель просит поднять карточку самооценки: "Зелёная — могу применить признак самостоятельно, жёлтая — понимаю правило, но путаю соответствие, красная — нужна помощь. Выберите честно: это не оценка личности, а ориентир для следующего шага." | Показывают карточку, фиксируют личную трудность в листе самооценки. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень с учётом своей готовности. Обязательный уровень выполняют все; повышенный и дополнительный можно выбрать для тренировки и интереса. Проверьте, чтобы в каждом доказательстве были две пары равных углов и корректный порядок вершин." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, уточняют условия задания. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательная и выбранная дополнительная задачи, указаны две пары равных углов, соответствие вершин и корректный вывод о подобии; запись аккуратная.
- «4» — верно выполнена обязательная задача и основная часть выбранного задания, но допущена одна неточность в пояснении или порядке записи, исправленная при самопроверке.
- «3» — правильно названа хотя бы одна пара равных углов и сделана попытка применить первый признак, но допущены ошибки в соответствии вершин или формулировке вывода.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о достаточном условии подобия треугольников? | Выявление осознания формулировки первого признака. |
Какой шаг алгоритма помогает не ошибиться в записи треугольников? | Проверка понимания соответствия вершин. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление индивидуальных точек затруднения. |
Можете ли вы объяснить признак однокласснику без чтения определения? | Оценка степени самостоятельности и осмысленности знания. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы сами пришли к первому признаку подобия: двух пар соответственно равных углов достаточно, чтобы установить подобие треугольников. Главная ошибка, которую нужно предупреждать, — неверно сопоставить вершины и записать треугольники в неправильном порядке. Используйте алгоритм: найдите две пары углов, установите соответствие, запишите вывод. На следующем уроке применим подобие треугольников для нахождения неизвестных сторон и решения практических задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на установление подобия треугольников по двум данным парам равных углов; в каждой задаче записать соответствие вершин и вывод по первому признаку. | Закрепить формулировку признака и алгоритм оформления доказательства; при проверке смотреть на наличие двух пар углов и порядок вершин. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи, в которых по чертежу нужно найти неизвестный угол, доказать подобие треугольников и определить соответствующие стороны. | Развить умение извлекать данные из чертежа и связывать равенство углов с соответствием элементов. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу о масштабировании изображения или измерении недоступной высоты, использовать два подобных треугольника и оформить решение с пояснением. | Перенести признак в реальный контекст, развить моделирование и самостоятельное математическое конструирование. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как формулируется первый признак подобия треугольников? Почему достаточно двух углов? Что означает порядок вершин в записи $\triangle ABC\sim\triangle DEF$?»
