Понятие площади многоугольника
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут объяснить, что называют площадью многоугольника, назвать и применить три основных свойства площади, а также определить площадь фигуры по клетчатому чертежу.
- Образовательная задача: раскрыть смысл площади как численной характеристики части плоскости и установить единицу её измерения.
- Образовательная задача: сформулировать свойства равных фигур, аддитивности площади и площади единичного квадрата.
- Развивающая задача: учиться анализировать геометрический рисунок, разбивать фигуру на части и обосновывать способ сравнения площадей.
- Воспитательная задача: развивать самостоятельность, уважение к обоснованным мнениям одноклассников и ответственность за проверку собственного решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к тому, как геометрия помогает измерять реальные поверхности.
- Осознают ценность точных измерений при планировании ремонта, изготовления деталей и распределения материалов.
- Проявляют готовность выслушивать иной способ рассуждения и корректно обсуждать его.
- Оценивают собственную готовность применять изученные свойства площади.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа на клетчатой бумаге и переводят её в числовые данные.
- Сравнивают способы нахождения площади и выбирают подходящий для конкретной фигуры.
- Формулируют вывод по наблюдениям и подтверждают его примером или рассуждением.
- Планируют последовательность действий, сверяют результат с условием и исправляют обнаруженную ошибку.
Предметные
- Объясняют, что площадь многоугольника — численная характеристика занимаемой им части плоскости.
- Знают, что равные многоугольники имеют равные площади, а площадь фигуры, составленной из непересекающихся частей, равна сумме площадей этих частей.
- Знают, что площадь единичного квадрата принимается за единицу площади.
- Определяют площадь простых многоугольников на клетчатой бумаге подсчётом клеток или разбиением на части.
- Используют единицы площади и корректно записывают ответ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель работы на уроке и соотносят её с практическим применением измерения площадей.
- Проявляют инициативу при выборе способа решения задания.
- Сохраняют уважительное отношение к одноклассникам во время обсуждения.
- Осмысляют значение точности и проверки геометрических результатов.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную цель из проблемного вопроса и намечают план её достижения.
- Следуют алгоритму подсчёта клеток или разбиения многоугольника на части.
- Проверяют решение обратным подсчётом или сравнением с рисунком.
- Находят и исправляют ошибки в выборе единицы измерения и подсчёте частей.
Познавательные УУД
- Анализируют геометрическую фигуру и выделяют её составные части.
- Сравнивают площади наложением, разбиением и подсчётом единичных квадратов.
- Моделируют площадь многоугольника на клетчатой бумаге.
- Обобщают наблюдения и формулируют свойства площади.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру ход рассуждения, используя термины «площадь», «единичный квадрат», «часть фигуры».
- Задают уточняющие вопросы к предложенному способу измерения.
- Распределяют действия в паре и согласуют общий вывод.
- Аргументированно представляют решение и корректно реагируют на замечания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображение двух многоугольников одинаковой формы и двух фигур, которые можно сравнить разбиением.
- Распечатать на каждого ученика лист с двумя заданиями на клетчатой сетке и коротким листом самооценки.
- Подготовить по одной карточке на пару с контуром составного многоугольника на квадратной сетке.
- Раздать каждой паре цветные карандаши или маркеры для выделения частей фигуры.
- Вывести на доску проблемный вопрос: «Как измерить площадь фигуры, если она не является прямоугольником?»
- Заранее начертить на доске единичный квадрат со стороной 1 см и оставить место для записи трёх свойств площади.
- Подготовить таймер для коротких парных заданий и зелёные, жёлтые и красные карточки для быстрой обратной связи.
- Оборудование: доска или проектор, экран с изображениями, линейки и тетради; специальных приборов и реактивов не требуется.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу через практическую задачу и обозначить вопрос, требующий нового способа рассуждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель показывает на экране контур комнаты и спрашивает: «Представьте, что нужно заказать покрытие для пола. Достаточно ли знать длину одной стены? Что ещё нужно выяснить, чтобы не купить лишний материал и не столкнуться с его нехваткой?» | Рассматривают изображение и предполагают: «Нужно знать размеры всей комнаты», «Нужно определить площадь пола». |
2 мин | Учитель обращается к классу: «Сегодня мы будем разбираться, что именно означает площадь и как её определять у многоугольника, если готовой формулы у нас пока нет. Запишите тему. В конце урока мы вернёмся к вопросу о покрытии и проверим, какие способы измерения уже можем обосновать». | Записывают тему «Понятие площади многоугольника», формулируют ожидание от урока: «Научимся сравнивать и измерять площади фигур». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Практическая задача показывает, что площади нужно не только видеть, но и измерять. Вспомним, какие геометрические сведения уже могут помочь нам сравнивать фигуры».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о равных фигурах, единичном отрезке и измерении величин, чтобы обнаружить ограниченность сравнения «на глаз».
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит рядом два многоугольника и спрашивает: «Какими способами можно понять, одинаковы ли фигуры? Что значит, что две геометрические фигуры равны?» Учитель просит назвать способ проверки, знакомый по геометрии. | Отвечают: «Можно совместить наложением», «Равные фигуры совпадают при наложении». |
2 мин | Учитель показывает два разных по форме многоугольника и предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Полминуты подумайте самостоятельно, затем минуту обсудите с соседом, какая фигура занимает больше места и насколько уверенно это можно утверждать». Учитель фиксирует на доске ответы и сомнения. | Сначала размышляют индивидуально, затем обсуждают в парах. Предлагают ответы: «На глаз первая больше», «Нужны одинаковые мерки», «Нужно разбить на одинаковые квадраты». |
2 мин | Учитель уточняет: «При измерении длины мы выбираем единицу длины и узнаём, сколько раз она укладывается. Можно ли похожим образом измерять часть плоскости? Какой простой фигурой удобно покрыть чертёж без промежутков?» | Предлагают использовать квадратную сетку и квадратные единицы; отмечают, что линейного отрезка недостаточно для измерения поверхности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы знаем, как сравнить равные фигуры, и предположили, что поверхность удобно покрывать квадратами. Теперь точно сформулируем, что именно сегодня нужно открыть».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать затруднение и совместно определить способ исследования понятия площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране два многоугольника разной формы без сетки и задаёт проблемный вопрос: «Как обосновать, что один из них занимает больше места, а не просто кажется больше? Что должно быть договорено, чтобы ответы разных людей можно было сравнить?» | Формулируют затруднение: «Нужна единая мера», «Надо договориться о единице площади», «Без измерений ответ субъективен». |
2 мин | Учитель просит сформулировать цель урока: «Какой результат позволит нам ответить на исходный вопрос? Выберите, что важнее всего выяснить: смысл площади, правила её измерения или способы решения задач». Учитель объединяет предложения в цель и записывает её на доске. | Предлагают цель: «Понять, что такое площадь и как её измерять». Записывают план: выбрать меру, установить свойства, применить их к фигуре. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы договорились исследовать площадь как измеряемую величину и выяснить правила, которым должно подчиняться измерение. Проверим наши предположения на квадратной сетке».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: на примерах установить смысл площади, единицу измерения и основные свойства площади многоугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает квадрат со стороной 1 см и сетку из таких квадратов: «Предлагаю принять площадь этого квадрата за одну квадратную единицу. Если фигура покрыта такими квадратами без наложений и промежутков, что нужно посчитать? Почему единица должна быть именно квадратной, а не линейной?» | Отвечают: «Нужно посчитать единичные квадраты», «Квадрат измеряет часть плоскости, а отрезок — длину». Записывают обозначение единицы: 1 квадратная единица. |
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с многоугольником на сетке и говорит: «Закрасьте внутренность фигуры, посчитайте целые клетки, а неполные объедините, если это возможно. Запишите не только число, но и способ подсчёта. Сравните результат с партнёром: совпало ли число и почему?» | На карточке считают клетки, объединяют подходящие половины, фиксируют способ и результат. Объясняют партнёру: «Площадь равна числу единичных квадратов, которые покрывают фигуру». |
3 мин | Учитель показывает многоугольник, разделённый отрезком на две непересекающиеся части: «Если фигуру разделить на две части, можно ли найти площадь всей фигуры через площади частей? Предложите правило и проверьте его на нашей карточке». Учитель записывает сформулированное свойство. | Формулируют: «Площадь целой фигуры равна сумме площадей частей». Проверяют разбиение на клетках и приводят пример. |
2 мин | Учитель вновь показывает две равные фигуры и спрашивает: «Если их можно совместить наложением, могут ли их площади различаться? Сформулируйте свойство одним предложением». Затем показывает на доске итоговую памятку: равные фигуры имеют равные площади; площадь составной фигуры равна сумме площадей непересекающихся частей; площадь единичного квадрата равна единице. | Формулируют свойство: «У равных фигур площади равны». Сверяют свои выводы с памяткой и задают уточняющие вопросы. |
Запись в тетрадях
- Площадь многоугольника — численная характеристика части плоскости, занимаемой многоугольником.
- Площадь единичного квадрата принимают за единицу площади.
- Равные многоугольники имеют равные площади.
- Площадь многоугольника, составленного из непересекающихся частей, равна сумме площадей этих частей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы установили смысл площади и сформулировали свойства, на которые можно опираться. Теперь применим их к новой фигуре и проговорим каждый шаг, чтобы увидеть, как работает разбиение».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение единичного квадрата и свойства аддитивности при определении площади по чертежу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует на доске Г-образный многоугольник на сетке: его можно разбить на прямоугольники из 6 и 4 единичных квадратов. Учитель говорит: «Посмотрите на рисунок. Найдите способ разбить фигуру без наложения частей и без пропусков. Сначала объясните соседу, затем один из вас представит общий ответ». | Обсуждают разбиение в парах, показывают линию раздела и предполагают: «Можно получить части площадью 6 и 4 единицы». |
3 мин | Учитель просит проговорить решение: «Назовите, какое свойство используете, и запишите вычисление. Почему нельзя просто посчитать внешний прямоугольник, не учитывая вырез?» Учитель фиксирует на доске $S=6+4=10$ квадратных единиц. | Записывают $S=6+4=10$ квадратных единиц, объясняют: «Сложили площади непересекающихся частей». |
2 мин | Учитель задаёт уточняющий вопрос: «Если провести другое разбиение, должен ли получиться тот же результат? Как проверить?» Учитель предлагает сверить число клеток двумя способами и обращает внимание на единицы измерения. | Проверяют подсчётом клеток или альтернативным разбиением; отвечают: «Результат не меняется, если части покрывают всю фигуру без наложений». |
Эталон решения
Разбить Г-образный многоугольник на два непересекающихся прямоугольника. Подсчитать единичные квадраты в первой части: 6, во второй: 4. По свойству аддитивности сложить площади: $S=6+4=10$ квадратных единиц. Указать квадратную единицу, так как измеряется площадь, а не длина.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили разбиение и обосновали сложение площадей. Теперь каждый самостоятельно выполнит задание и проверит, насколько уверенно выбирает единицу и объясняет способ».
Этап 6. Самостоятельная работа и самопроверка (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание определения площади и умение применять её свойства к клетчатому чертежу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки и поясняет критерии: «В первом задании объясните, какая мерка подходит для площади. Во втором определите площадь многоугольника на сетке и покажите разбиение. За ответ без объяснения балл будет неполным: нам важно не только число, но и основание». | Получают карточки, читают оба задания и готовят линейку или цветной карандаш. |
5 мин | Учитель предлагает выбор уровня: «Все выполняют обязательные два задания. Если закончите раньше, выберите дополнительное: найти второй способ подсчёта или придумать фигуру с той же площадью. Работайте самостоятельно; вопросы о формулировках можно задать, способ решения выбирайте сами». | Индивидуально объясняют выбор квадратной единицы, находят площадь изображённого многоугольника подсчётом или разбиением и при наличии времени выполняют выбранное дополнительное задание. |
2 мин | Учитель открывает на доске эталон: «Сверьте не только итог, но и ход рассуждений. Отметьте галочкой верный шаг, а место расхождения обведите. Поднимите карточку: зелёную — всё ясно, жёлтую — нужен вопрос, красную — пока трудно». | Сверяют решение с эталоном, отмечают ошибку или ставят отметку о совпадении; показывают карточку самооценки. |
Эталон решения
Ожидаемое обоснование: площадь измеряют квадратными единицами, поскольку единичный квадрат покрывает часть плоскости. Для клетчатого многоугольника нужно посчитать клетки либо разделить его на непересекающиеся простые части, найти число единичных квадратов в каждой и сложить результаты. Численный ответ записывается вместе с единицей площади.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что вы уже можете применять свойства и проверять себя по эталону. Вернёмся к практической ситуации и обсудим, какие сведения о площади особенно важны при выборе покрытия».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: соотнести достигнутые результаты с целью урока, выявить оставшиеся затруднения и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к изображению комнаты: «Теперь ответьте на наш исходный вопрос: почему для покупки покрытия нужно знать площадь, а не только длину одной стены? Как можно приблизительно измерить многоугольный участок, если его форма сложная?» | Отвечают: «Площадь показывает, сколько поверхности нужно покрыть», «Сложную фигуру можно разделить на простые части и сложить площади». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: «Запишите одно свойство площади, которое вы теперь можете объяснить, и один вопрос, который ещё остался. Затем отметьте в листе самооценки: могу определить площадь по сетке; могу объяснить разбиение; помню, почему ответ записывают в квадратных единицах». | Заполняют короткую запись и отмечают пункты самооценки; при желании задают вопрос классу или учителю. |
1 мин | Учитель разъясняет домашнее задание: «Выберите уровень по готовности. Базовый обязателен для всех; повышающий и дополнительный помогут потренировать выбор способа. Завтра мы будем опираться на понятие площади при изучении площадей конкретных фигур». | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы: «Что принимают за единицу площади? Как найти площадь фигуры, составленной из частей?» |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены оба обязательных задания на карточке, площадь определена с корректным обоснованием, единицы площади записаны правильно; дополнительное задание выполнено содержательно.
- «4» — верно выполнены оба задания, но в одном решении допущена неточность в объяснении, разбиении или записи единиц, исправленная при самопроверке.
- «3» — верно выполнено одно из двух обязательных заданий либо получен верный численный результат без достаточного обоснования; после подсказки ученик исправляет основную ошибку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют площадью многоугольника? | Проверка осознания нового понятия, а не механического запоминания слов. |
Какое свойство помогло вам найти площадь составной фигуры? | Выявление понимания аддитивности площади. |
Что оказалось труднее: выбрать меру, разбить фигуру или проверить подсчёт? | Определение конкретных затруднений для последующей коррекции. |
Где в жизни или будущей профессии может понадобиться измерять площадь? | Связь геометрического содержания с практическим применением и мотивацией. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы выяснили, что площадь — это численная характеристика части плоскости, и договорились измерять её квадратными единицами. Вы установили свойства, позволяющие сравнивать равные фигуры и находить площадь составного многоугольника по частям. Помните о типичной ошибке: число клеток без указания квадратной единицы — неполный ответ. Если способ подсчёта вызывает сомнение, проверьте, что фигура покрыта целиком и части не наложены друг на друга. На следующем уроке мы применим понятие площади к конкретным многоугольникам и выведем правила вычисления их площадей».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Сформулировать определение площади многоугольника и три свойства площади; решить 3 задания на определение площади многоугольников по клетчатому чертежу подсчётом клеток или разбиением. | Закрепляет понятие единицы площади и базовые способы подсчёта; при проверке смотреть на обоснование и запись квадратных единиц. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на составные многоугольники: в каждом показать разбиение на непересекающиеся части, вычислить площадь и проверить результат вторым способом хотя бы в одном задании. | Развивает применение свойства аддитивности и самоконтроль; при проверке оценивать полноту разбиения и совпадение способов. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать на клетчатой бумаге два многоугольника разной формы с одинаковой площадью, обозначить единичный квадрат и письменно объяснить, как доказать равенство их площадей. | Развивает создание геометрической модели и аргументацию; при проверке смотреть на точность чертежа и связность доказательства. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что принимают за единицу площади? Какое свойство позволяет сложить площади частей многоугольника? Почему результат измерения площади записывают в квадратных единицах?»
