Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться определять синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника и применять определения для вычисления отношений сторон в учебных и практических задачах.
- Сформировать представление о противолежащем катете, прилежащем катете и гипотенузе относительно заданного острого угла.
- Научиться записывать определения тригонометрических функций через отношения сторон и вычислять их значения по данным прямоугольного треугольника.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, проверять её на нескольких моделях и аргументировать выводы в парной работе.
- Воспитывать ответственность за точность чертежа, взаимопомощь и интерес к применению геометрии в архитектуре, навигации и инженерии.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность тригонометрических отношений для определения высот, расстояний и углов в реальных ситуациях.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать уровень задания и отвечать за результат своей работы.
- Формируют уважительное отношение к мнению одноклассников при обсуждении гипотез и способов решения.
- Развивают познавательную мотивацию через открытие нового способа описания прямоугольного треугольника.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа, выделяют условие, неизвестное и необходимые отношения сторон.
- Планируют последовательность решения задачи и проверяют результат по определениям и свойствам прямоугольного треугольника.
- Формулируют гипотезу о зависимости отношений сторон от величины острого угла и проверяют её на моделях.
- Участвуют в диалоге, аргументируют выводы и корректно уточняют ответы одноклассников.
Предметные
- Знать определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
- Уметь находить относительно заданного угла гипотенузу, противолежащий и прилежащий катеты.
- Уметь вычислять синус, косинус и тангенс по длинам сторон прямоугольного треугольника.
- Уметь применять основное тригонометрическое тождество для проверки найденных значений.
- Понимать, что значения тригонометрических функций зависят от величины угла, а не от размера конкретного подобного треугольника.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный мотив: понять, как по одному углу описать соотношение сторон треугольника.
- Осознают значение точности и последовательности при работе с геометрическим чертежом.
- Оценивают собственную готовность применять новые определения в практической задаче.
- Проявляют инициативу при выборе базового или повышенного задания.
Регулятивные УУД
- Совместно с учителем формулируют цель урока и план её достижения.
- Планируют действия: построить чертёж, выделить стороны относительно угла, записать отношение, вычислить и проверить.
- Осуществляют самопроверку по эталону и находят место возможной ошибки.
- Корректируют решение после сравнения с критериями и объясняют причину исправления.
Познавательные УУД
- Сравнивают несколько прямоугольных треугольников и выявляют неизменность отношений для равных углов.
- Классифицируют стороны треугольника относительно выбранного острого угла.
- Строят математическую модель практической ситуации через прямоугольный треугольник.
- Устанавливают связь между определениями функций и теоремой Пифагора.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: чертёжник, вычислитель, проверяющий и докладчик.
- Формулируют вопросы по чертежу и дают краткие аргументированные ответы.
- Согласуют общий вывод после обсуждения различных способов решения.
- Используют математическую терминологию: гипотенуза, катет, противолежащий и прилежащий катет.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или экран с фотографией лестницы, рампы или крыши и проблемным вопросом: «Как определить высоту, не измеряя её напрямую?»
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить для каждой пары лист с двумя-тремя прямоугольными треугольниками, транспортиром и линейкой для сравнения углов и отношений сторон.
- Вывести на доску пустой чертёж прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C и отмеченным углом A.
- Подготовить памятку с обозначениями: гипотенуза, противолежащий катет, прилежащий катет.
- Подготовить слайд с эталоном: sin A = BC/AB, cos A = AC/AB, tg A = BC/AC.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить проектор, компьютер или интерактивную доску, маркеры, линейки и калькуляторы по одному на пару при необходимости.
- Разместить на доске критерии успеха: правильно определить стороны, записать отношение, вычислить значение, выполнить проверку.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и создать личностно значимую проблемную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране фотографию длинной лестницы, прислонённой к стене: "Здравствуйте, ребята. Представьте, что вы проектируете лестницу или пандус. Длину лестницы измерить легко, а вот высоту подъёма иногда измерять напрямую неудобно. Сегодня мы выясним, как геометрия помогает получить эту высоту через известные стороны и угол." | Рассматривают изображение, называют возможные ситуации: «строительство», «измерение высоты здания», «проектирование дороги». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос и организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Можно ли по одному острому углу и одной стороне прямоугольного треугольника определить отношение других сторон? Сначала подумайте молча, затем обсудите идею с соседом. Нам важна не готовая формула, а гипотеза." | 30 секунд формулируют собственную гипотезу, 1 минуту обсуждают её в парах, затем предлагают варианты: «отношения могут быть одинаковыми для треугольников с одним углом», «нужны дополнительные данные». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели практическую задачу и предположили, что угол может задавать определённое соотношение сторон. Теперь проверим, какие знания о прямоугольном треугольнике помогут нам это сделать."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия прямоугольного треугольника, гипотенузы, катетов и теоремы Пифагора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске треугольник ABC с прямым углом C и спрашивает: "Назовите стороны этого треугольника. Какая сторона лежит напротив прямого угла? Как называются две другие стороны?" Учитель отмечает ответы на чертеже. | Указывают на AB и отвечают: «AB — гипотенуза, потому что она лежит напротив прямого угла; AC и BC — катеты». |
2 мин | Учитель выделяет угол A: "Теперь смотрим не на прямой угол, а на угол A. Какая сторона лежит напротив угла A? Какая сторона образует угол A вместе с гипотенузой?" | Показывают стороны на чертеже и отвечают: «BC — противолежащий катет, AC — прилежащий катет, AB — гипотенуза». |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Запишите теорему Пифагора для этого треугольника и проверьте её с соседом. Затем объясните, какую сторону можно найти, если известны два других отрезка." | Записывают: \(AB^2=AC^2+BC^2\), сравнивают записи в парах и формулируют: «неизвестный катет можно найти по разности квадратов гипотенузы и другого катета». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «В прямоугольном треугольнике гипотенуза лежит напротив прямого угла. Катеты образуют прямой угол. Названия катетов относительно острого угла: противолежащий и прилежащий».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что одна и та же сторона может называться по-разному относительно разных углов. Это наблюдение будет ключом к сегодняшнему открытию: сначала выбираем угол, затем точно определяем стороны."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам два изображения прямоугольных треугольников с одинаковым острым углом A, но разными размерами: "Измерьте или прочитайте длины сторон и вычислите отношение противолежащего катета к гипотенузе. Получатся ли одинаковые числа? Объясните, почему это может быть так." | В парах вычисляют отношения, например \(3/5=0{,}6\) и \(6/10=0{,}6\), формулируют: «у подобных треугольников отношение соответствующих сторон одинаково». |
2 мин | Учитель фиксирует на доске ответы и задаёт Сократовский диалог: "Как назвать отношение, связанное с углом? Какие ещё два отношения можно составить из трёх сторон? Какую цель поставим на урок?" | Предлагают названия и формулируют цель: «узнать названия трёх отношений и научиться находить их по сторонам прямоугольного треугольника». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема определена: нужно связать выбранный острый угол с тремя отношениями сторон. Давайте построим эти определения сами, а затем проверим их на задачах."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и осознанно зафиксировать определения синуса, косинуса и тангенса острого угла.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель возвращается к чертежу ABC: "Рассмотрим угол A. Напротив него находится BC, рядом с ним — AC, а напротив прямого угла — AB. Отношение BC к AB назовём синусом угла A. Запишем: \(\sin A=\frac{BC}{AB}\). Почему в знаменателе стоит гипотенуза?" | Следят за чертежом, записывают формулу и отвечают: «гипотенуза является общей стороной сравнения для синуса острого угла». |
3 мин | Учитель продолжает: "Отношение прилежащего катета к гипотенузе назовём косинусом: \(\cos A=\frac{AC}{AB}\). Теперь запишите определение словами. Обратите внимание: в обоих отношениях знаменатель — гипотенуза." | Записывают определение косинуса, проговаривают: «косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе». |
2 мин | Учитель показывает третье отношение: "Наконец, отношение противолежащего катета к прилежащему называется тангенсом: \(\tg A=\frac{BC}{AC}\). Сравните синус и тангенс: какая сторона изменилась в знаменателе?" | Записывают формулу тангенса и отвечают: «у тангенса в знаменателе прилежащий катет, а не гипотенуза». |
2 мин | Учитель предлагает приём «Шпаргалка-напоминание»: "Составьте в паре короткую фразу, которая поможет не перепутать определения. Затем один ученик объясняет, а второй проверяет по чертежу." | Создают памятку: «синус — противолежащий к гипотенузе; косинус — прилежащий к гипотенузе; тангенс — противолежащий к прилежащему», по очереди объясняют партнёру. |
Запись в тетрадях
Для острого угла A прямоугольного треугольника ABC, где \(\angle C=90^\circ\): \(\sin A=\frac{BC}{AB}\), \(\cos A=\frac{AC}{AB}\), \(\tg A=\frac{BC}{AC}\). Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе; косинус — прилежащего катета к гипотенузе; тангенс — противолежащего катета к прилежащему.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели три определения и увидели, что выбор сторон зависит от выбранного угла. Теперь применим определения сначала вместе, проговаривая каждый шаг, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить применять определения функций по готовому чертежу и проговаривать алгоритм решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает треугольник ABC: \(\angle C=90^\circ\), \(AB=10\), \(AC=8\), \(BC=6\), и говорит: "Работаем по алгоритму. Первый шаг — называем выбранный угол, второй — определяем три стороны относительно него, третий — записываем нужное отношение. Найдите \(\sin A\), \(\cos A\) и \(\tg A\)." | Записывают: \(\sin A=BC/AB=6/10=0{,}6\), \(\cos A=AC/AB=8/10=0{,}8\), \(\tg A=BC/AC=6/8=0{,}75\). Проговаривают названия сторон. |
2 мин | Учитель меняет выбранный угол: "Теперь тот же треугольник рассмотрим относительно угла B. Не копируйте прежние дроби автоматически. Что стало противолежащим и прилежащим катетом?" | Отмечают: для угла B противолежащий катет AC, прилежащий BC; вычисляют \(\sin B=0{,}8\), \(\cos B=0{,}6\), \(\tg B=4/3\). |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по критериям: "Проверьте наличие трёх элементов: выбранный угол, правильные стороны, вычисленное отношение. Поставьте партнёру две звезды за верные шаги и одно пожелание, если сторона была определена неточно." | Сверяют решения, отмечают две сильные стороны и одну конкретную рекомендацию: «сначала обозначить гипотенузу», «не менять стороны местами». |
Эталон решения
Для угла A: гипотенуза \(AB=10\), противолежащий катет \(BC=6\), прилежащий катет \(AC=8\). Поэтому \(\sin A=\frac{6}{10}=0{,}6\), \(\cos A=\frac{8}{10}=0{,}8\), \(\tg A=\frac{6}{8}=0{,}75\). Для угла B стороны меняются ролями: \(\sin B=\frac{8}{10}=0{,}8\), \(\cos B=\frac{6}{10}=0{,}6\), \(\tg B=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились, что формула зависит от выбранного угла, а не только от названий сторон на рисунке. Теперь каждый проверит, умеет ли он самостоятельно пройти весь алгоритм без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание определений и обеспечить самокоррекцию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите карточку базового или повышенного уровня. Базовый уровень проверяет точность определения сторон, повышенный добавляет проверку результата. Работайте индивидуально, в тетради обязательно рисуйте или используйте готовый чертёж." | Выбирают карточку с учётом собственной готовности и записывают выбранный уровень. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый вариант: «В прямоугольном треугольнике \(ABC\), \(\angle C=90^\circ\), \(AC=12\), \(BC=5\), \(AB=13\). Найдите \(\sin A\), \(\cos A\), \(\tg A\)». Повышенный вариант: «Для того же треугольника найдите значения функций угла B и проверьте равенство \(\sin^2 A+\cos^2 A=1\)». | Решают индивидуально: для угла A получают \(\sin A=5/13\), \(\cos A=12/13\), \(\tg A=5/12\); для угла B — \(\sin B=12/13\), \(\cos B=5/13\), \(\tg B=12/5\). |
2 мин | Учитель выводит эталон: «Для угла A противолежащий катет BC, прилежащий AC, гипотенуза AB. Сверьте не только ответ, но и порядок выбора сторон». | Проверяют каждую строку, подчёркивают место ошибки, если перепутали катеты, и исправляют решение. |
2 мин | Учитель проводит самоконтроль «Светофор»: "Покажите цвет, который отражает ваше состояние: зелёный — могу решить сам, жёлтый — ошибаюсь в одном шаге, красный — нужна совместная помощь. Запишите рядом, какой именно шаг требует тренировки." | Поднимают карточку нужного цвета и фиксируют затруднение: «выбор прилежащего катета», «сокращение дроби», «запись тождества». |
Эталон решения
Для угла A: \(\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}\), \(\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{13}\), \(\tg A=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{12}\). Проверка: \(\sin^2 A+\cos^2 A=\left(\frac{5}{13}
ight)^2+\left(\frac{12}{13}
ight)^2=\frac{25+144}{169}=1\). Для угла B: \(\sin B=\frac{12}{13}\), \(\cos B=\frac{5}{13}\), \(\tg B=\frac{12}{5}\).
ight)^2+\left(\frac{12}{13}
ight)^2=\frac{25+144}{169}=1\). Для угла B: \(\sin B=\frac{12}{13}\), \(\cos B=\frac{5}{13}\), \(\tg B=\frac{12}{5}\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что важнее всего не механически запомнить дробь, а каждый раз определить стороны относительно конкретного угла. Осталось связать новые понятия с практической задачей и сформулировать личный результат урока."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: применить новые знания в контексте, оценить достижение цели и определить дальнейший шаг.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает практическую мини-задачу: "Лестница длиной 5 м образует с землёй угол, для которого синус равен 0,6. Если лестница опирается на вертикальную стену, какую высоту она достигает? Составьте отношение по смыслу синуса." | Строят мысленную модель, называют лестницу гипотенузой, высоту — противолежащим катетом, составляют \(0{,}6=h/5\) и получают \(h=3\) м. |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Ответьте письменно на три вопроса: что называют синусом; какую сторону нужно выбрать для косинуса; какой шаг алгоритма оказался самым трудным?" | Заполняют билет на выход, формулируют определения и указывают личное затруднение или уверенность. |
1 мин | Учитель подводит рефлексию: "Сверьте сегодняшнюю цель со своим результатом. Если вы умеете выбрать стороны относительно угла и записать три отношения, поставьте в листе самооценки отметку «могу». Если пока нужна тренировка, укажите конкретный вопрос." | Заполняют лист самооценки и сдают билет на выход. Записывают домашнее задание. |
Завершающее слово учителя: "Сегодня вы сами открыли способ описывать острый угол через отношения сторон прямоугольного треугольника. Главное правило — сначала выбрать угол, затем назвать гипотенузу, противолежащий и прилежащий катеты, и только после этого записывать формулу. Типичная ошибка — переносить отношение от одного угла к другому без нового анализа чертежа. На следующем уроке мы будем использовать тригонометрические отношения для нахождения неизвестных сторон и углов."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно определены стороны относительно выбранного угла, без ошибок записаны все три отношения, выполнены вычисления и проверка основного тождества в повышенном варианте.
- «4» — правильно решены задания на два определения из трёх, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, ход решения понятен.
- «3» — верно определена гипотенуза и записано хотя бы два отношения, но допущены ошибки в выборе одного катета или вычислениях, требующие коррекции.
- Ниже базового уровня — определения сторон и формул пока смешиваются; необходима дополнительная работа с чертежом и памяткой.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
«Что называют синусом, косинусом и тангенсом острого угла?» | Проверка осознания трёх предметных определений. |
«Как вы определяете, какой катет является прилежащим?» | Выявление понимания зависимости названия стороны от выбранного угла. |
«На каком шаге решения вы испытывали затруднение?» | Выявление точек затруднения в алгоритме. |
«Где в реальной ситуации можно применить сегодняшние отношения?» | Осознание практической ценности темы и развитие функциональной грамотности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы связали величину острого угла с отношениями сторон прямоугольного треугольника и вывели определения синуса, косинуса и тангенса. Помните: названия катетов определяются не самим треугольником, а выбранным углом. Проверяйте себя по чертежу и не подставляйте стороны в формулу механически. На следующем уроке мы научимся использовать эти отношения для нахождения неизвестных элементов треугольника."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на прямоугольные треугольники: в каждой определить относительно заданного острого угла гипотенузу, противолежащий и прилежащий катеты, затем найти синус, косинус и тангенс. | Закрепить алгоритм выбора сторон и запись трёх отношений; при проверке смотреть на обозначение угла и правильность знаменателей. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с заданными длинами двух или трёх сторон: вычислить значения функций для обоих острых углов и выполнить одну проверку равенством \(\sin^2 A+\cos^2 A=1\). | Развить перенос способа на новый чертёж и установить связь между функциями углов; проверить точность вычислений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о лестнице, рампе или крыше, в которой по длине наклонной стороны и одному тригонометрическому отношению находится высота или горизонтальное расстояние. | Применить знания в реальном контексте и объяснить смысл выбранного отношения сторон. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какая сторона всегда является гипотенузой? Как определить противолежащий катет? Чем отличается косинус от синуса? Какие стороны входят в тангенс? Почему при смене острого угла отношения сторон меняются?»
