Площади прямоугольника, квадрата, параллелограмма, треугольника и трапеции
Цели и задачи
- Цель по SMART: за 45 минут повторить формулы площадей прямоугольника, квадрата, параллелограмма, треугольника и трапеции и научиться выбирать подходящую формулу в практических задачах; к концу урока каждый ученик решит не менее четырёх из пяти заданий без ошибок в выборе формулы и записи единиц площади.
- Образовательная задача: систематизировать формулы площадей пяти фигур и соотнести каждую формулу с необходимыми для вычисления элементами.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать чертёж, выделять основание и соответствующую высоту, выполнять вычисления и проверять правдоподобие результата.
- Развивающая задача: совершенствовать навыки парного обсуждения, аргументации способа решения и взаимной проверки по критериям.
- Воспитательная задача: поддерживать ответственное отношение к точности измерений и вычислений, уважение к аргументированному мнению партнёра и готовность оценивать собственный прогресс.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик понимает практическую ценность вычисления площадей при ремонте, проектировании и планировании материалов.
- Проявляет ответственное отношение к точности записи величин и единиц измерения.
- Принимает самостоятельное решение о выборе уровня дополнительного задания и отвечает за его выполнение.
- Уважительно относится к способу решения партнёра и готов уточнять или пересматривать собственную позицию.
Метапредметные
- Извлекает из условия и чертежа данные, необходимые для вычисления площади, и отделяет их от лишней информации.
- Сравнивает формулы площадей и объясняет, какие элементы фигуры нужны для применения каждой формулы.
- Планирует решение практической задачи, выполняет вычисления и проверяет результат оценкой его разумности.
- Аргументированно представляет решение партнёру и использует критерии для взаимной проверки.
Предметные
- Знает формулы площадей прямоугольника $S=ab$, квадрата $S=a^2$, параллелограмма $S=ah$, треугольника $S=\frac{1}{2}ah$ и трапеции $S=\frac{a+b}{2}h$.
- Умеет выбирать формулу по виду фигуры и данным условия, различая высоту и боковую сторону.
- Умеет вычислять площадь фигуры в практической задаче и выражать ответ в квадратных единицах.
- Умеет проверять решение подстановкой данных в формулу и оценивать, соответствует ли результат размерам фигуры.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят умение находить площади с практическими ситуациями, требующими расчёта поверхностей и материалов.
- Осознают личную ответственность за точность вычислений и корректную запись ответа.
- Выбирают посильный способ участия в практикуме и проявляют инициативу при решении дополнительной задачи.
- Оценивают собственное продвижение без сравнения с одноклассниками.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и планируют последовательность действий: определить фигуру, выбрать формулу, подставить данные, записать единицы.
- Сверяют ход решения с критериями, отмеченными на доске, и самостоятельно обнаруживают пропуск или ошибку.
- Исправляют вычисления после обсуждения с партнёром или сверки с эталоном.
- Оценивают, достигнута ли цель урока, по числу верно решённых заданий и качеству объяснения.
Познавательные УУД
- Анализируют условие и чертёж, выделяют основание, высоту, боковую сторону и известные размеры.
- Сравнивают способы нахождения площадей фигур и классифицируют задачи по применяемой формуле.
- Моделируют практическую ситуацию геометрической фигурой и переводят её данные в математическую запись.
- Проверяют вычислительный результат оценкой порядка величины и соответствия единиц измерения.
Коммуникативные УУД
- Распределяют действия в паре: один ученик предлагает формулу, другой проверяет соответствие данных и вычислений, затем роли меняются.
- Задают уточняющие вопросы о выборе высоты или основания и отвечают, опираясь на свойства фигуры.
- Обосновывают решение последовательностью «фигура — формула — подстановка — ответ».
- Корректно выражают несогласие, сопоставляют аргументы и приходят к согласованному способу проверки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или слайд с краткой таблицей пяти формул площадей и цветовым выделением высоты; формулы оставить закрытыми до этапа актуализации.
- Распечатать карточки для парной практики с пятью чертежами и условиями задач — по одной карточке на пару, ориентировочно 15 карточек для класса из 30 учеников.
- Подготовить индивидуальный лист из пяти коротких заданий для самостоятельной работы — по одному на ученика и три запасных экземпляра.
- Подготовить карточку практической задачи о покрытии пола и запасе материала — по одной на парту, около 15 экземпляров.
- Распечатать для каждого ученика мини-лист самооценки со светофорной отметкой и вопросом для билета на выход — 30 экземпляров.
- Подготовить набор геометрических чертежей прямоугольника, квадрата, параллелограмма, треугольника и трапеции; на чертежах явно обозначить высоты штриховой линией.
- Вывести на экран или заранее записать на доске критерий проверки: «фигура определена; формула выбрана; данные подставлены; вычисления верны; ответ записан в квадратных единицах».
- Проверить работу проектора или интерактивной доски; иметь цветные маркеры для выделения оснований и высот, таймер и обычные калькуляторы на случай, если они разрешены правилами класса.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и настрой на практику (2 мин)
Цель этапа: организовать класс и настроить учеников на практическое применение известных формул.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность к работе: «Здравствуйте. Сегодня у нас урок-практикум, поэтому приготовьте тетрадь, ручку и линейку. На столе оставьте только то, что понадобится для вычислений. В течение урока вы несколько раз будете выбирать способ решения и проверять себя по понятным критериям. Важно не только получить число, но и показать, почему выбрана именно эта формула». | Ученики готовят тетради и линейки, записывают дату; настраиваются на работу, проверяют наличие принадлежностей. |
1 мин | Учитель показывает на доске силуэт комнаты и спрашивает: «Представьте, что нужно заказать напольное покрытие. Что нужно узнать, чтобы не купить слишком мало или слишком много материала? Какие геометрические знания здесь пригодятся? Сегодня мы будем тренироваться применять формулы к чертежам и бытовым ситуациям, а в конце вернёмся к вопросу о заказе покрытия». | Ученики предлагают ответы: «Нужно узнать площадь пола», «Нужно умножить длину на ширину»; формулируют, что будут применять изученные формулы площадей. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что формулы нужны не только для упражнений: по ним планируют реальные покупки и работы. Сначала быстро восстановим в памяти, какие данные нужны для каждой фигуры».
Этап 2. Актуализация формул и выявление типичных ошибок (5 мин)
Цель этапа: восстановить формулы площадей и проверить, различают ли ученики высоту и боковую сторону фигуры.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель закрывает формулы на доске и предлагает приём «Быстрый вызов»: «Посмотрите на пять чертежей. Назовите фигуру и вспомните формулу её площади. Не торопитесь угадывать: для параллелограмма и треугольника особенно важно назвать высоту, проведённую к выбранному основанию. Я буду записывать формулы рядом с фигурами, а вы в конце сверите их со своей записью». | Ученики называют фигуры и формулы: «Прямоугольник — длина умножить на ширину», «Квадрат — сторона в квадрате», «Параллелограмм — основание умножить на высоту», «Треугольник — половина произведения основания на высоту», «Трапеция — полусумма оснований, умноженная на высоту». |
3 мин | Учитель показывает чертёж параллелограмма с наклонной боковой стороной и перпендикулярной высотой: «Представим, что основание равно 8 см, высота к нему равна 5 см, а боковая сторона — 6 см. Каким числом нужно умножить основание? Почему боковую сторону нельзя автоматически подставить вместо высоты? Обсудите ответ с соседом 30 секунд, затем одна пара объяснит классу». Учитель отмечает на чертеже прямой угол у высоты. | Ученики обсуждают в парах и формулируют: «Площадь равна 8 умножить на 5, потому что 5 см — высота к основанию; боковая сторона не перпендикулярна основанию». Записывают результат 40 см² и отмечают, что площадь выражается в квадратных единицах. |
Эталон решения
Для параллелограмма площадь равна произведению основания на проведённую к нему высоту: $S=ah$. При $a=8$ см и $h=5$ см получаем $S=8\cdot5=40$ см². Боковая сторона 6 см не является высотой, поскольку не перпендикулярна основанию; подстановка $8\cdot6$ дала бы площадь по неверным данным.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Формулы мы восстановили, а одну типичную ошибку уже проверили: боковая сторона и высота — не одно и то же. Теперь потренируемся объяснять выбор формулы друг другу и сверять решение по шагам».
Этап 3. Парная практика: выбери формулу и обоснуй (8 мин)
Цель этапа: закрепить выбор формулы и вычисление площади при работе в паре с обязательным объяснением способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки с пятью чертежами: «Работаем в парах. На карточке пять фигур; у каждой указаны размеры. Ваша задача — решить любые четыре задания, причём к каждому записать название формулы и единицу площади. Один участник пары предлагает решение, второй проверяет, что в формулу подставлена именно высота, затем поменяйтесь ролями. Можно выбрать порядок заданий самостоятельно; на работу отводится четыре минуты». | Ученики получают по одной карточке на пару, распределяют очередность и договариваются, кто начинает с первого задания. |
4 мин | Учитель запускает таймер и обходит пары: «Сначала определите фигуру, затем найдите в условии нужные величины. Если сомневаетесь, подчеркните основание и обведите высоту. Не просто называйте число партнёру — объясните, почему применяете именно эту формулу. Отметьте на чертеже те данные, которые использовали». | Пары решают четыре задания: прямоугольник со сторонами 9 см и 4 см; квадрат со стороной 7 см; треугольник с основанием 10 см и высотой 6 см; трапеция с основаниями 8 см и 14 см и высотой 5 см. Ученики проговаривают формулы, вычисляют площади и записывают см². |
3 мин | Учитель предлагает взаимную проверку по эталону на доске: «Поменяйтесь карточками с соседней парой или обменяйтесь тетрадями внутри пары. Проверьте не только ответы, но и ход решения: верно ли распознана фигура, подходят ли данные к формуле, указаны ли квадратные единицы. Если нашли расхождение, сначала задайте партнёру вопрос, а не стирайте его решение за него». | Ученики сверяют решения, отмечают верные шаги и находят возможные ошибки; исправляют запись после короткого обсуждения. Ожидаемые результаты: 36 см², 49 см², 30 см², 55 см². |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Эталон решения
Прямоугольник: $S=9\cdot4=36$ см². Квадрат: $S=7^2=49$ см². Треугольник: $S=\frac{1}{2}\cdot10\cdot6=30$ см². Трапеция: $S=\frac{8+14}{2}\cdot5=55$ см². В каждом случае ответ записывается в квадратных сантиметрах.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы потренировались не только считать, но и проверять основание, высоту и единицы измерения. Теперь усложним работу: в некоторых задачах нужно будет особенно внимательно прочитать чертёж и выбрать данные, которые действительно определяют площадь».
Этап 4. Практикум по чертежам: анализ данных (10 мин)
Цель этапа: отработать анализ чертежа и самостоятельный выбор формулы в заданиях разного типа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске два чертежа: параллелограмм с основанием 12 см и высотой 7 см, а также треугольник с основанием 12 см и высотой 7 см. Учитель говорит: «У фигур одинаковы основание и высота, но площади будут разными. Сначала каждый молча запишите предполагаемую формулу, затем сравните ответ с партнёром. Какой множитель появится у треугольника и почему?» | Ученики индивидуально записывают формулы, затем обсуждают в парах и объясняют: «Площадь параллелограмма равна 84 см², а площадь треугольника — 42 см², потому что треугольник составляет половину параллелограмма с теми же основанием и высотой». |
5 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с тремя задачами: «Решите все три задачи в тетради, каждый участник должен записать хотя бы одно полное решение. Первая: площадь прямоугольного окна со сторонами 1,2 м и 0,8 м. Вторая: площадь параллелограмма с основанием 15 см и высотой 9 см; боковая сторона равна 11 см. Третья: площадь треугольной детали с основанием 18 см и высотой 10 см. Подчеркните данные, которые используете, и зачеркните мысленно те, что для вычисления не нужны». | Ученики в парах решают задачи и проговаривают выбор данных: для окна используют обе стороны; в параллелограмме — основание и высоту, а не боковую сторону; для треугольной детали — половину произведения основания на высоту. Записывают ответы с единицами. |
3 мин | Учитель приглашает одну пару разобрать задачу о параллелограмме у доски и задаёт вопросы классу: «Почему число 11 см не вошло в вычисление? Как на чертеже распознать высоту? Если заменить 9 см на боковую сторону, что изменится в решении и почему оно станет неверным? Сверьте вычисления с записью на доске и при необходимости исправьте свой ход решения». | Представитель пары записывает $S=15\cdot9=135$ см². Остальные отвечают: «11 см — боковая сторона, она не перпендикулярна основанию; для площади нужна высота к основанию». Ученики проверяют ответы: 0,96 м²; 135 см²; 90 см². |
Эталон решения
Окно-прямоугольник: $S=1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96$ м². Параллелограмм: $S=15\cdot9=135$ см²; боковая сторона 11 см для этой формулы не требуется. Треугольная деталь: $S=\frac{1}{2}\cdot18\cdot10=90$ см².
Завершение этапа: учитель подводит итог: «На чертеже важно не использовать все числа подряд, а понять, какие из них связаны с нужной формулой. Сейчас каждый проверит себя самостоятельно, а затем увидит эталон и оценит не только ответ, но и последовательность решения».
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: оценить индивидуальное владение формулами площадей и умение самостоятельно находить и исправлять ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы и заранее проговаривает критерии: «Сейчас работаем самостоятельно и без подсказок соседа. На листе пять заданий, решите их по порядку. За каждый верный ответ с формулой и единицами можно получить один балл; если вычисление верное, но формула или единицы не записаны, ответ нужно дополнить. После работы мы откроем эталон для самопроверки». | Ученики получают листы, подписывают их и читают критерии оценивания. |
5 мин | Учитель запускает таймер: «Выполните задания: площадь квадрата со стороной 8 см; площадь прямоугольника со сторонами 13 см и 6 см; площадь параллелограмма с основанием 10 см и высотой 4 см; площадь треугольника с основанием 14 см и высотой 9 см; площадь трапеции с основаниями 6 см и 12 см и высотой 5 см. Для каждого примера запишите формулу, подстановку и ответ. Если закончили раньше, проверьте, что ни один ответ не записан в линейных единицах». | Ученики индивидуально решают пять заданий, записывают промежуточные действия и ответы в см². |
2 мин | Учитель открывает на доске эталон: «Сверьте каждый пункт и поставьте рядом отметку: верно, ошибка в формуле или ошибка в вычислении. Исправление запишите другим цветом либо рядом, не стирая первоначальный ход. Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить все пять решений; жёлтую — если осталось одно уточнение; красную — если нужна помощь с выбором формулы». | Ученики сверяют ответы: 64 см², 78 см², 40 см², 63 см², 45 см²; отмечают ошибки, исправляют решения и показывают сигнал светофора. |
Эталон решения
Квадрат: $S=8^2=64$ см². Прямоугольник: $S=13\cdot6=78$ см². Параллелограмм: $S=10\cdot4=40$ см². Треугольник: $S=\frac{1}{2}\cdot14\cdot9=63$ см². Трапеция: $S=\frac{6+12}{2}\cdot5=45$ см².
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы получили индивидуальную картину того, что уже получается и что стоит проверить ещё раз. Осталось применить формулы к целой практической ситуации и обосновать выбранный расчёт».
Этап 6. Практическая задача: расчёт покрытия пола (7 мин)
Цель этапа: применить формулу площади прямоугольника к жизненной ситуации и аргументировать расчёт с учётом запаса материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку с условием: «Комната имеет форму прямоугольника длиной 4,8 м и шириной 3,5 м. Для подрезки и возможных ошибок хозяева решили купить покрытие с запасом 10% от площади комнаты. Какова площадь комнаты и какой минимальный запас покрытия нужен? Сначала назовите план решения, а вычисления выполните в парах. Представьте, что вы объясняете расчёт заказчику, которому важно понимать каждое число». | Ученики читают условие, выделяют размеры комнаты и величину запаса; формулируют план: найти площадь прямоугольника, вычислить 10% площади и прибавить запас. |
3 мин | Учитель напоминает: «Обсудите с партнёром, где в решении появится процент и в каких единицах будет дан итог. Проверьте, что десять процентов — это одна десятая площади, а не прибавление десяти квадратных метров. Запишите вычисления полностью; если получилось дробное число, оставьте точность до сотых и объясните, почему заказ материала округляют с запасом вверх». | Пары вычисляют площадь: $4{,}8\cdot3{,}5=16{,}8$ м². Затем находят запас: $16{,}8\cdot0{,}10=1{,}68$ м², и общий объём: $16{,}8+1{,}68=18{,}48$ м². Формулируют ответ: требуется не менее 18,48 м² покрытия; при покупке упаковок количество округляют вверх. |
2 мин | Учитель просит одну пару представить решение: «Назовите формулу, подстановку и смысл каждого результата. Как вы проверили, что ответ правдоподобен? Если запас не добавлять, сколько материала потребуется только на площадь пола? Почему в реальной покупке разумно округлить количество упаковок вверх?» | Пара объясняет ход решения; остальные сверяют записи и отвечают: «Площадь пола — 16,8 м², запас составляет 1,68 м², общий расчёт — 18,48 м²; материал нельзя купить в количестве меньше нужного». |
Эталон решения
Площадь комнаты: $S=4{,}8\cdot3{,}5=16{,}8$ м². Запас: $16{,}8\cdot\frac{10}{100}=1{,}68$ м². Общая потребность: $16{,}8+1{,}68=18{,}48$ м². Если покрытие продаётся целыми упаковками, число упаковок округляют вверх с учётом площади одной упаковки.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы использовали формулу площади прямоугольника в задаче, похожей на расчёт при ремонте, и учли запас материала. Теперь подведём итог: каждый назовёт, что умеет делать уверенно и где ещё нужна тренировка».
Этап 7. Рефлексия, билет на выход и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: помочь ученикам оценить освоение формул и зафиксировать индивидуальный вопрос для дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и предлагает завершить фразы: «Отметьте формулы, которые можете применить без подсказки. Допишите одну фразу: “Теперь я умею…” и одну: “Мне стоит ещё потренироваться…”. Оцените своё участие в паре: удалось ли объяснить выбор формулы и услышать аргумент партнёра? Здесь важна честная оценка собственного продвижения, а не сравнение с соседями». | Ученики отмечают освоенные формулы, завершают две фразы и фиксируют личный результат; при необходимости ставят зелёную, жёлтую или красную отметку. |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: «На отдельной строке ответьте на два вопроса: какая формула сегодня потребовала от вас наибольшего внимания и почему; какое действие помогает не перепутать высоту с боковой стороной? Сдайте ответ при выходе. Затем запишите домашнее задание, выбрав обязательный уровень и, по желанию, одно задание повышенного уровня». | Ученики письменно отвечают на вопросы билета на выход, записывают домашнее задание и сдают билет учителю. |
1 мин | Учитель завершает урок: «Перед выходом проверьте, что в тетради есть пять формул и запись практической задачи. Спасибо за точные вычисления и содержательную работу в парах. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на площади, в том числе будем искать неизвестные элементы фигуры по известной площади». | Ученики проверяют записи, сдают билеты на выход и уточняют обязательный объём домашнего задания. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены не менее четырёх из пяти заданий самостоятельной работы и правильно выполнена практическая задача; формулы выбраны обоснованно, вычисления и единицы площади указаны без ошибок.
- «4» — верно решены не менее трёх заданий самостоятельной работы и выполнена основная часть практической задачи; допущена не более чем одна ошибка в вычислении, выборе данных или записи единиц.
- «3» — верно решены не менее двух заданий самостоятельной работы; ученик распознаёт часть фигур и формул, но нуждается в помощи при выборе высоты, вычислении или записи ответа.
- При парной работе дополнительно учитывается качество объяснения: ученик называет фигуру, формулу и использованные данные, а не только сообщает конечное число.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую формулу площади вы сегодня применили увереннее всего и на каком задании? | Выявить, какие формулы ученик считает освоенными и может ли он связать формулу с конкретной задачей. |
Где было труднее всего выбрать нужные данные: в задаче о параллелограмме, треугольнике или практической задаче о покрытии? | Определить типичные точки затруднения при анализе условия и различении высоты, стороны и других данных. |
Что помогло вам договориться с партнёром, если способы решения сначала различались? | Оценить сформированность коммуникативных действий, аргументации и уважительного обсуждения. |
Какое действие вы будете выполнять первым, чтобы проверить своё решение на следующем уроке? | Проверить осознанность алгоритма самоконтроля и готовность ученика переносить его на новые задачи. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы систематизировали формулы площадей пяти фигур и проверили их на чертежах и практической задаче. Самая частая ошибка — принять наклонную боковую сторону параллелограмма за высоту или забыть, что площадь записывается в квадратных единицах. Проверяйте решение по цепочке: определите фигуру, выберите формулу, подставьте подходящие данные и оцените ответ. Спасибо за внимательную работу и взаимную поддержку в парах. На следующем уроке будем находить неизвестные стороны и высоты, если площадь уже известна».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить пять задач: по одной на площадь прямоугольника, квадрата, параллелограмма, треугольника и трапеции; в каждой записать формулу, подстановку, вычисление и единицу площади. | Закрепить все пять формул; при проверке обратить внимание на выбор высоты, вычисления и запись ответа в квадратных единицах. |
Средний (повышающий) | Решить три практические задачи о площади поверхности или участка: одну на прямоугольник, одну на треугольник или параллелограмм и одну на трапецию; в одной задаче объяснить, какие данные условия не используются. | Перенести формулы в жизненный контекст и отработать анализ условия; проверить обоснование выбора формулы и корректность единиц. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу о расчёте площади помещения или декоративной детали, составленной из двух изученных фигур; приложить схематичный чертёж с размерами и объяснить способ нахождения общей площади. | Развивать моделирование и создание математической задачи; проверить, согласуются ли чертёж, размеры, выбранные формулы и итоговый ответ. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: какая формула нужна для площади трапеции; почему боковую сторону параллелограмма нельзя подставлять вместо высоты без дополнительного условия; в каких единицах записывают площадь; какие шаги решения помогают проверить ответ?
