Площади параллелограмма, треугольника и трапеции
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики выведут и применят формулы площадей параллелограмма, треугольника и трапеции, решив с их помощью не менее двух практических задач и обосновав выбор формулы.
- Образовательная задача: установить связь между площадями изучаемых фигур и площадью прямоугольника, вывести соответствующие формулы.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать чертёж, выделять основание и высоту, преобразовывать фигуру и аргументировать вывод.
- Развивающая задача: формировать навыки сотрудничества в паре, проверки вычислений и выбора рационального способа решения.
- Воспитательная задача: поддерживать уважительное обсуждение разных способов решения и ответственное отношение к точности измерений и вычислений.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик проявляет интерес к поиску способа вычисления площади фигуры через уже известные геометрические факты.
- Осознаёт практическую ценность точных измерений и вычислений при планировании покрытия или отделки поверхности.
- Уважительно относится к мнению партнёра и готов уточнить собственный вывод при обнаружении ошибки.
- Проявляет самостоятельность, выбирая уровень дополнительного задания и способ представления решения.
Метапредметные
- Извлекает данные из чертежа и условия задачи, различает длину стороны и высоту, проведённую к этой стороне.
- Планирует решение практической задачи, выбирая нужную формулу и проверяя соответствие единиц измерения.
- Аргументирует выводы о формулах площади и сравнивает разные способы разбиения или преобразования фигур.
- Сотрудничает в паре: задаёт уточняющие вопросы, выслушивает партнёра и формулирует общий вывод.
Предметные
- Знает формулы площади параллелограмма S = ah, треугольника S = ah/2 и трапеции S = (a + b)h/2.
- Умеет распознавать высоту фигуры и основание, к которому она проведена, в том числе если высота расположена вне параллелограмма.
- Умеет вычислять площадь фигуры по заданным основанию, высоте и основаниям трапеции.
- Умеет преобразовать формулу площади трапеции к виду S = mh, где m — средняя линия трапеции.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель работы на уроке и соотносят её с практическим применением формул площади.
- Осознают, что геометрическая модель помогает оценивать количество материала для покрытия поверхности.
- Развивают познавательную мотивацию через самостоятельное открытие формул.
- Принимают ответственность за собственный вклад в парную работу.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную проблему и план действий по выведению формул.
- Проверяют, все ли данные для вычисления площади выделены на чертеже.
- Сверяют решение с эталоном и находят причину возможной ошибки.
- Оценивают степень самостоятельности и отмечают, какой формулой уже могут пользоваться уверенно.
Познавательные УУД
- Анализируют составные части фигур и устанавливают связи с прямоугольником и треугольником.
- Моделируют вывод формулы с помощью разрезания, достраивания или разбиения фигуры.
- Сопоставляют полученные площади и обобщают результат в буквенной записи.
- Применяют формулы к задаче с практическим контекстом и контролируют размерность ответа.
Коммуникативные УУД
- Распределяют действия в паре: один участник строит или отмечает высоту, другой объясняет преобразование фигуры.
- Формулируют вывод так, чтобы партнёр мог проверить его по чертежу.
- Задают вопросы о выборе основания и положения высоты, корректно уточняют ход рассуждения.
- Согласуют общий ответ, приводя геометрическое обоснование, а не только итоговое число.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить для каждой пары набор из трёх бумажных фигур: параллелограмм, треугольник и трапеция; на фигурах обозначить основания, но не проводить высоты.
- Распечатать карточки с заданиями трёх уровней: по одной карточке на пару и один комплект запасных карточек.
- Подготовить линейки, ножницы и цветные карандаши — по одному комплекту на пару; заранее проверить, что бумажные фигуры можно безопасно разрезать.
- Подготовить слайд или запись на доске с прямоугольником, параллелограммом, треугольником и трапецией без формул.
- На доске оставить место для четырёх выводов: площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника и трапеции.
- Подготовить отдельный эталон для самостоятельной работы: три вычислительные задачи с ответами и единицами измерения.
- Подготовить стикеры трёх цветов для быстрой рефлексии: уверенно, нужна проверка, нужна помощь; по одному на ученика.
- Для практической задачи подготовить изображение клумбы в форме трапеции с основаниями 6 м и 10 м и высотой 4 м.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в работу и обозначить практическую проблему, для решения которой понадобятся формулы площадей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Представьте, что вам нужно оценить, сколько плитки потребуется для площадки рядом с домом, а её контур не прямоугольный. Посмотрите на рисунки на доске: параллелограмм, треугольник и трапеция. Какую величину нужно найти, чтобы рассчитать количество покрытия? Вероятный ответ — площадь поверхности». | Рассматривают фигуры и формулируют задачу: «Нужно узнать площадь, а затем подобрать нужное количество материала». |
2 мин | «Сегодня формулы не будут просто даны готовыми. Мы проверим, можно ли получить их из уже известной площади прямоугольника. Выберите роль в паре: исследователь чертежа или проверяющий рассуждение; после первого задания роли можно поменять. В конце урока каждый сможет объяснить, откуда появилась хотя бы одна формула, и применить формулы к практической задаче». | Выбирают роли в паре, готовят тетради и формулируют личную цель: «Вывести формулы и научиться выбирать подходящую». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы определили практическую задачу — найти площадь фигур разной формы. Сначала вспомним, какие сведения о площади прямоугольника и высоте нам уже известны».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать формулу площади прямоугольника, понятия основания и высоты и выявить, каких знаний не хватает для нахождения площадей новых фигур.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Посмотрите на прямоугольник со сторонами 7 см и 4 см, изображённый на доске. Как найти его площадь? Что означает каждая величина в формуле? Почему ответ записываем в квадратных сантиметрах? Запишите вычисление в тетради». | Записывают S = 7 · 4 = 28 см² и объясняют: «Площадь равна произведению длины на ширину; квадратные сантиметры показывают единицу площади». |
3 мин | «Теперь сравните прямоугольник и наклонённый параллелограмм рядом с ним. Какие элементы можно сопоставить? Подумайте 30 секунд, затем обсудите ответ с партнёром одну минуту. Где здесь основание, а где высота? Можно ли считать боковую наклонную сторону высотой? Покажите на чертеже, к какой стороне высота должна быть перпендикулярна». | Сначала думают самостоятельно, затем обсуждают в паре и указывают основание и перпендикулярную к нему высоту; формулируют: «Наклонная сторона не обязательно является высотой». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили формулу прямоугольника и уточнили, что высота всегда перпендикулярна выбранному основанию. Но пока неизвестно, как перенести этот способ на фигуры другой формы; сейчас точно обозначим затруднение».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать вопрос урока и спланировать исследование способов нахождения площади параллелограмма, треугольника и трапеции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «На доске — три фигуры без формул. Площадь прямоугольника мы умеем находить, а готового способа для этих фигур пока не записали. Что именно не получается? Можно ли разрезать или достроить фигуру так, чтобы использовать известную площадь прямоугольника или треугольника? Не называйте формулу наугад — предложите, что нужно исследовать». | Называют затруднение: «Не знаем, как связать площадь этих фигур с известными формулами»; предлагают разрезать, достроить или составить фигуру из частей. |
2 мин | «Сформулируем цель вместе: вывести формулы площадей трёх фигур и проверить их на задачах. Какой порядок действий поможет нам не потерять важные сведения? Договоримся: сначала рассматриваем чертёж, затем преобразуем фигуру, сравниваем площади и записываем буквенную формулу». | Предлагают и фиксируют план: изучить чертёж, найти основание и высоту, выполнить преобразование, сравнить площади, записать и проверить формулу. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема и план исследования определены. Теперь в парах проверим наши предположения на бумажных моделях, а не будем принимать формулу без обоснования».
Этап 4. Открытие нового знания в парной работе (12 мин)
Цель этапа: вывести формулы площадей параллелограмма, треугольника и трапеции через преобразование фигур и сравнение их площадей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Возьмите модель параллелограмма. Проведите карандашом высоту к отмеченному основанию, отрежьте треугольник у края и переложите его к противоположной стороне. Какую фигуру вы получили? Изменилось ли количество бумаги? Запишите, чему равна площадь полученного прямоугольника, если основание параллелограмма равно a, а высота — h. Обратите внимание: высота должна быть перпендикулярна именно выбранному основанию». | В паре отмечают основание a и высоту h, разрезают и перекладывают крайний треугольник, получают прямоугольник; делают вывод: «Площадь не изменилась, она равна ah». |
4 мин | «Теперь исследуйте треугольник. Проведите высоту к основанию a и достройте копию такого же треугольника до параллелограмма. Сравните площади двух равных треугольников с площадью полученного параллелограмма. Какую часть его площади составляет исходный треугольник? Объясните вывод партнёру и запишите формулу». | Достраивают модель до параллелограмма, сравнивают две равные части и формулируют: «Треугольник составляет половину параллелограмма с теми же основанием и высотой»; записывают S = ah/2. |
4 мин | «Рассмотрите трапецию с основаниями a и b и высотой h. Переверните вторую такую же модель и соедините фигуры основаниями. Какую фигуру можно получить? Какими будут её основание и высота? Обсудите вывод в паре и проверьте, делится ли площадь составленной фигуры поровну между двумя трапециями». | Составляют параллелограмм из двух равных трапеций, называют его основание a + b и высоту h; выводят площадь одной трапеции: S = (a + b)h/2. |
Запись в тетрадях
- Площадь параллелограмма: S = ah, где a — основание, h — высота, проведённая к этому основанию.
- Площадь треугольника: S = ah/2, где a — основание, h — высота к этому основанию.
- Площадь трапеции: S = (a + b)h/2; полусумма оснований равна средней линии m, поэтому S = mh.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили три формулы из преобразований фигур и проверили, откуда берётся деление на два. Теперь применим каждую формулу к короткой задаче и отдельно проследим за единицами измерения».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание основания и соответствующей высоты и проговорить применение каждой выведенной формулы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Решим задачу вслух. Параллелограмм имеет основание 8 см и высоту к этому основанию 5 см. Найдите площадь. Какую формулу выбираем и почему в неё нельзя подставить наклонную боковую сторону вместо высоты? Запишите решение с единицами». | Называют формулу S = ah, подставляют данные и получают 8 · 5 = 40 см²; объясняют, что высота перпендикулярна основанию. |
2 мин | «Следующая задача: основание треугольника равно 10 см, высота к нему — 6 см. Сначала проговорите, почему здесь нужно делить произведение на два, затем вычислите площадь. Сравните свой ответ с решением партнёра». | Записывают S = 10 · 6 / 2 = 30 см² и объясняют связь формулы с площадью параллелограмма из двух равных треугольников. |
2 мин | «Трапеция имеет основания 5 см и 9 см, высоту 4 см. Найдите площадь двумя записями: через полусумму оснований и через среднюю линию. Какое значение средней линии получили? Сверьте результаты». | Вычисляют m = (5 + 9)/2 = 7 см; получают S = 7 · 4 = 28 см² и подтверждают равенство результатов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Все три формулы сработали, а запись через среднюю линию дала тот же результат. Теперь каждый самостоятельно решит задания и проверит не только вычисление, но и выбор высоты».
Этап 6. Самостоятельная работа и самопроверка (9 мин)
Цель этапа: индивидуально проверить умение выбирать формулу, подставлять данные и обнаруживать типичную ошибку в обозначении высоты.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «Сейчас работаем самостоятельно. Выполните три задания: найдите площадь параллелограмма с основанием 9 см и высотой 4 см; найдите площадь треугольника с основанием 12 см и высотой 5 см; найдите площадь трапеции с основаниями 7 см и 11 см и высотой 3 см. В каждом решении запишите формулу до подстановки. Если справитесь раньше, выберите дополнительное задание: придумайте размеры трапеции, площадь которой равна 36 см², и проверьте пример». | Индивидуально записывают формулу, подставляют данные, указывают квадратные единицы измерения; желающие решают задачу с самостоятельно подобранными размерами. |
3 мин | «Откройте лист самопроверки и сравните ответы. Если ответ не совпал, не исправляйте его сразу: найдите шаг, где возникло расхождение — выбор формулы, подстановка или вычисление. Отметьте цветным стикером свой уровень уверенности: зелёный — могу объяснить, жёлтый — нужна проверка, красный — нужна помощь. Ошибка здесь полезна, если мы можем точно назвать её причину». | Сверяют ответы: 36 см², 30 см² и 27 см²; исправляют решение с указанием причины, прикрепляют выбранный стикер и при необходимости отмечают вопрос для разбора. |
Эталон решения
1) Параллелограмм: S = ah = 9 · 4 = 36 см². 2) Треугольник: S = ah/2 = 12 · 5/2 = 30 см². 3) Трапеция: S = (a + b)h/2 = (7 + 11) · 3/2 = 27 см².
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что важно не только помнить формулу, но и соотносить высоту с основанием. Осталось проверить, как геометрические формулы помогают решить задачу из реальной ситуации».
Этап 7. Применение, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: применить формулу площади трапеции к практической задаче, оценить освоение нового материала и разъяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «На экране план клумбы в форме трапеции: параллельные стороны равны 6 м и 10 м, расстояние между ними — 4 м. Сколько квадратных метров поверхности нужно подготовить для посадки? Какая величина на рисунке является высотой? Если один мешок грунта рассчитан на 5 м², сколько целых мешков потребуется? Обоснуйте, почему округляем вверх». | Записывают S = (6 + 10) · 4/2 = 32 м²; вычисляют 32/5 = 6,4 и заключают: «Нужно 7 целых мешков, потому что шести недостаточно». |
1 мин | «Закончите фразу на листке: “Сегодня я понял, что…” или “Мне пока нужно проверить…”. Затем отметьте, какую формулу вы можете объяснить партнёру без подсказки. Ваш ответ поможет мне выбрать, с чего начать следующий урок». | Пишут краткий ответ, отмечают понятную и требующую повторения формулу; при желании называют один вопрос. |
2 мин | «Домашнее задание будет с выбором уровня. Базовый уровень обязателен для всех, а повышенный и продвинутый выбирайте по готовности. Перед выходом ответьте себе на два вопроса: как определить высоту к выбранному основанию и почему в формулах треугольника и трапеции появляется деление на два? Запишите выбранный уровень». | Записывают выбранный вариант домашнего задания, отвечают на контрольные вопросы и при необходимости обращаются за уточнением. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три задания самостоятельной работы, правильно выбраны формулы, указаны соответствующие высоты и записаны квадратные единицы измерения; практическая задача о клумбе решена с обоснованным округлением.
- «4» — верно решены не менее двух заданий из трёх, формулы в основном выбраны правильно, допущена не более чем одна вычислительная или оформительская ошибка; практическая задача решена верно либо ошибка объяснена.
- «3» — верно решено хотя бы одно задание из трёх при наличии записи формулы и попытки подстановки; ученик распознаёт основание и высоту с подсказкой.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую формулу площади вы теперь можете вывести, а не только вспомнить? | Выявление осознанности способа получения формулы. |
Как понять, что выбранная высота проведена именно к нужному основанию? | Проверка понимания геометрического условия применения формул. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение: выбор формулы, подстановка или вычисление? | Диагностика конкретного места затруднения для планирования коррекции. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Осознание учеником уровня уверенности и готовности к самостоятельной работе. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы сами вывели формулы площадей параллелограмма, треугольника и трапеции, используя преобразование фигур. Помните о типичной ошибке: наклонная сторона параллелограмма не является высотой, если она не перпендикулярна выбранному основанию. В практической задаче вы увидели, что точный расчёт площади помогает оценить необходимые материалы. Дома выберите посильный уровень и обязательно запишите формулу до подстановки чисел. На следующем уроке продолжим применять формулы площадей и разбирать более сложные чертежи».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить по одной задаче на площадь параллелограмма, треугольника и трапеции: в каждой задаче даны соответствующие основание и высота, а у трапеции — два основания и высота. Для каждой задачи нарисовать схему, записать формулу и ответ с единицами. | Закрепляет распознавание данных и применение трёх формул; при проверке смотреть, соотнесена ли высота с основанием. |
Средний (повышающий) | Решить три задачи, в которых требуется найти неизвестную высоту или основание по известной площади, а также одну задачу на вычисление площади трапеции через её среднюю линию. | Развивает преобразование формул и выбор эквивалентной записи; при проверке смотреть на ход рассуждения и проверку результата подстановкой. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить практическую задачу о покрытии или благоустройстве участка треугольной, параллелограммной либо трапециевидной формы, задать реалистичные размеры, решить её и объяснить, какие измерения необходимы для расчёта. | Формирует умение моделировать жизненную ситуацию геометрической фигурой; при проверке смотреть на корректность модели, единицы измерения и обоснованность вычислений. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: чем высота отличается от боковой стороны параллелограмма? Почему площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту? Какую величину можно использовать вместо полусуммы оснований трапеции?
