Квадратный корень: определение и основные свойства
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить арифметический квадратный корень из квадратов натуральных чисел, распознавать случаи существования квадратного корня и применять определение при решении не менее трёх учебных задач.
- Сформировать представление об арифметическом квадратном корне как неотрицательном числе, квадрат которого равен подкоренному выражению.
- Научиться вычислять корни из чисел, являющихся точными квадратами, и проверять результат возведением в квадрат.
- Развивать умение анализировать условие задачи, выбирать способ решения и аргументировать математический вывод в паре и при фронтальном обсуждении.
- Воспитывать ответственность за точность вычислений, готовность проверять собственный результат и уважительно обсуждать разные способы решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к связи геометрии и алгебры через задачу о нахождении стороны квадрата по его площади.
- Осознают ценность точности вычислений и проверки результата в практической деятельности.
- Принимают право одноклассника на иной способ рассуждения и аргументированно оценивают предложенное решение.
- Осуществляют самооценку понимания нового понятия и определяют личную учебную задачу на следующий урок.
Метапредметные
- Извлекают информацию из условия задачи, таблицы квадратов и математической записи.
- Устанавливают причинно-следственную связь между площадью квадрата и длиной его стороны.
- Планируют последовательность действий: определить вид числа, найти корень, выполнить проверку.
- Работают в паре, формулируют вопрос, слушают аргументы партнёра и представляют общий вывод.
- Используют формирующее оценивание: сопоставляют решение с эталоном и исправляют ошибку.
Предметные
- Знать определение арифметического квадратного корня из неотрицательного числа.
- Понимать, что $\text{√}a$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $a$, при $a\geq0$.
- Уметь находить $\text{√}a$ для чисел, являющихся точными квадратами натуральных чисел.
- Уметь объяснять, почему выражение $\text{√}a$ имеет смысл только при $a\geq0$ в области действительных чисел.
- Уметь проверять найденное значение подстановкой и возведением в квадрат.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения квадратного корня через практическую задачу о размере фигуры.
- Проявляют самостоятельность при выборе базового или повышенного задания.
- Осознают необходимость аккуратной записи математических рассуждений.
- Оценивают собственную готовность применять новое понятие.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока после выявления затруднения.
- Планируют алгоритм нахождения и проверки квадратного корня.
- Сверяют результат с эталоном и находят место ошибки.
- Корректируют решение после обсуждения с партнёром.
- Фиксируют результат самооценки на листе выхода.
Познавательные УУД
- Сравнивают квадраты последовательных натуральных чисел и делают вывод о возможности нахождения корня.
- Моделируют условие задачи с помощью квадрата и его площади.
- Выделяют существенные признаки арифметического квадратного корня.
- Классифицируют числа на точные квадраты и числа, не являющиеся точными квадратами.
- Используют таблицу квадратов и математическую запись как источники информации.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре по алгоритму «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Формулируют полный ответ с использованием математических терминов.
- Задают уточняющие вопросы о знаке и области допустимых значений.
- Аргументированно принимают или опровергают решение одноклассника.
- Согласуют общий вывод группы и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с изображением квадрата площадью 49 квадратных единиц и вопросом о длине его стороны.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые корни из точных квадратов, задания на проверку и повышенная задача с геометрическим контекстом — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить таблицу квадратов чисел от 1 до 12 для работы в парах — по одной на парту.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Вывести на доску или слайд памятку: «$\text{√}a=b$, если $b\geq0$ и $b^2=a$».
- Подготовить маркеры двух цветов, стикеры и магнитные карточки с числами $0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100$.
- Обеспечить оборудование: компьютер, проектор или интерактивная доска, доска и таймер.
- Разместить на доске план урока: проблема, определение, алгоритм, тренировка, самопроверка, рефлексия.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, связанную с нахождением стороны квадрата по его площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране квадрат с площадью $49\text{ см}^2$. «Здравствуйте, ребята. Сегодня начнём с задачи, которая встречается в строительстве, дизайне и инженерных расчётах. Перед вами квадратная плитка площадью $49\text{ см}^2$. Как определить длину её стороны, не измеряя плитку линейкой?» | Рассматривают рисунок, записывают данные, предполагают: «Нужно найти такое число, которое при умножении самого на себя даст 49». |
2 мин | Учитель применяет приём «Проблемный вопрос»: «Как назвать действие, обратное возведению в квадрат? Что делать, если число под знаком нового действия не является очевидным квадратом? Сегодня мы разберёмся, как записывать и обосновывать такой поиск». | Обсуждают вопрос 30 секунд индивидуально и 1 минуту в парах, предлагают ответы: «Нужно извлечь квадратный корень», «Надо найти число, квадрат которого равен 49». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели практическую задачу: по площади нужно восстановить сторону квадрата. Чтобы решать такие задачи точно и одинаково, нам понадобится новое понятие — квадратный корень. Сначала вспомним, что уже умеем делать с квадратами чисел».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о возведении чисел в квадрат и выявить готовность использовать таблицу квадратов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает карточки с числами 2, 3, 5, 7, 10 и задаёт вопросы: «Вычислите квадраты этих чисел. Что означает запись $7^2$? Почему результат возведения в квадрат не может быть отрицательным?» | Устно вычисляют: $2^2=4$, $3^2=9$, $5^2=25$, $7^2=49$, $10^2=100$; формулируют: «$7^2$ означает произведение 7 на 7», «Квадрат числа неотрицателен». |
3 мин | Учитель организует приём «Математическое лото»: на доске размещены числа 16, 36, 64, 81 и карточки 4, 6, 8, 9. «Соедините каждое число с его квадратом и объясните выбор. Не просто называйте ответ, а проговорите проверку». | В парах соединяют $4$ и $16$, $6$ и $36$, $8$ и $64$, $9$ и $81$; проговаривают: «$8^2=64$, поэтому 64 связано с 8». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем находить квадрат числа и замечаем обратную связь: если известен результат, можно искать число, которое было возведено в квадрат. Теперь точно определим это обратное действие и выясним, какое из двух возможных чисел выбирается».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение со знаком результата и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $x^2=25$. «Какие значения может иметь $x$? Назовите все варианты». Затем спрашивает: «Если $x=5$ и $x=-5$, оба квадрата равны 25. Какое число будем считать квадратным корнем из 25 в школьной математике?» | Предлагают $x=5$ и $x=-5$, объясняют: «Оба числа подходят для уравнения». После обсуждения формулируют: «Нужно выбрать неотрицательное число, то есть 5». |
2 мин | Учитель фиксирует на доске цель: «Научиться находить арифметический квадратный корень и обосновывать ответ». «Сформулируйте план: какие действия нужно выполнить, чтобы не ошибиться?» | Предлагают план: «Понять, есть ли корень; найти неотрицательное число; проверить его квадратом». Записывают цель и план в тетради. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы обнаружили важное затруднение: квадрат имеют и положительное, и отрицательное число, но квадратный корень по определению будет неотрицательным. Переходим к точной формулировке и записи нового понятия».
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: сформировать определение арифметического квадратного корня и вывести алгоритм его нахождения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: «Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется неотрицательное число, квадрат которого равен $a$». «Посмотрите на запись $\text{√}a=b$. Какие два условия должны выполняться для числа $b$?» | Читают определение, выделяют условия: «$b\geq0$» и «$b^2=a$». Записывают определение и условие существования корня в тетради. |
3 мин | Учитель разбирает пример: «Найдём $\text{√}49$. Ищем неотрицательное число, квадрат которого равен 49. Это 7, потому что $7^2=49$. Следовательно, $\text{√}49=7$. Обратите внимание: ответ не равен $-7$, хотя $(-7)^2=49$, потому что арифметический корень неотрицателен». | Записывают решение по образцу, проговаривают: «$\text{√}49=7$, так как $7\geq0$ и $7^2=49$». |
3 мин | Учитель показывает пары выражений: $\text{√}0$, $\text{√}1$, $\text{√}100$, $\text{√}(-9)$. «Определите, какие корни существуют в действительных числах, и обоснуйте». | Работают в парах с таблицей квадратов: $\text{√}0=0$, $\text{√}1=1$, $\text{√}100=10$; выражение $\text{√}(-9)$ не имеет значения среди действительных чисел, поскольку квадрат числа не бывает отрицательным. |
Запись в тетрадях
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа $a$ — это неотрицательное число $b$, такое что $b^2=a$. Обозначение: $\text{√}a=b$. Алгоритм: 1) проверить, что подкоренное число неотрицательно; 2) найти неотрицательное число с нужным квадратом; 3) выполнить проверку возведением в квадрат.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Новое понятие связано с двумя обязательными признаками: подкоренное число неотрицательно, а сам корень — число неотрицательное, квадрат которого даёт исходное число. Теперь проверим алгоритм на коротких заданиях с проговариванием каждого шага».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить определение и алгоритм нахождения корня через совместное решение заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку с выражениями $\text{√}4$, $\text{√}9$, $\text{√}25$, $\text{√}64$. «Сначала решите индивидуально, затем сравните с соседом. В каждом пункте назовите проверку». | Находят значения: $2$, $3$, $5$, $8$; в парах проверяют: $2^2=4$, $3^2=9$, $5^2=25$, $8^2=64$. |
2 мин | Учитель предлагает задание «Верно — неверно»: «Определите, верны ли утверждения: $\text{√}36=-6$; $\text{√}81=9$; $\text{√}0=0$; $\text{√}(-16)=4$. Обязательно объясните ошибку в неверных утверждениях». | Поднимают зелёную или красную карточку, исправляют: $\text{√}36=6$, $\text{√}81=9$, $\text{√}0=0$; $\text{√}(-16)$ не существует в действительных числах. |
2 мин | Учитель вызывает ученика к доске: «Решите задачу. Площадь квадратной клумбы равна $64\text{ м}^2$. Найдите длину её стороны и объясните, почему выбираете именно этот ответ». | Записывают $a=\u0000\text{√}64=8\text{ м}$, проверяют $8^2=64$, формулируют: «Длина стороны не может быть отрицательной». |
Эталон решения
Площадь квадрата $S=64\text{ м}^2$. Для стороны $a$ выполняется $a^2=S$, поэтому $a=\u0000\text{√}64$. Так как $8^2=64$ и $8\geq0$, получаем $a=8\text{ м}$. Ответ: $8\text{ м}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы применили определение и увидели, что проверка квадратом сразу показывает правильность ответа. Теперь каждый самостоятельно выполнит задания, а затем сверит решение с эталоном».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание определения, знака корня и алгоритма решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор уровня: «Выберите базовую карточку, если хотите закрепить алгоритм, или повышенную — если готовы объяснять несколько шагов. Выбор уровня не определяет вашу оценку: важно выполнить работу честно и внимательно». | Выбирают карточку, записывают фамилию и выбранный уровень. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый вариант: найти $\text{√}16$, $\text{√}49$, $\text{√}121$ и проверить ответы. Повышенный вариант: сравнить $\text{√}36$ и $\text{√}49$, решить задачу о квадратной рамке площадью $100\text{ см}^2$ и объяснить, почему $\text{√}(-25)$ не существует в действительных числах. «Работайте молча, рядом с каждым ответом пишите проверку». | Индивидуально решают выбранные задания, записывают проверки и пояснения. |
2 мин | Учитель открывает на доске эталон: $\text{√}16=4$, $\text{√}49=7$, $\text{√}121=11$; для повышенного уровня — $6<7$, сторона рамки $10\text{ см}$, $\text{√}(-25)$ не существует. «Сверьте решение, отметьте зелёным верные ответы, жёлтым — место, которое нужно исправить». | Сверяют каждую строку с эталоном, исправляют ошибки, ставят условный знак напротив задания, вызвавшего затруднение. |
2 мин | Учитель проводит короткую взаимопроверку: «Обсудите с соседом только один спорный пункт. Объясните не ответ, а основание: какое условие определения использовали?» | В парах объясняют спорный пункт, формулируют: «Проверка нужна, чтобы убедиться, что квадрат найденного неотрицательного числа равен подкоренному выражению». |
Эталон решения
Для выражения $\text{√}a$ сначала проверяем $a\geq0$. Затем подбираем неотрицательное число $b$, для которого $b^2=a$. Например, $\text{√}121=11$, потому что $11\geq0$ и $11^2=121$. Для $\text{√}(-25)$ условие $a\geq0$ нарушено, поэтому в действительных числах выражение не имеет значения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Особенно важно не забывать о двух проверках: подкоренное число должно быть неотрицательным, а ответ — неотрицательным числом с нужным квадратом. Завершим урок осмыслением результата и коротким билетом на выход».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенные действия, выявить оставшиеся затруднения и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт билет на выход: «Ответьте письменно на три вопроса: что такое арифметический квадратный корень; чему равен $\text{√}81$ и как это проверить; существует ли $\text{√}(-4)$ в действительных числах?». | Письменно отвечают: «Это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу»; «$\text{√}81=9$, потому что $9^2=81$»; «Не существует, так как подкоренное число отрицательно». |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Покажите зелёный стикер, если можете самостоятельно найти корень из точного квадрата; жёлтый — если нужна ещё одна тренировка; красный — если пока трудно объяснить определение». | Выбирают цвет стикера и прикрепляют его к доске рядом с формулировкой цели урока; при необходимости дописывают вопрос, который остался. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание и критерии: «Выберите уровень с учётом сегодняшней самостоятельной работы. Перед сдачей проверьте каждый корень возведением ответа в квадрат и подчеркните места, где использовали условие неотрицательности». | Записывают выбранный уровень, задают уточняющие вопросы, формулируют личный шаг: «Дома я потренируюсь проверять корни» или «Повторю, почему отрицательное подкоренное число не рассматривается». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы связали площадь квадрата с длиной его стороны и открыли арифметический квадратный корень. На следующем уроке продолжим вычисления и рассмотрим свойства корней. Сохраните билет на выход: он поможет начать следующий урок с повторения именно тех вопросов, которые требуют внимания».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, в каждом случае соблюдено условие неотрицательности, проверки записаны корректно, решение геометрической задачи обосновано.
- «4» — допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но определение квадратного корня и общий алгоритм применены правильно.
- «3» — верно выполнена базовая часть не менее чем наполовину, однако есть затруднения в выборе знака корня или в объяснении случая отрицательного подкоренного числа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое арифметический квадратный корень и какие два условия определяют число под знаком корня? | Проверка осознания определения и существенных признаков понятия. |
Как вы проверяете равенство $\text{√}a=b$? | Выявление понимания алгоритма и необходимости возведения результата в квадрат. |
Почему выражение $\text{√}(-9)$ не имеет значения в действительных числах? | Проверка понимания области существования квадратного корня. |
Какое задание оказалось самым трудным и какую помощь вы выбрали бы на следующем уроке? | Выявление субъективных точек затруднения и планирование дифференцированной поддержки. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы установили, что арифметический квадратный корень — это не просто обратное действие к возведению в квадрат, а неотрицательное число с точно определённым свойством. Типичная ошибка — записать отрицательный корень или забыть проверить, допустимо ли подкоренное число. Используйте проверку возведением в квадрат после каждого вычисления. На следующем уроке мы продолжим работу с корнями и научимся применять их свойства в более сложных выражениях».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий на нахождение арифметического квадратного корня из точных квадратов чисел от 0 до 15; для каждого ответа записать проверку возведением в квадрат. | Закрепляет определение и алгоритм; при проверке обратить внимание на неотрицательный знак ответа и наличие проверки. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания: определить, существуют ли заданные квадратные корни в действительных числах, найти значения существующих корней и решить 1 задачу о стороне квадрата по известной площади. | Формирует умение анализировать область существования корня и применять понятие в геометрическом контексте. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 3 собственных задания: одно на точный квадрат, одно на невозможность корня из отрицательного числа и одно практическое задание о площади квадрата; к каждому написать краткое обоснование. | Развивает создание математической модели, аргументацию и самостоятельное применение нового понятия. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое число называют арифметическим квадратным корнем? Каким должен быть знак результата? При каком условии выражение под знаком корня имеет смысл в действительных числах? Как проверить найденный корень?»
