Формулы для площади треугольника и параллелограмма
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться выводить и применять формулы площади параллелограмма и треугольника при решении не менее трёх практических задач, объясняя выбор основания и соответствующей высоты.
- Сформировать понимание связи между площадью прямоугольника, параллелограмма и треугольника через преобразование фигур и достраивание.
- Научить записывать формулы $S=ah$ и $S=\frac{1}{2}ah$, распознавать основание и проведённую к нему высоту.
- Развивать умение работать в парах, выдвигать гипотезы, сравнивать способы решения и аргументировать вывод.
- Воспитывать ответственность за точность геометрических построений и уважение к мнению партнёра при совместной работе.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску самостоятельного способа получения формул, а не только к запоминанию готового результата.
- Осознают практическую ценность вычисления площадей при проектировании помещений, земельных участков и конструкций.
- Принимают необходимость аккуратной записи данных, единиц измерения и промежуточных рассуждений.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и корректно воспринимают аргументы одноклассников.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа, выделяют основание и высоту, необходимые для вычисления площади.
- Сравнивают способы получения площади фигур, устанавливают причинно-следственную связь между преобразованием фигур и формулой.
- Планируют решение задачи, проверяют результат по условию и исправляют выявленные ошибки.
- Формулируют выводы устно и письменно, используют математическую речь и единицы площади.
Предметные
- Знать формулы площади параллелограмма $S=ah$ и треугольника $S=\frac{1}{2}ah$.
- Понимать, что высота должна быть проведена к выбранному основанию перпендикулярно ему.
- Уметь находить площадь параллелограмма и треугольника по основанию и соответствующей высоте.
- Уметь выбирать нужную формулу по условию и чертежу, записывать решение с единицами площади.
- Уметь объяснять, почему площадь треугольника равна половине площади параллелограмма с теми же основанием и высотой.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться находить площади фигур по геометрическому чертежу.
- Проявляют смыслообразование через связь формул с задачами архитектуры, строительства и дизайна.
- Осознают ответственность за точность совместного результата пары.
- Сохраняют учебную мотивацию при возникновении затруднения в выборе высоты.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемного вопроса.
- Планируют последовательность: прочитать условие, выбрать основание и высоту, подставить данные, записать единицу площади.
- Осуществляют самопроверку по эталону и чертежу.
- Оценивают результат по критериям и при необходимости корректируют решение.
Познавательные УУД
- Моделируют геометрическую ситуацию с помощью чертежа и вспомогательных линий.
- Сравнивают площадь параллелограмма с площадью прямоугольника и площадь треугольника с площадью параллелограмма.
- Выделяют существенные признаки основания и высоты.
- Преобразуют графическую информацию в формулу и применяют её к новой задаче.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: чертёжник и объясняющий, затем меняются ролями.
- Задают уточняющие вопросы о выборе основания и высоты.
- Аргументируют свой способ решения, используя математические термины.
- Сравнивают решения без обесценивания позиции партнёра и приходят к общему выводу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения прямоугольника, параллелограмма и треугольника с обозначенными основаниями и высотами.
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить цветные полоски бумаги или вырезанные модели параллелограммов и треугольников — по одному комплекту на пару.
- Раздать каждому ученику линейку, карандаш и лист в клетку; проверить наличие тетрадей и ручек.
- Вывести на доску памятку: «Основание — сторона, высота — перпендикуляр к основанию», а также формулы, закрытые до этапа открытия.
- Подготовить слайд с проблемной ситуацией: прямоугольник и параллелограмм имеют одинаковые основание и высоту.
- Распечатать лист самопроверки с тремя заданиями и эталоном на обороте — по одному на каждого ученика.
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для приёма «Светофор» — по одной на ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовы ли тетрадь, линейка и карандаш. Сегодня нам понадобится не только память, но и умение рассуждать по чертежу. Вы сможете выбрать способ объяснения и сравнить его с решением партнёра." | Проверяют готовность рабочего места, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает изображение параллелограмма и говорит: "Представьте, что эта фигура изображает участок земли или деталь конструкции. Как узнать, сколько квадратных единиц материала понадобится для покрытия фигуры? Прямоугольник мы уже умеем измерять. Сегодня выясним, можно ли использовать известные знания для параллелограмма и треугольника." | Формулируют предположения: "Нужно знать длину и ширину", "Можно преобразовать фигуру", "Для треугольника, возможно, взять половину". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели практическую задачу, для которой недостаточно просто назвать фигуру. Теперь вспомним, что уже знаем о площадях и высотах, чтобы подготовиться к открытию новых формул."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать формулу площади прямоугольника и понятия основания, высоты и перпендикуляра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске условие: "Прямоугольник имеет длину 8 см и ширину 3 см. Какова его площадь? Вспомните формулу и назовите единицу измерения." Затем уточняет: "Какие стороны прямоугольника можно рассматривать как длину и ширину?" | Решают устно: $S=8\cdot3=24$ см²; отвечают: "Площадь измеряется в квадратных сантиметрах". |
2 мин | Учитель показывает наклонный параллелограмм и спрашивает: "Какая сторона может быть основанием? Что должно быть перпендикулярно основанию, чтобы отрезок стал высотой? Можно ли наклонную боковую сторону автоматически считать высотой?" | Указывают несколько возможных оснований, отвечают: "Высота перпендикулярна основанию", "Наклонная боковая сторона не всегда является высотой". |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом: какие данные нужны, чтобы найти площадь параллелограмма? После этого две пары озвучат формулировки." | Индивидуально формулируют ответ, одну минуту обсуждают в парах, сообщают: "Нужны основание и соответствующая высота". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили площадь прямоугольника и убедились, что для новой фигуры особенно важна перпендикулярная высота. Теперь проверим, как получить площадь параллелограмма, не измеряя его наклонную сторону."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает прямоугольник и параллелограмм с одинаковыми основанием 6 см и высотой 4 см: "На глаз параллелограмм выглядит меньше. Но если отрезать левый треугольник и перенести его вправо, какая фигура получится? Как изменится площадь?" | Рассматривают модели, предполагают: "Получится прямоугольник", "Площадь не изменится, потому что часть только перенесли". |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как вывести формулу площади параллелограмма? А затем — как связать с ней площадь треугольника? Предложите план: какие фигуры построить, что сравнить и какой вывод записать." | Формулируют цель: "Вывести формулы площадей параллелограмма и треугольника"; называют план: построить высоту, преобразовать фигуру, сравнить площади. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы не получим формулы готовым сообщением, а обоснуем их через преобразование фигур. Начинаем с параллелограмма, потому что он связан с уже известным прямоугольником."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести формулы площадей параллелограмма и треугольника на основе моделей и чертежей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам модели параллелограммов: "Отметьте одну сторону как основание. Проведите или обозначьте высоту к этому основанию. Теперь мысленно отрежьте треугольник слева и приставьте его справа. Ответьте: какая фигура получилась, какие её стороны соответствуют основанию и высоте?" Учитель фиксирует на доске: «площадь параллелограмма равна площади полученного прямоугольника». | В парах выбирают основание, находят перпендикулярную высоту, переставляют бумажный треугольник, получают прямоугольник. Формулируют: "Длина прямоугольника равна основанию, ширина — высоте". |
3 мин | Учитель ведёт Сократовский диалог: "Если площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины, чему равна площадь параллелограмма? Запишите буквами. Почему нельзя использовать боковую сторону вместо высоты?" | Записывают и объясняют: $S=ah$; отвечают: "Боковая сторона может быть наклонной и не показывает расстояние между параллельными основаниями". |
3 мин | Учитель показывает параллелограмм, разделённый диагональю: "На какие фигуры диагональ разделяет параллелограмм? Сравните полученные треугольники. Какую часть площади параллелограмма составляет каждый? Сделайте вывод и запишите формулу площади треугольника." | Отвечают: "На два равных по площади треугольника"; формулируют: "Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту"; записывают $S=\frac{1}{2}ah$. |
Запись в тетрадях
Параллелограмм: $S=ah$, где $a$ — основание, $h$ — высота, проведённая к этому основанию. Треугольник: $S=\frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, $h$ — соответствующая высота. Единицы площади записываются квадратными: см², м², км².
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели обе формулы, а не просто запомнили их. Ключевая мысль такова: основание и высота должны соответствовать друг другу, а площадь треугольника составляет половину площади параллелограмма с теми же основанием и высотой. Теперь применим это правило к конкретным чертежам."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм выбора основания и высоты через парную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет роли: "В каждой паре один ученик сначала читает условие и называет формулу, второй выполняет вычисления и чертёж. Затем поменяйтесь ролями. Обязательно объясняйте, какая высота соответствует основанию." | Распределяют роли, готовят карточку и тетради. |
3 мин | Учитель раздаёт карточки: "Задание 1: параллелограмм имеет основание 9 см и высоту 4 см. Найдите площадь. Задание 2: треугольник имеет основание 10 см и высоту 6 см. Найдите площадь. Запишите формулу, подстановку и ответ с единицей площади." | В парах решают: $S=9\cdot4=36$ см²; $S=\frac{1}{2}\cdot10\cdot6=30$ см². Один ученик объясняет выбор формулы, второй проверяет. |
3 мин | Учитель предлагает задание на анализ: "На чертеже параллелограмма указаны сторона 7 см, боковая сторона 5 см и высота к основанию 3 см. Найдите площадь. Обсудите, какое число нельзя подставлять вместо высоты и почему." | Выбирают 7 см и 3 см, получают $S=7\cdot3=21$ см²; объясняют: "5 см — боковая сторона, она не является данной высотой". |
Эталон решения
Для параллелограмма: 1) основание $a=7$ см; 2) соответствующая высота $h=3$ см; 3) применяем $S=ah$; 4) $S=7\cdot3=21$ см². Число 5 см не используется, поскольку в условии оно обозначает боковую сторону, а не перпендикулярную высоту.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что главная ошибка возникает не в умножении, а в неверном выборе высоты. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли он распознавать нужные данные и применять формулу без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение формул и алгоритма решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт лист самопроверки: "Решите индивидуально три задания. 1) Найдите площадь параллелограмма с основанием 12 см и высотой 5 см. 2) Найдите площадь треугольника с основанием 14 см и высотой 8 см. 3) Составьте формулу площади треугольника, если основание обозначено буквой $b$, а высота — буквой $h$. Записывайте не только ответ, но и ход решения." | Самостоятельно решают: $60$ см²; $56$ см²; $S=\frac{1}{2}bh$. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске: "Сверьте каждую строку: формула, подстановка, вычисление, единица площади. Не исправляйте молча — подчеркните место ошибки и рядом запишите правильный шаг." | Сверяют решения, отмечают ошибки, исправляют формулу или вычисления, ставят себе количество верных заданий. |
1 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно выбрать формулу, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если пока не понимаете роль высоты." | Показывают карточки, фиксируют в тетради личное затруднение: выбор основания, высоты или вычисление. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формулы уже можно применять. Если ошибка возникла при выборе высоты, это не повод запоминать больше примеров — нужно ещё раз внимательно прочитать чертёж. Завершим урок обобщением и проверим, что каждый сможет объяснить другому человеку."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить достижение цели и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Почему площадь параллелограмма находится как произведение основания на высоту, а площадь треугольника — как половина этого произведения? Назовите алгоритм решения задачи из четырёх шагов." | Формулируют вывод: "Параллелограмм преобразуется в прямоугольник с теми же основанием и высотой; треугольник — половина параллелограмма". Называют шаги: определить фигуру, выбрать основание и высоту, применить формулу, записать единицу площади. |
2 мин | Учитель предлагает «Одноминутку»: "Запишите два предложения: «Сегодня я научился...», «Мне нужно потренироваться в...». Затем обменяйтесь листочками с партнёром и устно назовите ему одну сильную сторону его решения." | Пишут самооценку, обмениваются листочками, формулируют партнёру конкретную обратную связь: "Ты правильно выбрал соответствующую высоту". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень. Если уверенно справляетесь, добавьте повышающий или дополнительный. В каждой задаче записывайте формулу, данные, вычисление и единицу площади. Не переписывайте только ответы." | Записывают выбранный уровень и содержание задания, задают уточняющие вопросы, отмечают, какой навык будут проверять дома. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три задания, в каждом решении выбраны соответствующие основание и высота, формулы записаны корректно, вычисления и единицы площади указаны.
- «4» — верно решены два задания из трёх или допущена одна несущественная ошибка в записи, при этом выбор формулы и высоты обоснован.
- «3» — верно решено хотя бы одно задание и в целом распознаны формулы, но допущены ошибки в выборе высоты, вычислениях или единицах площади.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи площади параллелограмма и площади прямоугольника? | Проверка понимания способа вывода формулы, а не только её запоминания. |
Как определить, является ли отрезок высотой к выбранному основанию? | Выявление точек затруднения при чтении геометрического чертежа. |
В какой момент решения вы были наиболее уверены, а где потребовалась помощь? | Субъективная оценка освоения алгоритма и планирование дальнейшей поддержки. |
Какую формулу вы объяснили бы однокласснику в первую очередь и почему? | Проверка осознанности и умения аргументировать выбор. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы вывели формулы площадей параллелограмма и треугольника через уже известную площадь прямоугольника. Запомните главное: высота всегда перпендикулярна выбранному основанию, поэтому наклонную боковую сторону нельзя автоматически подставлять в формулу. Вы попробовали не только считать, но и объяснять ход рассуждения партнёру. На следующем уроке мы продолжим решать задачи, в которых основание или высоту нужно находить по известной площади."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на нахождение площади параллелограмма по основанию и высоте и две на нахождение площади треугольника по основанию и соответствующей высоте. В каждой задаче выполнить краткий чертёж или отметить данные на готовом чертеже. | Закрепляет формулы $S=ah$ и $S=\frac{1}{2}ah$; при проверке смотреть на выбор соответствующей высоты и запись единиц площади. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с несколькими данными на чертеже: определить, какие из них являются основанием и высотой, найти площадь и письменно объяснить, почему остальные отрезки не используются. | Развивает анализ чертежа и аргументацию; при проверке обращать внимание на обоснование выбора данных. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу о площади треугольного или параллелограммного участка, придумать числовые данные, выполнить чертёж, решить задачу и обменяться ею с одноклассником для проверки. | Формирует умение создавать математическую модель и применять формулу в реальном контексте; при проверке оценивать корректность условия, чертежа и решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается формула площади параллелограмма? Что называют соответствующей высотой? Почему в формуле площади треугольника появляется множитель $\frac{1}{2}$? Какие единицы измерения записывают после вычисления площади?»
