Теорема о пропорциональных отрезках
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют теорему о пропорциональных отрезках, объяснят условия её применения и решат не менее трёх задач на нахождение неизвестного отрезка с обоснованием пропорции.
- Сформулировать теорему о пропорциональных отрезках и установить связь между параллельностью прямых и пропорциональностью отрезков.
- Научиться составлять пропорции по рисунку и находить неизвестный отрезок.
- Развивать умение анализировать чертёж, выдвигать гипотезу, проверять её и аргументировать решение.
- Воспитывать аккуратность геометрических построений, ответственность за результат и готовность учитывать мнение одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к использованию геометрических закономерностей в измерениях, проектировании и строительстве.
- Осознают значение точного чертежа и логического обоснования результата.
- Развивают самостоятельность при выборе способа решения и оценке собственной работы.
- Уважительно обсуждают различные способы рассуждения одноклассников.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа, текста теоремы и числовых данных.
- Выдвигают гипотезу о соотношении отрезков и проверяют её на конкретном примере.
- Планируют решение геометрической задачи и осуществляют самопроверку.
- Формулируют выводы, участвуют в парном обсуждении и аргументируют выбранную пропорцию.
Предметные
- Знать формулировку теоремы о пропорциональных отрезках.
- Понимать, при каких условиях на двух секущих, пересекающих параллельные прямые, возникают пропорциональные отрезки.
- Уметь составлять пропорции по геометрическому чертежу.
- Уметь находить неизвестный отрезок и объяснять каждый шаг решения.
- Владеть навыком применения теоремы к практической задаче на косвенное измерение.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в открытие нового способа решения.
- Связывают изучаемое свойство с задачами измерения недоступных расстояний.
- Осознают необходимость проверки результата и корректного оформления доказательства.
- Проявляют готовность принимать обоснованную точку зрения партнёра.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют последовательность действий при составлении пропорции.
- Сверяют решение с эталоном и находят возможную ошибку в порядке соответствующих отрезков.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют на чертеже параллельные прямые, секущие и соответствующие отрезки.
- Сравнивают отношения отрезков и устанавливают их равенство.
- Преобразуют текстовую информацию в математическую модель-пропорцию.
- Используют анализ, применение и оценку при решении задач.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему выбранные отрезки являются соответствующими.
- Задают уточняющие вопросы по условию и чертежу.
- Согласуют общий вывод в паре и представляют его классу.
- Корректно оценивают решение другого ученика по заданным критериям.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображение чертежа с двумя секущими и тремя параллельными прямыми, обозначенными $a$, $b$, $c$.
- Распечатать карточки для парной работы: по одному комплекту на пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить карточки трёх уровней самостоятельной работы: минимального, базового и повышенного.
- Распечатать лист самооценки по одному на каждого ученика.
- Вывести на доску тему урока, проблемный вопрос и памятку: «Найди параллельные прямые; установи соответствующие отрезки; составь пропорцию; вычисли; проверь».
- Подготовить линейки, карандаши и тетради; проверить, что на чертежах отрезки обозначены однозначно.
- Подготовить слайд с практической ситуацией: определение высоты дерева по тени.
- Заранее записать на доске или подготовить для показа эталон: $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$.
- Подготовить таймер для работы в парах и самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость нового свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, линейки и ручки. Сегодня нам понадобится не только вычислительная точность, но и умение внимательно читать чертёж. Запишите дату и приготовьтесь к исследованию." | Проверяют принадлежности, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает изображение дерева и его тени: "Представьте, что нужно узнать высоту дерева, к которому нельзя подойти с измерительной лентой. Рядом можно поставить вертикальную рейку и измерить её тень. Как можно связать эти величины? Подумайте 30 секунд, обсудите ответ в паре и поделитесь предположением." | Индивидуально формулируют гипотезу, обсуждают её в парах; предлагают: "Можно сравнить отношения высоты к длине тени". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже предположили, что важны не отдельные длины, а их отношения. Сегодня мы выясним, почему такие отношения могут быть равны и как это использовать в геометрических задачах."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о параллельных прямых, секущих, отношениях и пропорциях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на доску чертёж двух секущих, пересекающих три параллельные прямые: "Назовите элементы рисунка. Какие прямые здесь параллельны? Какие прямые являются секущими? Какие отрезки образуются на первой и второй секущих?" | Показывают элементы на чертеже и отвечают: "Прямые $a$, $b$, $c$ параллельны; две наклонные прямые — секущие; между соседними параллельными прямыми образованы соответствующие отрезки". |
3 мин | Учитель предлагает устно восстановить понятие отношения и свойство пропорции: "Что означает отношение двух отрезков? Что можно сделать с пропорцией $\frac{x}{6}=\frac{4}{3}$? Назовите основное свойство пропорции." | Объясняют: "Отношение показывает, во сколько раз одна величина отличается от другой"; применяют основное свойство пропорции и получают $x=8$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили язык, который понадобится для нового результата: параллельные прямые, секущие, соответствующие отрезки и пропорцию. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний, чтобы решить конкретную задачу."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает чертёж: на одной секущей отрезки между параллельными прямыми равны $4$ см и $6$ см, на другой — $6$ см и $9$ см. Учитель спрашивает: "Можно ли утверждать, что отрезки на секущих пропорциональны? Как это проверить? Составьте отношение в удобном порядке." | Составляют отношения $\frac{4}{6}$ и $\frac{6}{9}$, сравнивают их и замечают, что они равны. |
2 мин | Учитель предлагает обсудить затруднение: "Мы увидели пример, но пока не знаем, почему равенство отношений выполняется всегда. Сформулируйте, чему нужно научиться сегодня. Какие действия войдут в наш план?" | Формулируют цель: "Установить условие пропорциональности отрезков и научиться применять теорему"; предлагают план: изучить чертёж, сформулировать свойство, решить задачи, проверить себя. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно объяснить не случайное равенство чисел, а общую закономерность. Переходим к исследованию, в котором сами восстановим содержание теоремы."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и сформулировать теорему о пропорциональных отрезках через анализ чертежа и обсуждение в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки с чертежом: три параллельные прямые $a$, $b$, $c$ пересекаются двумя секущими. На первой секущей обозначены отрезки $AB$ и $BC$, на второй — $A'B'$ и $B'C'$. Учитель говорит: "Сначала найдите пары отрезков, которые занимают одинаковое положение между соседними параллельными прямыми. Обведите их одним цветом и запишите предполагаемое равенство отношений." | В парах выделяют соответствующие отрезки, записывают гипотезу $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$, объясняют партнёру порядок соответствия. |
4 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Подумайте, от чего зависит равенство отношений. Обсудите, какую роль играют параллельность прямых и пересечение их секущими. Не заменяйте доказательство примером: сформулируйте общее условие." После обсуждения фиксирует ответы на доске. | Сначала формулируют ответ индивидуально, затем обсуждают в паре; представляют вывод: "Если несколько параллельных прямых пересечены двумя секущими, то соответствующие отрезки на секущих пропорциональны". |
3 мин | Учитель уточняет формулировку: "Посмотрите на доску. Теорема утверждает не равенство самих отрезков, а равенство их отношений. Запишите формулировку и буквенную запись. Обратите внимание: порядок соответствующих отрезков в числителе и знаменателе должен совпадать." | Записывают формулировку: "Если несколько параллельных прямых пересечены двумя секущими, то соответствующие отрезки, заключённые между параллельными прямыми, пропорциональны". Записывают $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$. |
Запись в тетрадях
Теорема: если несколько параллельных прямых пересечены двумя секущими, то соответствующие отрезки, заключённые между параллельными прямыми, пропорциональны. Для трёх параллельных прямых $a$, $b$, $c$: $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили теорему и увидели, какие отрезки называются соответствующими. Теперь проверим новое знание на задаче, где важно не только вычислить, но и правильно прочитать чертёж."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить составлять пропорцию и находить неизвестный отрезок с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает чертёж: три параллельные прямые пересечены двумя секущими; на первой секущей $AB=6$ см, $BC=9$ см, на второй $A'B'=4$ см, $B'C'=x$ см. Учитель говорит: "Прочитайте условие и назовите соответствующие пары. Составьте пропорцию, не подставляя числа бессистемно. Объясните, почему именно $6$ соответствует $4$, а $9$ — $x$." | Называют соответствующие отрезки, составляют $\frac{6}{9}=\frac{4}{x}$, объясняют соответствие и решают задачу. |
3 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Проверьте три позиции: есть ли ссылка на параллельность, правильно ли составлена пропорция, выполнено ли вычисление. Поставьте две звезды за верные действия и одно пожелание, если найдено исправимое место." | Проверяют решение по трём критериям, отмечают сильные стороны и формулируют совет партнёру. |
Эталон решения
Так как данные прямые параллельны, соответствующие отрезки пропорциональны: $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$. Подставляем значения: $\frac{6}{9}=\frac{4}{x}$. По основному свойству пропорции $6x=36$, поэтому $x=6$ см. Проверка: $\frac{6}{9}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Главная ошибка в таких задачах — соединить несоответствующие отрезки. Вы научились сначала читать чертёж, затем составлять пропорцию и только после этого выполнять вычисления. Теперь каждый проверит этот алгоритм самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение теоремой и организовать дифференцированную практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень, который соответствует вашей уверенности. Обязательный минимум выполняют все; при готовности можно выбрать повышенный вариант. Перед вычислением подпишите соответствующие отрезки и запишите основание пропорции." | Выбирают карточку, записывают номер варианта и приступают к работе. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Минимальный уровень: на двух секущих соответствующие отрезки равны $5$ см и $8$ см на первой, $10$ см и $x$ см на второй. Базовый уровень: $AB=7$ см, $BC=11$ см, $A'B'=14$ см, найти $B'C'$. Повышенный уровень: объяснить, можно ли применить теорему, если прямые на рисунке не параллельны, и обосновать ответ. | Решают выбранный вариант, записывают чертёжное основание, пропорцию и вычисления; в повышенном задании формулируют: "Без параллельности прямых теорема в данном виде неприменима". |
3 мин | Учитель показывает эталон на доске и говорит: "Сверьте не только ответ, но и структуру решения. Если ошибка обнаружена, зачеркните неверный шаг одной линией и рядом запишите исправление. Отметьте в листе самооценки: я могу составить пропорцию; я могу найти неизвестный отрезок; я могу объяснить условие применения." | Проверяют решения, исправляют ошибки, заполняют три пункта листа самооценки. |
Эталон решения
Для базового задания: $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$, поэтому $\frac{7}{11}=\frac{14}{x}$. По основному свойству пропорции $7x=154$, откуда $x=22$ см. Проверка: $\frac{7}{11}=\frac{14}{22}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что теорема работает только вместе с условием о параллельности. Осталось связать её с практической ситуацией и убедиться, что геометрическая модель помогает находить недоступные длины."
Этап 7. Включение в систему знаний и применение (3 мин)
Цель этапа: применить теорему в жизненном контексте и оценить разумность результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель возвращается к задаче о дереве: "Рейка высотой $2$ м отбрасывает тень длиной $1{,}5$ м, а тень дерева имеет длину $6$ м. Представим солнечные лучи параллельными. Составьте отношение высоты к тени и найдите высоту дерева. Почему можно использовать теорему?" | Составляют $\frac{h}{6}=\frac{2}{1{,}5}$, находят $h=8$ м, объясняют: "Параллельные солнечные лучи образуют параллельные прямые, а вертикальные объекты и их тени задают соответствующие отрезки". |
Эталон решения
По теореме о пропорциональных отрезках $\frac{h}{6}=\frac{2}{1{,}5}$. Тогда $h=6\cdot\frac{2}{1{,}5}=8$ м. Ответ: высота дерева $8$ м.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили теорему не только к условному чертежу, но и к косвенному измерению. Теперь зафиксируем, что именно каждый из вас понял, умеет выполнять и что ещё требует тренировки."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, выявить затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём "Билет на выход": "На маленьком листке завершите две фразы: «Теорема о пропорциональных отрезках применяется, если…» и «При составлении пропорции я сначала…». Затем выберите цвет: зелёный — могу решать самостоятельно, жёлтый — нужна тренировка, красный — требуется объяснение." | Записывают две фразы, выбирают цвет самооценки и сдают билет при выходе. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранной карточки, указано условие применения теоремы, правильно сопоставлены отрезки, пропорция и вычисления оформлены без ошибок, выполнена проверка.
- «4» — правильно решены основные задания, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не повлиявшая на понимание теоремы.
- «3» — составлена хотя бы одна верная пропорция и получен правильный ответ в базовом задании, но допущены ошибки в обосновании или самостоятельном вычислении.
- Ниже базового уровня — ученик не различает соответствующие отрезки или применяет теорему без условия параллельности; работа требует повторного разбора по алгоритму.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о взаимосвязи параллельных прямых и отрезков на секущих? | Выявление осознания содержания теоремы. |
Какие отрезки нужно сопоставить, прежде чем составлять пропорцию? | Проверка понимания соответствия отрезков на чертеже. |
На каком шаге решения вы испытывали затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме применения теоремы. |
Где можно использовать это свойство вне урока геометрии? | Проверка переноса знания в практический контекст. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что параллельные прямые, пересекаемые двумя секущими, отсекают на них пропорциональные соответствующие отрезки. Важно помнить: сначала проверяем условие параллельности и только потом составляем пропорцию. Типичная ошибка — сравнить отрезки, которые занимают разное положение на секущих. На следующем уроке мы продолжим применять теорему в более сложных задачах и рассмотрим связь пропорциональных отрезков с подобием треугольников."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение неизвестного отрезка по теореме о пропорциональных отрезках: в каждой задаче указать параллельные прямые, соответствующие отрезки, пропорцию и ответ. | Закрепляет алгоритм применения теоремы; при проверке смотреть на соответствие отрезков и запись основания пропорции. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых нужно по двум параллельным прямым и данным на секущих найти неизвестную длину, а затем выполнить проверку равенства отношений. | Развивает самостоятельное моделирование и контроль результата; проверять корректность вычислений и единицы измерения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу на косвенное измерение высоты или расстояния с использованием параллельных лучей; выполнить схему, записать допущения и объяснить применимость теоремы. | Формирует умение создавать математическую модель и обосновывать перенос геометрического свойства в жизненную ситуацию. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как формулируется теорема о пропорциональных отрезках?», «Как определить соответствующие отрезки на чертеже?», «Какое обязательное условие нужно проверить до составления пропорции?»
