Площадь параллелограмма, трапеции и треугольника
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся выведут и применят формулы площадей параллелограмма, треугольника и трапеции, решив не менее трёх из четырёх практических задач с объяснением выбора формулы.
- Сформировать представление о способах вывода формул площадей через разбиение фигур, достраивание и использование площади прямоугольника.
- Научить применять формулы $S=ah$, $S=\frac{1}{2}ah$ и $S=\frac{a+b}{2}h$ при решении задач и правильно выбирать основание и соответствующую ему высоту.
- Развивать умение анализировать чертёж, выделять известные величины, планировать решение и проверять единицы измерения.
- Создавать доступные условия для включения детей с ОВЗ: использовать крупные схемы, пошаговые инструкции, визуальные опоры, дополнительное время и право выбора формы ответа.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую значимость вычисления площадей при проектировании, ремонте, строительстве и планировании материалов.
- Проявляют готовность спокойно воспринимать ошибку как этап поиска способа решения.
- Развивают уверенность в своих силах через выбор уровня задания и фиксацию индивидуального продвижения.
- Проявляют уважение к разным способам рассуждения одноклассников и готовы принимать помощь.
Метапредметные
- Выделяют из условия задачи основание, высоту и дополнительные данные, представляют информацию в виде краткой записи и схемы.
- Планируют последовательность решения, сопоставляют результат с условием и оценивают правдоподобие ответа.
- Формулируют гипотезу о связи площадей фигур, аргументируют её в паре и участвуют в обсуждении.
- Используют визуальную модель, карточку-алгоритм и цифровую демонстрацию для получения и проверки вывода.
Предметные
- Знать формулы площади параллелограмма, треугольника и трапеции, а также смысл букв в формулах.
- Уметь находить площадь фигуры по основанию и высоте, выраженным в согласованных единицах.
- Уметь находить площадь трапеции по длинам оснований и высоте.
- Уметь распознавать соответствующую основанию высоту на чертеже и применять формулы в практических задачах.
- Уметь объяснять происхождение формул через разбиение или достраивание фигур.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться выбирать формулу и объяснять ход решения.
- Осознают ценность точности, аккуратности чертежа и проверки результата.
- Принимают возможность выполнить обязательное или повышенное задание с учётом собственных возможностей.
Регулятивные УУД
- Совместно с учителем формулируют цель урока и план открытия формул.
- Используют алгоритм: прочитать условие, сделать чертёж, назвать фигуру, выбрать формулу, подставить данные, записать единицу площади.
- Проводят самопроверку по эталону и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают степень понимания с помощью карточки-светофора и листа самооценки.
Познавательные УУД
- Сравнивают площади исходной и составной фигур, устанавливают закономерность.
- Моделируют параллелограмм, треугольник и трапецию на клетчатой бумаге.
- Преобразуют текстовую информацию в чертёж и математическую запись.
- Анализируют ошибки в выборе высоты, формулы и единиц измерения.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают гипотезу в паре по правилу «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Формулируют полный ответ с использованием математических терминов.
- Задают уточняющие вопросы и аргументированно защищают способ решения.
- Работают в спокойном темпе, распределяют роли и учитывают потребности партнёра.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с крупными изображениями параллелограмма, треугольника, трапеции и прямоугольника; использовать контрастные цвета и крупный шрифт.
- Распечатать карточки с фигурами на клетчатой сетке: по одной карточке на каждого ученика и четыре увеличенные карточки для групп.
- Подготовить карточки трёх уровней сложности: обязательный минимум, базовый и повышенный; для детей с ОВЗ предусмотреть укрупнённый шрифт, короткие формулировки и готовый алгоритм.
- Распечатать лист самооценки и карточки-светофоры по одной на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: «основание — соответствующая высота — формула — вычисление — единицы площади».
- Подготовить линейки, карандаши, ножницы, цветные карандаши и конверты с разрезными моделями фигур — по одному набору на группу.
- Подготовить таймер с визуальным отсчётом и сигналами перехода между заданиями.
- Организовать свободное место на доске и возможность посадить ученика с ОВЗ ближе к визуальному материалу.
- Предусмотреть устную, письменную или графическую форму ответа без снижения содержательной сложности задания.
- Подготовить эталон решения для самопроверки, закрытый до этапа самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость формул площадей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображение пола в форме параллелограмма, ската крыши в форме трапеции и треугольной декоративной панели: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать как инженеры и дизайнеры: нам нужно научиться рассчитывать площадь фигур, чтобы определить количество материала. Проверьте, чтобы на столе были тетрадь, ручка, линейка и карточка. Если вам удобнее работать с увеличенной схемой или пользоваться готовым алгоритмом, возьмите соответствующую памятку." | Проверяют принадлежности, выбирают обычную или увеличенную памятку, рассматривают три изображения. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос и организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Можно ли одной и той же формулой найти площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника и трапеции? Сначала подумайте молча 30 секунд, затем обсудите ответ с соседом. Не требуется сразу назвать формулу: важно предложить способ рассуждения." | Формулируют предположения: "Фигуры можно разбить на прямоугольники и треугольники", "нужно знать основание и высоту"; две пары сообщают варианты классу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что разные фигуры можно связать с уже известной площадью прямоугольника. Сейчас проверим, какие знания нам понадобятся для такого преобразования."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия основания, высоты и формулу площади прямоугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает крупные чертежи прямоугольника и параллелограмма: "Назовите величины, которые нужны для нахождения площади прямоугольника. Что называют высотой параллелограмма? Обратите внимание: высота проводится перпендикулярно основанию, а не обязательно совпадает со стороной." | Отвечают: "Для прямоугольника нужны длина и ширина"; "высота — перпендикуляр от вершины к прямой, содержащей основание"; показывают на карточке основание и высоту. |
2 мин | Учитель записывает на доске $S=ab$ и предлагает вычислить площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 3 см: "Сначала назовите формулу, затем подставьте значения и укажите единицы измерения. Почему ответ записываем в квадратных сантиметрах?" | Записывают $S=8\cdot3=24\text{ см}^2$, объясняют, что площадь измеряется квадратными единицами. |
2 мин | Учитель показывает два одинаковых параллелограмма с разными сторонами и одинаковыми основаниями: "Какая величина должна остаться неизменной, если мы сдвигаем боковую сторону и не меняем основание и высоту? Как можно проверить это на клетчатой бумаге?" | Сравнивают модели, предполагают: "Площадь не изменится, если основание и высота прежние"; отмечают клетки и формулируют гипотезу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили прямоугольник, основание и перпендикулярную высоту. Теперь выясним, как получить формулу для параллелограмма и почему простого умножения двух сторон недостаточно."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при нахождении площади новых фигур и сформулировать план открытия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Перед вами параллелограмм с основанием 7 см, боковой стороной 5 см и высотой 4 см. Попробуйте найти его площадь. Некоторые могут захотеть перемножить 7 и 5. Подумайте, почему такой способ может быть неверным." Учитель не сообщает формулу, а фиксирует разные ответы на доске. | Рассматривают чертёж, предлагают варианты, замечают, что боковая сторона не является высотой; формулируют затруднение: "Не знаем формулу площади параллелограмма и не всегда отличаем высоту от стороны". |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Сначала каждый сформулируйте, чему нужно научиться. Затем объединитесь в пары и выберите общую формулировку, после чего две пары соединятся и составят план урока." | Формулируют цель: "Вывести формулы площадей параллелограмма, треугольника и трапеции и научиться их применять"; называют шаги: преобразовать фигуру, записать формулу, решить задачи, проверить ответ. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение стало ясным: нужно научиться видеть в фигуре известную модель и правильно выбирать высоту. Начнём с параллелограмма, потому что его площадь можно связать с площадью прямоугольника."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести формулы площадей параллелограмма, треугольника и трапеции через преобразование фигур.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт группам модели параллелограмма и прямоугольника: "Вырежьте у параллелограмма треугольник слева и перенесите его вправо. Что получилось? Сравните основание и высоту новой фигуры с исходными. На экране показано то же преобразование крупными цветными стрелками." Учитель направляет вопросами: "Какая площадь не изменилась? Как найти площадь получившегося прямоугольника?" | В группах вырезают и перемещают треугольную часть, получают прямоугольник, называют его стороны: основание $a$ и высота $h$; делают вывод, что площадь параллелограмма равна $ah$. |
3 мин | Учитель показывает треугольник и две одинаковые разрезные модели: "Составьте из двух равных треугольников параллелограмм. Какая площадь у двух треугольников вместе? Значит, как найти площадь одного треугольника? Запишем формулу на доске." | Соединяют два равных треугольника, получают параллелограмм, формулируют: "Площадь треугольника в два раза меньше площади параллелограмма"; записывают $S=\frac{1}{2}ah$. |
3 мин | Учитель демонстрирует трапецию и достраивает её до параллелограмма из двух одинаковых трапеций: "Посмотрите на два основания трапеции. После соединения получился параллелограмм. Чему равна его высота? Как выражается его основание через основания трапеции?" Учитель постепенно записывает $S=\frac{a+b}{2}h$. | Называют высоту $h$, складывают основания $a+b$, объясняют, что площадь двух трапеций равна $(a+b)h$, поэтому площадь одной трапеции равна $\frac{a+b}{2}h$. |
2 мин | Учитель проводит проверку понимания с помощью приёма «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете выбрать формулу самостоятельно, жёлтую — если нужна подсказка, красную — если нужно ещё раз разобрать связь фигуры и формулы. Красный сигнал — это не ошибка, а информация для дальнейшей работы." | Показывают карточки, задают вопросы; ученики с жёлтым или красным сигналом получают увеличенную схему и работают рядом с учителем. |
Запись в тетрадях
- Площадь параллелограмма: $S=ah$, где $a$ — основание, $h$ — высота, проведённая к этому основанию.
- Площадь треугольника: $S=\frac{1}{2}ah$.
- Площадь трапеции: $S=\frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции.
- Алгоритм: определить фигуру; найти основание и соответствующую высоту; выбрать формулу; подставить значения; записать единицы площади.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не запомнили формулы изолированно, а получили их из преобразований фигур. Теперь проверим формулы на конкретных задачах и обязательно будем проговаривать, почему выбираем именно их."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить применять новые формулы по алгоритму с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель разбирает задачу у доски: "Параллелограмм имеет основание 9 см и высоту 4 см. Найдите его площадь. Сначала прочитайте условие и назовите фигуру. Какая величина является основанием? К ней проведена высота? Записываем формулу, подставляем данные и указываем единицы." | Называют фигуру и данные, записывают $S=ah=9\cdot4=36\text{ см}^2$, проговаривают: "Высота 4 см проведена к основанию 9 см". |
2 мин | Учитель раздаёт парам мини-карточки: треугольник с основанием 10 см и высотой 6 см; трапеция с основаниями 5 см и 9 см и высотой 4 см. Инструкция: "Решите одну карточку по выбору, а затем обменяйтесь с соседней парой для проверки. Используйте памятку и подчеркните в условии основания и высоту." | Выбирают одну задачу, составляют краткую запись, вычисляют площадь, обмениваются решениями и отмечают две сильные стороны и одно исправление. |
2 мин | Учитель просит две пары представить решения: "Объясните не только ответ, но и почему в формуле появился множитель $\frac{1}{2}$ или среднее арифметическое оснований. Если решение отличается, сравним чертежи и единицы измерения." | Представляют решения: $S=\frac{1}{2}\cdot10\cdot6=30\text{ см}^2$; $S=\frac{5+9}{2}\cdot4=28\text{ см}^2$; объясняют происхождение формул. |
Эталон решения
Параллелограмм: $S=ah=9\cdot4=36\text{ см}^2$. Треугольник: $S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot10\cdot6=30\text{ см}^2$. Трапеция: $S=\frac{a+b}{2}h=\frac{5+9}{2}\cdot4=7\cdot4=28\text{ см}^2$. В каждом решении сначала определяется фигура и соответствующая высота, затем выбирается формула и записывается единица площади.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает, если мы не путаем сторону с высотой и внимательно читаем вид фигуры. Теперь каждый проверит, может ли применить формулы самостоятельно, без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание формул и обеспечить посильную дифференциацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Обязательный уровень выполняют все. Затем можно выбрать базовый или повышенный. Для карточки с крупным шрифтом и готовым чертежом критерии те же: важно правильно рассуждать и вычислять. Работайте 5 минут, вопросы сначала отмечайте знаком, затем поднимайте карточку помощи." | Выбирают карточку, читают условия, отмечают карандашом основание и высоту на чертеже. |
5 мин | Учитель наблюдает, не подсказывая готовый ответ, при необходимости задаёт опорные вопросы: "Какую фигуру ты видишь? К какому основанию проведена высота? Что нужно сделать перед подстановкой? Проверь единицы измерения." | Решают индивидуально. Обязательный уровень: найти площадь параллелограмма с $a=8$ см и $h=5$ см и треугольника с $a=12$ см и $h=3$ см. Базовый уровень: дополнительно найти площадь трапеции с основаниями 6 см и 10 см и высотой 4 см. Повышенный уровень: решить практическую задачу о треугольной панели с основанием 1,6 м и высотой 0,75 м. |
2 мин | Учитель открывает на доске эталон: "Проверьте не только числа, но и запись формулы, соответствие высоты основанию и единицы измерения. Ошибку исправляйте другим цветом и подпишите, на каком шаге она возникла." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, отмечают в листе самооценки пункты «выбираю формулу», «нахожу площадь», «проверяю единицы». |
Эталон решения
Обязательный уровень: $S_{п}=8\cdot5=40\text{ см}^2$; $S_{т}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot3=18\text{ см}^2$. Базовый уровень: $S_{тр}=\frac{6+10}{2}\cdot4=8\cdot4=32\text{ см}^2$. Повышенный уровень: $S=\frac{1}{2}\cdot1{,}6\cdot0{,}75=0{,}6\text{ м}^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формула становится рабочим инструментом только при правильном чтении чертежа. Осталось связать полученные знания с практической ситуацией и сформулировать главный вывод урока."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить способы нахождения площадей и осознать индивидуальный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задание на классификацию: "На доске три чертежа без названий. Подпишите фигуру, соедините её с формулой и объясните соседу, какая величина является высотой. Обратите внимание: в одном чертеже высота находится вне фигуры, но это не меняет её смысла." | Подписывают параллелограмм, треугольник и трапецию; соединяют их с формулами $ah$, $\frac{1}{2}ah$, $\frac{a+b}{2}h$; объясняют выбор. |
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутная бумага»: "За одну минуту допишите три фразы: «Сегодня я понял…», «При выборе формулы я сначала…», «Мне ещё нужно потренироваться…». Можно написать ответ, нарисовать схему или продиктовать его учителю." | Заполняют три фразы, при необходимости используют пиктограммы и памятку; несколько учеников зачитывают ответы. |
1 мин | Учитель организует «Билет на выход»: "Ответьте на один вопрос: почему площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту? Передайте листок при выходе. Это не контрольная отметка, а способ понять, какая помощь понадобится на следующем уроке." | Пишут объяснение: "Два одинаковых треугольника образуют параллелограмм, поэтому площадь одного в два раза меньше"; сдают билет. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы вывели три формулы, научились выбирать соответствующую высоту и проверили себя на задачах. На следующем уроке мы продолжим работать с площадями в более сложных чертежах и будем находить неизвестную сторону или высоту."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранного уровня, правильно определены фигуры, основания и высоты, формулы записаны корректно, вычисления и единицы площади указаны без ошибок.
- «4» — верно решены основные задания, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на выбор формулы.
- «3» — правильно выбрана формула хотя бы для двух фигур, но допущены ошибки в вычислениях, единицах или определении соответствующей высоты; решение содержит понятный ход рассуждений.
- При работе ребёнка с ОВЗ учитываются доступность формы представления, самостоятельность выполнения и исправление ошибки по алгоритму; увеличение времени и использование памятки не снижают отметку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую формулу ты теперь можешь выбрать без подсказки? | Выявление уровня самостоятельности при распознавании фигуры. |
Что помогает не перепутать сторону и высоту? | Выявление понимания геометрического смысла высоты. |
На каком шаге решения возникло затруднение? | Диагностика конкретного места ошибки в алгоритме. |
Какое задание ты готов выбрать на следующем уроке: обязательное, базовое или повышенное? | Оценка самоопределения и готовности к дальнейшей работе. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что формулы площадей можно не только запомнить, но и вывести из преобразований уже знакомых фигур. Главное — сначала определить фигуру, затем найти основание и проведённую к нему высоту, и только после этого подставлять данные. Типичная ошибка — перемножать основание и боковую сторону параллелограмма, хотя боковая сторона может не быть высотой. Вы хорошо работали с моделями, чертежами и формулами. На следующем уроке мы будем использовать эти знания в задачах на неизвестные величины и составные фигуры."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: по одной на площадь параллелограмма, треугольника и трапеции и одну задачу на выбор формулы по готовому чертежу. В каждой задаче выделить основание и высоту. | Закрепляет формулы и алгоритм выбора соответствующей высоты; при проверке смотреть на чертёж, запись формулы и единицы площади. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых по известной площади и одной из величин находятся основание или высота параллелограмма, треугольника и трапеции. | Формирует умение преобразовывать формулы и выполнять обратные действия; при проверке обратить внимание на равенство единиц измерения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о детали, участке или декоративной панели, имеющей форму трапеции или треугольника. Выполнить схематичный чертёж, указать реальные размеры и объяснить выбор формулы. | Развивает моделирование, функциональную грамотность и умение аргументировать математическое решение. |
