Определение подобных треугольников
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать подобные треугольники по определению, находить соответствующие стороны и углы, а также обосновывать подобие при решении не менее трёх из четырёх учебных заданий.
- Сформировать представление о подобных фигурах как фигурах одинаковой формы, но, возможно, разного размера, и ввести определение подобных треугольников.
- Научить устанавливать соответствие между вершинами, углами и сторонами двух треугольников и проверять пропорциональность соответствующих сторон.
- Развивать умение анализировать чертёж, выдвигать гипотезу, обсуждать решение в паре и аргументировать математический вывод.
- Показать межпредметную связь геометрии с картографией, фотографией, архитектурой и масштабированием изображений.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность геометрических знаний при работе с картами, чертежами, фотографиями и проектированием.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию зависимости формы фигуры от отношений её размеров.
- Уважительно относятся к мнению партнёра, принимают необходимость аргументировать собственную позицию.
- Развивают самостоятельность при выборе уровня задания и способа представления решения.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и совместно с учителем определяют план её решения.
- Извлекают информацию из чертежа, таблицы измерений и краткого практического описания.
- Сравнивают геометрические объекты, выделяют существенные признаки и делают обоснованный вывод.
- Используют математическую речь для описания соответствия углов и сторон и проверки пропорций.
- Осуществляют взаимопроверку по заданным критериям и корректируют найденные ошибки.
Предметные
- Знать определение подобных треугольников.
- Уметь устанавливать соответствие вершин и записывать подобие треугольников в правильном порядке.
- Уметь определять соответствующие углы и стороны по обозначениям на чертеже.
- Уметь проверять, являются ли два треугольника подобными, используя равенство соответствующих углов и пропорциональность соответствующих сторон.
- Владеть навыком краткого доказательного ответа по схеме: соответствующие углы равны, соответствующие стороны пропорциональны, следовательно, треугольники подобны.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения подобия через примеры масштаба и проектирования.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору задания и ответственности за результат.
- Оценивают собственное продвижение от интуитивного сравнения фигур к строгому определению.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока: научиться распознавать подобные треугольники по определению.
- Планируют последовательность проверки: сопоставить углы, сопоставить стороны, сформулировать вывод.
- Контролируют порядок записи вершин и правильность вычисления отношений.
- Сверяют решение с эталоном, находят причину ошибки и исправляют её.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки подобия из результатов измерений и сравнения чертежей.
- Строят логическую цепочку от равенства соответствующих углов и пропорциональности сторон к выводу о подобии.
- Моделируют ситуацию масштабирования с помощью чертежа и таблицы соответствий.
- Анализируют ошибочную запись подобия и объясняют, почему нарушен порядок вершин.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один анализирует чертёж, другой фиксирует соответствия, затем меняются ролями.
- Формулируют уточняющие вопросы: «Какая сторона соответствует данной?» и «Почему эти углы считаются соответствующими?».
- Аргументируют вывод с использованием математических терминов.
- Осуществляют взаимопроверку без замены доказательства простым утверждением «треугольники похожи».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения двух пар треугольников: одинаковой формы разного размера и треугольников разной формы.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на парту, всего по числу парт; включить чертежи, длины сторон и величины углов.
- Подготовить карточки трёх уровней сложности: базовые, повышающие и дополнительные — по одной на каждого ученика.
- Вывести на доску начальный проблемный вопрос: «Как доказать, что два треугольника имеют одну и ту же форму?»
- Заранее подготовить на доске или отдельном слайде пустую схему: «соответствующие углы — …; соответствующие стороны — …; вывод — …».
- Подготовить линейки, транспортиры и карандаши для каждой пары; калькуляторы не использовать, чтобы сосредоточиться на отношениях и чертеже.
- Распечатать мини-лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на ученика.
- Подготовить межпредметный пример: фрагмент карты с масштабом и фотографию одного объекта в двух размерах.
- Разместить на доске эталон записи: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, где $A \leftrightarrow A_1$, $B \leftrightarrow B_1$, $C \leftrightarrow C_1$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к проблеме сохранения формы при изменении размера.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, линейки, карандаша и транспортира. Сегодня мы будем не просто измерять фигуры, а выяснять, какие признаки позволяют строго утверждать, что две фигуры имеют одну и ту же форму." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовят инструменты. |
2 мин | Учитель показывает на экране две фотографии одного здания: исходную и увеличенную: "Посмотрите на изображения. Размер изменился, но мы узнаём тот же объект. В математике подобная ситуация возникает при работе с картами, чертежами и макетами. Как понять, что форма сохранена? Сегодня перенесём этот вопрос на треугольники." | Рассматривают изображения, формулируют предположения: "Все части увеличились одинаково", "Углы не изменились", "Стороны изменились пропорционально". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одного впечатления «фигуры похожи» недостаточно. Теперь вспомним, какие свойства треугольника помогут нам сравнивать его с другим треугольником."
Этап 2. Актуализация знаний и парная работа (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания об элементах треугольника, равенстве углов и отношении отрезков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Назовите элементы треугольника ABC. Какой угол является противолежащим стороне AB? Какие стороны называют соответствующими, если фигуры сравнивают между собой?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Отвечают: "Вершины A, B, C; стороны AB, BC, AC; углы A, B, C"; показывают на чертеже сторону, противолежащую углу C. |
3 мин | Учитель раздаёт парную карточку с двумя треугольниками и говорит: "Приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». Сначала 30 секунд каждый самостоятельно найдите пары вершин, затем одну минуту обсудите решение. Отметьте стрелками предполагаемые соответствия сторон и углов." | Сначала индивидуально отмечают соответствия, затем обсуждают в парах. Формулируют: "Вершине A соответствует вершина A₁, потому что углы при этих вершинах равны". |
1 мин | Учитель просит две пары представить разные варианты: "Покажите не только ответ, но и признак, по которому вы установили соответствие. Если ответы различаются, сравним обозначения углов на чертеже." | Представляют решения, задают уточняющие вопросы, исправляют неверное соответствие. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что сравнивать нужно не отдельные стороны, а соответствующие элементы. Но пока у нас нет точного определения. Сформулируем проблему урока."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель и план исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует два треугольника: один увеличен в полтора раза, а у второго одна сторона изменена иначе: "На глаз оба треугольника могут показаться похожими. Достаточно ли этого? Какие измерения нужно выполнить, чтобы вывод был доказательным?" | Сравнивают изображения, предполагают: "Нужно проверить углы", "Нужно сравнить отношения соответствующих сторон", "Одной стороны недостаточно". |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Сначала запишите свою цель одним предложением, затем обсудите её с соседом и выберите общую формулировку. Цель должна начинаться со слов «научиться…»." После обсуждения учитель уточняет: "Сегодня мы научимся определять, являются ли два треугольника подобными, и правильно записывать их соответствие." | Записывают цель, обсуждают её в парах, предлагают формулировки: "Научиться находить соответствующие элементы и доказывать подобие треугольников". Записывают план: сравнить углы, сравнить стороны, сделать вывод. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно заменить зрительное впечатление строгими признаками. Сейчас исследуем два треугольника и сами выведем определение."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и записать определение подобных треугольников на основе равенства соответствующих углов и пропорциональности соответствующих сторон.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам чертёж двух треугольников с углами $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$ и сторонами $4$, $5$, $6$ у первого и $8$, $10$, $12$ у второго: "Измерьте или прочитайте величины углов. Найдите отношения соответствующих сторон. Обратите внимание: порядок записи имеет значение." | В парах сравнивают углы: $50^\circ=50^\circ$, $60^\circ=60^\circ$, $70^\circ=70^\circ$. Вычисляют: $8:4=2$, $10:5=2$, $12:6=2$. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы эвристической беседы: "Что общего у соответствующих углов? Что общего у отношений соответствующих сторон? Можно ли назвать коэффициент 2 масштабом увеличения? Какой вывод о форме треугольников следует сделать?" Учитель записывает ответы в схему на доске. | Отвечают: "Соответствующие углы равны", "Отношения соответствующих сторон одинаковы", "Второй треугольник получен увеличением в два раза", "Треугольники имеют одинаковую форму". |
2 мин | Учитель формулирует определение: "Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Запись $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ означает, что вершины записаны в соответствующем порядке." | Записывают определение, обозначение и соответствия: $A \leftrightarrow A_1$, $B \leftrightarrow B_1$, $C \leftrightarrow C_1$. |
2 мин | Учитель показывает межпредметную связь: "На карте расстояния уменьшаются в одном и том же отношении. Поэтому контур местности и его изображение на карте рассматриваются как подобные модели. В фотографии и архитектурном макете действует тот же принцип сохранения формы." | Объясняют, почему карта или макет сохраняют форму: "Все соответствующие размеры изменяются по одному масштабу, а углы сохраняются". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны». Ниже записывают $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ и соответствия $A \leftrightarrow A_1$, $B \leftrightarrow B_1$, $C \leftrightarrow C_1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили определение и увидели, как оно связано с масштабом в карте и макете. Теперь применим определение сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: научить применять определение и правильно записывать порядок соответствующих вершин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает задачу: "Даны треугольники ABC и DEF. Известно, что $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $AB=6$, $DE=9$, $BC=8$, $EF=12$. Можно ли утверждать, что соответствующие стороны пропорциональны?" Учитель напоминает: "Сначала выпишите пары соответствующих элементов, затем сравните отношения." | В парах записывают $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$; вычисляют $DE:AB=9:6=1{,}5$ и $EF:BC=12:8=1{,}5$; делают вывод о пропорциональности данных сторон. |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Проверьте три позиции: порядок вершин, наличие равенства углов, одинаковый коэффициент отношений. Поставьте партнёру две звезды и пожелание: отметьте два верных действия и один совет." | Проверяют запись партнёра по трём критериям, формулируют совет: "Укажи явно, какая сторона соответствует стороне EF". |
2 мин | Учитель разбирает типичную ошибку: "Ученик записал $\triangle ABC \sim \triangle DFE$. Найдите ошибку, если $A$ соответствует $D$, а $B$ соответствует $E$. Почему нельзя переставлять вершины произвольно?" | Отвечают: "Вторая вершина должна быть E, а третья F; правильная запись — $\triangle ABC \sim \triangle DEF$". |
Эталон решения
1. Устанавливаем соответствие: $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$. 2. Сравниваем соответствующие стороны: $DE:AB=9:6=1{,}5$, $EF:BC=12:8=1{,}5$. 3. Так как соответствующие углы равны по условию, а данные соответствующие стороны пропорциональны, делаем вывод: треугольники имеют одинаковую форму; запись соответствия — $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь мы умеем читать соответствие и проверять пропорциональность. Следующий шаг — выполнить проверку самостоятельно, выбрав посильный уровень."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение определения, соответствий и пропорциональности сторон.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите карточку базового, повышающего или дополнительного уровня. Работайте самостоятельно. Перед началом прочитайте критерии: нужно установить соответствия, выполнить проверку и записать вывод." | Выбирают уровень с учётом собственной уверенности, записывают номер выбранного уровня. |
5 мин | Учитель раздаёт карточки. Базовое задание: по чертежу записать соответствующие углы и стороны двух треугольников. Повышенное: определить, подобны ли треугольники со сторонами $3$, $4$, $5$ и $6$, $8$, $10$. Дополнительное: найти ошибку в записи подобия и исправить её, если порядок вершин не соответствует углам. | Индивидуально выполняют выбранное задание. В базовом уровне составляют пары элементов; в повышенном проверяют $6:3=8:4=10:5=2$ и формулируют вывод; в дополнительном объясняют ошибку в порядке вершин. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске: "Сверьте не только ответ, но и ход рассуждения. Если обнаружили ошибку, зачеркните неверный шаг одной линией и рядом запишите исправление. Отметьте в листе самооценки: «могу самостоятельно», «могу с подсказкой» или «нужна помощь»." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, заполняют лист самооценки, задают конкретные вопросы по затруднениям. |
Эталон решения
Для треугольников со сторонами $3$, $4$, $5$ и $6$, $8$, $10$: $6:3=2$, $8:4=2$, $10:5=2$. Все отношения соответствующих сторон равны одному числу, поэтому стороны пропорциональны. При наличии равенства соответствующих углов по условию треугольники подобны; коэффициент увеличения равен $2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, умеете ли вы применять определение без подсказки. Осталось связать новый способ рассуждения с реальной задачей масштаба и проверить, можем ли мы объяснить его своими словами."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: применить понятие подобия в практическом контексте и осознать результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает практический контекст: "Архитектор делает макет треугольной детали фасада в масштабе 1:50. На чертеже стороны детали равны $4$ см, $6$ см и $8$ см. Как изменятся стороны настоящей детали? Почему макет и деталь можно считать подобными?" | В парах вычисляют размеры: $4\cdot50=200$ см, $6\cdot50=300$ см, $8\cdot50=400$ см; переводят при необходимости в метры и объясняют: "Все стороны изменены в одном отношении, форма сохраняется". |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Как доказать, что два треугольника имеют одну и ту же форму? Назовите полный порядок действий, а не только итоговое слово «подобны»." | Формулируют алгоритм: "Установить соответствующие вершины, сравнить углы, проверить пропорциональность соответствующих сторон, записать вывод". |
1 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно определить подобие; жёлтую — если нужна небольшая подсказка; красную — если пока трудно установить соответствие." | Показывают карточки, фиксируют личный результат в листе самооценки. |
Этап 8. Итог, билет на выход и домашнее задание (0 мин)
Цель этапа: зафиксировать индивидуальное понимание темы и дать дифференцированное задание для закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
0 мин | Учитель завершает урок репликой: "Перед выходом мысленно проверьте себя: что означает знак подобия, как записывается соответствие вершин и какие два признака нужно проверить? Домашнее задание выберите по уровню, а билет на выход сдайте мне." | Устно отвечают на контрольные вопросы, выбирают уровень домашнего задания, фиксируют его в дневнике. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, правильно установлены соответствия вершин, отношения соответствующих сторон записаны без ошибок, вывод обоснован определением.
- «4» — выполнено основное задание и правильно сформулирован вывод, но допущена одна неточность в записи обозначений или вычислении, исправленная при самопроверке.
- «3» — установлены хотя бы основные соответствия и распознана идея пропорциональности, но допущены две ошибки в порядке вершин, вычислениях или обосновании.
- Дополнительный балл может быть выставлен за самостоятельное решение задания повышенного уровня с полным объяснением межпредметной связи с масштабом.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает запись $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$? | Проверка понимания порядка соответствующих вершин и математической записи. |
Какие признаки нужно проверить, чтобы обосновать подобие треугольников по определению? | Выявление осознания двух обязательных условий: равенства углов и пропорциональности сторон. |
Какое действие оказалось самым сложным: установить соответствие, проверить отношения или сформулировать вывод? | Выявление точки затруднения в алгоритме. |
Где в жизни используется сохранение формы при изменении размера? | Осмысление межпредметной и практической значимости темы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились отличать строгое доказательство подобия от простого впечатления, что треугольники похожи. Мы установили: соответствующие углы должны быть равны, а соответствующие стороны — пропорциональны. Будьте внимательны к порядку вершин: одна ошибка в записи может изменить все соответствия. На следующем уроке мы рассмотрим признаки подобия треугольников, которые позволят доказывать подобие быстрее, не проверяя каждый элемент."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на распознавание подобных треугольников по рисункам: установить соответствие вершин, записать подобие и указать пары соответствующих сторон и углов. | Закрепляет определение и правильный порядок записи; при проверке обратить внимание на соответствие вершин. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на проверку пропорциональности сторон двух треугольников с заданными длинами; в каждом случае записать вычисления и обоснованный вывод о подобии или неподобии. | Формирует навык сравнения отношений и доказательного ответа; проверить одинаковость всех требуемых отношений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный пример пары подобных треугольников в контексте карты, макета или фотографии: указать масштаб, три пары соответствующих сторон, два равных угла и оформить решение. | Развивает создание математической модели и перенос знания в практическую ситуацию; проверить реалистичность масштаба и полноту обоснования. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют подобными треугольниками? Как определить, какие стороны являются соответствующими? Почему запись $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ задаёт порядок соответствия? Что означает общий коэффициент отношений соответствующих сторон?»
