Теорема Фалеса: пропорциональные отрезки, пересекаемые параллельными прямыми
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют теорему Фалеса, научатся распознавать конфигурацию с параллельными прямыми и применять теорему для нахождения неизвестного отрезка минимум в двух из трёх предложенных задач.
- Установить связь между параллельностью прямых и пропорциональностью отрезков, образованных на двух секущих.
- Организовать самостоятельное открытие формулировки теоремы через измерение, сравнение отношений и обсуждение гипотез.
- Научить записывать пропорции по рисунку и проверять правдоподобие полученного ответа.
- Развивать аргументацию, аккуратность геометрических построений и готовность использовать математические модели в практических ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к способам измерения и построения объектов, используемых в архитектуре, картографии и инженерии.
- Осознают ценность точности, доказательности и проверки результата.
- Принимают возможность выбора уровня задания и оценивают собственный вклад в открытие нового знания.
- Уважительно относятся к различным способам рассуждения одноклассников.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа, выделяют известные и неизвестные величины.
- Сравнивают отношения отрезков, формулируют гипотезу и проверяют её на новом примере.
- Планируют решение задачи, выбирают нужную пропорцию и выполняют самопроверку.
- Участвуют в диалоге, аргументируют выбор соответствующих отрезков и корректируют рассуждение после обсуждения.
Предметные
- Знать формулировку теоремы Фалеса и условия её применения.
- Уметь распознавать на чертеже параллельные прямые, пересекающие стороны угла.
- Уметь составлять пропорции между соответствующими отрезками и находить неизвестную величину.
- Владеть алгоритмом применения теоремы Фалеса и проверять ответ по смыслу задачи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучаемого свойства как способа находить недоступные длины без непосредственного измерения.
- Проявляют самостоятельность при выборе задания и способа проверки.
- Формируют ответственное отношение к записи чертежа и математического доказательства.
- Оценивают собственное продвижение от предположения к обоснованному выводу.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную цель на основе возникшего затруднения.
- Планируют последовательность: рассмотреть чертёж, установить параллельность, сопоставить отрезки, составить пропорцию.
- Контролируют соответствие пропорции рисунку и единицам измерения.
- Находят ошибку в решении и вносят коррективы.
Познавательные УУД
- Моделируют геометрическую ситуацию на чертеже.
- Сравнивают отношения соответствующих отрезков и выявляют закономерность.
- Преобразуют текстовую информацию в математическую запись.
- Используют анализ, применение и оценку результата при решении задач.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и гипотезу в паре.
- Объясняют, почему выбранные отрезки являются соответствующими.
- Слушают аргументы партнёра и уточняют условия теоремы.
- Представляют решение классу и корректно оценивают его.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображение двух секущих, пересечённых тремя параллельными прямыми, с обозначениями точек A, B, C и A₁, B₁, C₁.
- Распечатать карточки с чертежами и измерениями: по одной на каждого ученика, всего 25 комплектов.
- Подготовить карточки трёх уровней для самостоятельной работы: по одной на каждого ученика и 5 запасных комплектов.
- Подготовить линейки, карандаши и цветные маркеры для каждой пары.
- Вывести на доску проблемный вопрос: «Можно ли найти недоступный отрезок, если известны другие отрезки и параллельность прямых?»
- Заранее записать на доске обозначения отношений: $\frac{AB}{BC}$ и $\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$.
- Подготовить слайд или плакат с алгоритмом самопроверки: найти параллельные прямые; определить соответствующие отрезки; составить пропорцию; вычислить; проверить ответ.
- Подготовить стикеры трёх цветов для рефлексии и таймер на 3 минуты для парной работы.
- Организовать рассадку по парам, обеспечить каждому ученику тетрадь, линейку и ручку.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать познавательное затруднение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобятся тетрадь, линейка и готовность рассуждать, а не только запоминать. Проверьте, что всё необходимое лежит на парте. На уроке вы сможете выбрать базовое или повышенное задание, но каждый должен объяснить ход решения." | Проверяют принадлежности, записывают дату и готовятся к работе. |
2 мин | Учитель показывает изображение двух расходящихся лучей, пересечённых параллельными прямыми: "Представьте, что перед нами часть карты или чертёж конструкции. Некоторые отрезки можно измерить, а один участок закрыт. Как узнать его длину, не измеряя непосредственно? Запишите первое предположение и обсудите его с соседом." | Индивидуально записывают предположение, затем обсуждают его в парах и предлагают варианты: «использовать масштаб», «составить пропорцию», «сравнить похожие части рисунка». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели практическую задачу: длину не всегда удобно измерять напрямую. Сейчас проверим, возникает ли на таком чертеже закономерность, которая позволит заменить измерение вычислением."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать признаки параллельности, отношения и пропорции, необходимые для открытия теоремы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает чертёж угла с двумя параллельными сечениями: "Назовите элементы рисунка. Какие прямые пересекают стороны угла? Какие прямые параллельны? Что означает запись $l_1 \parallel l_2$?" | Показывают вершину угла, секущие и параллельные прямые; отвечают: «Прямые не пересекаются», «Секущие пересекают несколько прямых». |
3 мин | Учитель записывает на доске: $\frac{6}{3}=\frac{10}{5}$ и спрашивает: "Что называют отношением двух отрезков? Как проверить равенство отношений? Составьте пропорцию и найдите $x$, если $\frac{4}{6}=\frac{x}{9}$. Объясните, почему выбран именно такой порядок чисел." | Отвечают: «Отношение — частное длин отрезков»; находят $x=6$; объясняют, что крайние и средние члены пропорции связаны равенством произведений. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как читать чертёж и работать с пропорцией. Теперь проверим, может ли геометрическое расположение параллельных прямых гарантировать равенство отношений отрезков."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока и совместно определить способ её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку с чертежом: две стороны угла пересечены тремя параллельными прямыми. На первой стороне указаны отрезки $AB=3$ см и $BC=2$ см, на второй — $A_1B_1=6$ см и $B_1C_1=4$ см. Учитель спрашивает: "Сравните отношения $AB:BC$ и $A_1B_1:B_1C_1$. Что замечаете? Можно ли считать это случайностью?" | Измеряют или используют данные карточки, вычисляют отношения $\frac{3}{2}$ и $\frac{6}{4}$, замечают, что они не равны, и обсуждают возможную ошибку в сопоставлении отрезков. |
2 мин | Учитель корректирует чертёж и поясняет: "Сейчас важно не подбирать числа вслепую, а установить, какие отрезки соответствуют друг другу. Сформулируйте цель: что нам нужно выяснить, чтобы решать подобные задачи?" | Формулируют цель: «Выяснить правило соответствия отрезков и научиться составлять правильную пропорцию при параллельных прямых». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно понять не только, что отношения связаны, но и какие именно отрезки следует сравнивать. Перейдём к измерению и самостоятельному поиску закономерности."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: через исследование сформулировать теорему Фалеса и условия её применения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт исследовательские карточки: "Выполните измерения на чертеже. На двух сторонах угла отмечены точки A, B, C и A₁, B₁, C₁; прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ параллельны. Измерьте $AB$, $BC$, $A_1B_1$, $B_1C_1$. Запишите два отношения и сравните их. Работайте в паре: один измеряет, другой записывает, затем поменяйтесь ролями." | Измеряют отрезки линейкой, записывают результаты в таблицу, вычисляют $\frac{AB}{BC}$ и $\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$, формулируют наблюдение: «Отношения соответствующих отрезков примерно равны». |
3 мин | Учитель проводит обсуждение: "Что изменится, если угол сделать более широким, но оставить прямые параллельными? А если увеличить расстояние между параллельными прямыми? Какие величины сохраняются?" Учитель фиксирует гипотезы на доске и обращает внимание на соответствие отрезков. | Предсказывают результат, сравнивают с соседней карточкой, объясняют: «Размеры могут измениться, но отношение соответствующих отрезков сохраняется». |
3 мин | Учитель формулирует и записывает на доске: "Теорема Фалеса: если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне. В более общем виде соответствующие отрезки на сторонах угла пропорциональны." Учитель показывает запись $\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$ и спрашивает: "Какие условия теоремы нужно проверить перед применением?" | Записывают формулировку и формулу в тетрадь, называют условия: «Есть стороны одного угла, прямые параллельны, отрезки соответствуют друг другу». |
Запись в тетрадях
Теорема Фалеса: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки. Для соответствующих отрезков: $\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$. Если на одной стороне отсекаются равные отрезки, то на другой стороне также отсекаются равные отрезки.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не получили правило готовым: измерили, сравнили и сформулировали закономерность. Теперь проверим её на конкретной задаче и научимся не ошибаться в выборе соответствующих отрезков."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм составления пропорции с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает задачу: "Две стороны угла пересечены параллельными прямыми. На одной стороне $AB=4$ см, $BC=6$ см, а на другой стороне $A_1B_1=10$ см. Найдите $B_1C_1$." Учитель ведёт решение вопросами: "Какие отрезки соответствуют друг другу? Какую пропорцию составим? Почему неизвестный отрезок стоит именно на этом месте?" | Называют соответствующие пары, записывают $\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$, подставляют данные и находят неизвестную величину. |
3 мин | Учитель предлагает взаимопроверку по алгоритму: "Обменяйтесь тетрадями. Проверьте наличие чертежа, правильность соответствия, вычисление и единицу измерения. Если нашли ошибку, не зачёркивайте решение полностью, а укажите место, где нарушен алгоритм." | Проверяют решение партнёра, отмечают сильную сторону и формулируют одно пожелание по шаблону «Две звезды и пожелание». |
Эталон решения
По теореме Фалеса соответствующие отрезки пропорциональны: $\frac{4}{6}=\frac{10}{x}$. Перемножаем крест-накрест: $4x=60$. Отсюда $x=15$ см. Проверка: $\frac{4}{6}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$; пропорция верна.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Главная опасность — перепутать соответствующие отрезки. Мы проверяли не только ответ, но и саму структуру пропорции. Теперь каждый самостоятельно применит теорему в новой ситуации."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание теоремы и обеспечить дифференциацию заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выберите карточку базового или повышенного уровня. Базовый вариант обязателен для всех; повышенный можно выбрать, если вы уверенно составляете пропорции. Работайте индивидуально, чертёж и запись условий обязательны." | Выбирают вариант, подписывают карточку и знакомятся с критериями. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: "На сторонах угла параллельные прямые отсекают отрезки $AB=5$ см, $BC=7$ см и $A_1B_1=10$ см. Найдите $B_1C_1$." Повышенный: "На сторонах угла соответствующие отрезки равны $AB=6$ см, $BC=9$ см, $A_1B_1=x+2$ см, $B_1C_1=2x+1$ см. Найдите $x$." | Решают выбранную задачу, составляют пропорцию, выполняют вычисления и записывают ответ с единицей измерения. |
3 мин | Учитель выводит эталон: для базового варианта $\frac{5}{7}=\frac{10}{x}$, поэтому $5x=70$, $x=14$ см. Для повышенного варианта $\frac{6}{9}=\frac{x+2}{2x+1}$; после преобразования $2(2x+1)=3(x+2)$, откуда $x=4$. Учитель просит отметить результат цветом: зелёный — всё совпало, жёлтый — есть вопрос, красный — нужна помощь. | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, ставят цвет самооценки и формулируют, на каком шаге возникло затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили, умеете ли самостоятельно переходить от чертежа к пропорции. Если ошибка возникла в вычислении, это одна работа; если в выборе соответствующих отрезков — вернитесь к условию теоремы. Завершим урок обобщением и рефлексией."
Этап 7. Рефлексия и подведение итогов (7 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, выявить затруднения и зафиксировать домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Можно ли найти недоступный отрезок без непосредственного измерения? Назовите полную последовательность действий. Какие условия обязательны?" | Отвечают: «Да, если параллельные прямые пересекают стороны угла; нужно определить соответствующие отрезки, составить пропорцию, вычислить и проверить ответ». |
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутная запись»: "Запишите два предложения: первое — что сегодня стало понятным; второе — какой вопрос или ошибка требуют повторения." | Пишут краткую рефлексию, указывают освоенный шаг и личное затруднение. |
2 мин | Учитель раздаёт стикеры и говорит: "На зелёном стикере запишите правило, которое готовы объяснить однокласснику; на жёлтом — шаг, который получается с подсказкой; на красном — вопрос, с которым нужна помощь. Прикрепите стикер к соответствующей части доски." | Выбирают стикер, записывают конкретную формулировку и прикрепляют её на доску. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли связь между параллельностью и пропорциональностью, научились читать конфигурацию и находить неизвестный отрезок. На следующем уроке мы продолжим применять эту идею в более сложных чертежах и задачах на деление отрезка в заданном отношении."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнено выбранное задание, построен или использован корректный чертёж, правильно определены соответствующие отрезки, составлена пропорция, вычислен ответ и выполнена проверка.
- «4» — задача решена по существу верно, но допущена одна неточность в оформлении чертежа, записи единиц измерения или проверке.
- «3» — правильно указано условие применения теоремы и начата пропорция, но допущена вычислительная ошибка либо неверно завершено преобразование.
- Ниже базового уровня — соответствующие отрезки не определены или пропорция составлена без учёта параллельности; требуется повторная работа по алгоритму.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как сформулировать теорему Фалеса своими словами? | Проверка осознания нового правила, а не механического запоминания. |
Как определить, какие отрезки являются соответствующими? | Выявление понимания структуры чертежа и причины выбора пропорции. |
На каком шаге решения задачи вы испытывали затруднение? | Выявление точек затруднения: чтение чертежа, составление пропорции или вычисления. |
Что вы сможете объяснить однокласснику после сегодняшнего урока? | Оценка субъективной уверенности и степени самостоятельности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что параллельные прямые создают на сторонах угла пропорциональные отрезки, и сформулировали теорему Фалеса. Самая распространённая ошибка — записать пропорцию, не проверив соответствие отрезков на чертеже. Поэтому каждый раз начинайте решение с анализа рисунка, а не с вычислений. На следующем уроке мы будем использовать это свойство в задачах на деление отрезка и построение фигур."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на применение теоремы Фалеса: в двух задачах найти неизвестный отрезок по пропорции, в третьей определить, являются ли две пары отрезков соответствующими. В каждой задаче выполнить чертёж или дополнить предложенный. | Закрепляет формулировку теоремы, чтение чертежа и составление пропорции; при проверке обратить внимание на соответствие отрезков и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи с буквенными выражениями, где длины соответствующих отрезков заданы формулами, например $x+3$ и $2x-1$, и составить пропорцию по условию параллельности. | Развивает применение теоремы в преобразованиях; при проверке оценить последовательность записи и допустимость найденного значения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу о недоступном расстоянии на плане, схеме дороги или конструкции, использовать теорему Фалеса для решения и кратко объяснить, почему отрезки являются соответствующими. | Формирует функциональную грамотность и умение создавать математическую модель; при проверке смотреть на корректность ситуации, чертежа, пропорции и объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие прямые должны быть параллельными?», «Какие отрезки называют соответствующими?», «Какую пропорцию составляют по теореме Фалеса?», «Что нужно проверить после вычисления неизвестного отрезка?»
