Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать высоту, проведённую к гипотенузе, и применять свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике для решения не менее двух практических задач с самостоятельной проверкой результата.
- Сформировать понимание связи между высотой к гипотенузе и отрезками, на которые она делит гипотенузу.
- Научиться записывать и применять пропорции $h^2=mn$, $a^2=cm$ и $b^2=cn$ в зависимости от обозначений на чертеже.
- Развивать умение анализировать условие задачи, выбирать формулу, выполнять вычисления и проверять правдоподобие ответа.
- Воспитывать ответственное отношение к точности измерений, сотрудничеству и аргументированному обсуждению решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность геометрических знаний для строительства, инженерии, архитектуры и технического моделирования.
- Проявляют познавательный интерес к способам вычисления недоступных для прямого измерения величин.
- Принимают необходимость точной записи чертежа, формулы и единиц измерения.
- Развивают готовность самостоятельно выбирать уровень сложности задания и отвечать за результат.
- Уважительно относятся к мнению одноклассников при обсуждении разных способов решения.
Метапредметные
- Выделяют известные и неизвестные величины в геометрической задаче и преобразуют текст в математическую модель.
- Сравнивают решения, находят ошибку в неверной пропорции и аргументируют исправление.
- Планируют последовательность решения: чертёж — обозначения — формула — вычисления — проверка.
- Работают с цифровой геометрической моделью и используют её для проверки взаимного расположения элементов.
- Оценивают собственное продвижение с помощью рефлексивных вопросов и сигнала светофора.
Предметные
- Знать свойства высоты, проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе.
- Уметь распознавать на чертеже гипотенузу, катеты, высоту к гипотенузе и отрезки гипотенузы.
- Уметь применять равенства $h^2=mn$, $a^2=cm$ и $b^2=cn$ при нахождении неизвестного отрезка.
- Уметь составлять краткую запись и выполнять вычисления с квадратными корнями в простых случаях.
- Уметь проверять соответствие полученного ответа условию и единицам измерения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться находить неизвестный отрезок по двум известным.
- Осознают значение аккуратности и доказательности математического рассуждения.
- Выбирают посильный уровень задания и при необходимости обращаются за помощью.
- Формируют положительное отношение к совместному поиску нового способа решения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе обнаруженного затруднения.
- Планируют решение задачи по предложенному алгоритму.
- Сверяют вычисления с эталоном и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают степень понимания темы с помощью карточки-светофора.
- Прогнозируют, какие данные нужны для нахождения искомого отрезка.
Познавательные УУД
- Извлекают информацию из чертежа, текста задачи и цифровой модели.
- Устанавливают связи между подобными треугольниками и пропорциональными отрезками.
- Выбирают формулу в зависимости от положения искомого элемента.
- Строят математическую модель практической ситуации.
- Анализируют неверное решение и объясняют причину ошибки.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и гипотезу в ходе эвристической беседы.
- Обсуждают решение в парах, используя математические термины.
- Аргументируют выбор формулы и корректно возражают однокласснику.
- Распределяют роли при работе с цифровой моделью.
- Представляют решение кратко и понятно для класса.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с чертежом прямоугольного треугольника $ABC$, высотой $CH$ к гипотенузе $AB$ и обозначениями $AH=m$, $HB=n$, $CH=h$.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся.
- Подготовить мини-карточки «зелёный — понимаю», «жёлтый — нужна подсказка», «красный — затрудняюсь» — по одной на ученика.
- Подготовить интерактивную геометрическую модель с возможностью изменять положение точки $H$ и наблюдать изменение отрезков.
- Вывести на доску памятку: «1. Найди гипотенузу. 2. Обозначь отрезки. 3. Выбери формулу. 4. Вычисли. 5. Проверь».
- Распечатать листы с практической задачей о расчёте длины раскоса в прямоугольной конструкции — по одному на пару.
- Подготовить маркеры, линейки и черновые листы — по одному комплекту на парту.
- Проверить работу проектора, ноутбука и интерактивной доски до начала урока.
- Подготовить эталон решений для самостоятельной работы и таблицу критериев оценивания.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл новой темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране фотографию прямоугольной металлической конструкции с диагональным раскосом: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать как инженеры: попробуем вычислить длину элемента конструкции, который напрямую измерить неудобно. Посмотрите на экран и определите, какие фигуры вы узнаёте." | Рассматривают изображение, называют прямоугольник, прямоугольный треугольник, гипотенузу и катеты. |
2 мин | Учитель продолжает: "Представьте, что часть конструкции уже собрана, а длину внутреннего элемента нужно рассчитать по известным размерам. Как геометрия может помочь? Сегодня мы найдём новый способ вычислять отрезки в прямоугольном треугольнике. Запишите тему и сформулируйте, чему хотели бы научиться." | Записывают тему, формулируют личную цель: «научиться находить неизвестный отрезок по известным частям прямоугольного треугольника». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели практическую ситуацию, где одного измерения недостаточно. Чтобы решить её обоснованно, сначала вспомним свойства прямоугольного треугольника, а затем найдём новую закономерность."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о прямоугольном треугольнике, теореме Пифагора и подобии треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует чертёж $ABC$, где угол $C$ прямой, и спрашивает: "Какая сторона называется гипотенузой? Как связаны катеты и гипотенуза? Запишите теорему Пифагора в общем виде." | Показывают сторону $AB$, отвечают: «Гипотенуза — сторона напротив прямого угла», записывают $AB^2=AC^2+BC^2$. |
2 мин | Учитель проводит высоту $CH$ к гипотенузе и задаёт вопросы: "На какие фигуры разделился исходный треугольник? Какие углы этих треугольников равны? Можно ли предположить их подобие?" | Называют треугольники $ACH$ и $BCH$, выделяют равные прямые углы и общие острые углы, формулируют предположение: «треугольники подобны». |
1 мин | Учитель предлагает в парах восстановить определение пропорции и привести пример равенства отношений. Затем фиксирует на доске запись $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. | В парах формулируют: «Пропорция — равенство двух отношений», приводят пример и проверяют его. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили теорему Пифагора, подобие и пропорции. Теперь проверим, какое новое равенство появляется, если высота делит гипотенузу на два отрезка."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать план открытия свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает чертёж с данными $AH=4$ см и $HB=9$ см и спрашивает: "Можно ли сразу найти высоту $CH$, если она не является катетом исходного треугольника? Какие известные формулы здесь не дают прямого ответа? Предложите гипотезу о связи высоты с двумя частями гипотенузы." | Обсуждают в парах, отвечают: «Теорема Пифагора требует знать катеты», предлагают гипотезу $CH^2=AH\cdot HB$. |
2 мин | Учитель фиксирует гипотезы и формулирует план: "Нам нужно доказать или опровергнуть гипотезу. Сначала установим подобие треугольников, затем составим пропорцию и выразим искомый отрезок. В конце проверим свойство на числовом примере." | Записывают цель и план: доказать свойство, вывести формулу, применить её к задаче. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение стало нашей задачей: мы должны получить формулу не догадкой, а рассуждением через подобие. Переходим к открытию нового знания."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (8 мин)
Цель этапа: вывести свойства пропорциональных отрезков через подобие треугольников и наблюдение за цифровой моделью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель открывает интерактивную модель и говорит: "На экране прямоугольный треугольник $ABC$ и высота $CH$ к гипотенузе $AB$. Я буду перемещать точку $H$, а вы наблюдайте за величинами $AH$, $HB$ и $CH$. Как изменяются отрезки? Какая связь сохраняется?" | Наблюдают за изменением модели, называют величины, формулируют наблюдение: «квадрат высоты связан с произведением частей гипотенузы». |
3 мин | Учитель направляет доказательство: "Рассмотрите треугольники $ACH$ и $BCH$. У них есть равные прямые углы. Кроме того, один острый угол первого треугольника равен острому углу исходного треугольника, а второй — другому. Значит, треугольники подобны. Составьте пропорцию, сопоставив высоту $CH$ и отрезки $AH$, $HB$." | Доказывают подобие по двум углам, составляют пропорцию и получают $\frac{AH}{CH}=\frac{CH}{HB}$, затем $CH^2=AH\cdot HB$. |
2 мин | Учитель записывает на доске: "Если $ABC$ — прямоугольный треугольник, $CH$ — высота к гипотенузе, $AH=m$, $HB=n$, $AB=c$, то $h^2=mn$, $AC^2=cm$, $BC^2=cn$. Первая формула относится к высоте, две следующие — к катетам. Внимательно сопоставляйте букву и отрезок." | Записывают три свойства в тетрадь, подписывают на чертеже, какой отрезок обозначает каждая буква. |
Запись в тетрадях
В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе делит её на отрезки $m$ и $n$: $h^2=mn$. Для катетов: $a^2=cm$, $b^2=cn$, где $c$ — гипотенуза, а $m$ и $n$ — соответствующие проекции катетов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не просто запомнили три формулы, а вывели их из подобия треугольников. Теперь проверим первую формулу на коротком примере и научимся проговаривать выбор каждого действия."
Этап 5. Первичное закрепление (6 мин)
Цель этапа: научить применять формулу $h^2=mn$ по алгоритму с проговариванием рассуждений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает задачу: "В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе делит её на отрезки $4$ см и $9$ см. Найдите высоту к гипотенузе." Учитель спрашивает: "Что известно? Что требуется найти? Какую формулу выбираем и почему?" | Составляют краткую запись, отвечают: «Известны $m=4$ см и $n=9$ см, требуется $h$; выбираем $h^2=mn$, потому что ищем высоту». |
3 мин | Учитель просит одну пару решить задачу у доски, а остальные пары — в тетрадях: "Запишите формулу, подставьте числа, найдите положительное значение корня и укажите единицу измерения. После решения сравните ответ с соседом." | Решают: $h^2=4\cdot9=36$, $h=6$ см; сравнивают запись, исправляют отсутствие единиц или отрицательный корень. |
Эталон решения
Дано: $m=4$ см, $n=9$ см. По свойству высоты $h^2=mn$. Тогда $h^2=4\cdot9=36$, поэтому $h=\sqrt{36}=6$ см. Отрицательное значение не выбирается, так как длина отрезка положительна.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает: сначала определяем положение искомого отрезка, затем выбираем формулу и только после этого вычисляем. Сейчас каждый проверит, насколько самостоятельно умеет применять свойства."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (7 мин)
Цель этапа: диагностировать умение выбирать формулу и решать задания разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке есть три уровня. Обязательный уровень выполняют все. Затем можно выбрать повышенный или дополнительный уровень. Работайте самостоятельно, но после решения обязательно выполните проверку по памятке." | Выбирают карточку или уровень, подписывают работу и приступают к решению. |
4 мин | Учитель раздаёт карточки. Базовое задание: «Части гипотенузы равны $9$ см и $16$ см. Найдите высоту». Повышенное: «Гипотенуза равна $25$ см, проекция одного катета — $9$ см. Найдите этот катет». Дополнительное: «Части гипотенузы равны $4$ см и $9$ см. Найдите высоту и катеты, используя свойства пропорциональных отрезков». Учитель адресно задаёт наводящие вопросы, не сообщая готовую формулу. | Решают выбранные задания. Для базового получают $h=12$ см; для повышенного используют $a^2=25\cdot9$, получают $a=15$ см; для дополнительного находят $h=6$ см, $a=\sqrt{13\cdot4}$ и $b=\sqrt{13\cdot9}$ при гипотенузе $13$ см. |
2 мин | Учитель выводит на экран эталон формул и критерии самопроверки: «Формула выбрана верно — 1 балл, вычисления выполнены — 1 балл, единицы и ответ записаны — 1 балл». | Сверяют решение с эталоном, отмечают ошибки другим цветом, выставляют себе количество баллов и при необходимости задают вопрос. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "У каждого сегодня был маршрут своей сложности, но критерии качества одинаковы: верная модель, формула, вычисления и проверка. Осталось связать свойство с реальной задачей и объяснить, зачем оно нужно."
Этап 7. Межпредметная практическая задача и обсуждение (4 мин)
Цель этапа: применить новое свойство в контексте технологии и физики строительства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам задачу: "В каркасе скатной крыши высота, опущенная из прямого угла на стропильную балку, делит её на отрезки $2{,}25$ м и $4$ м. Какой длины должна быть эта высота? Объясните, почему расчёт полезнее приблизительного измерения." | В парах выделяют данные, применяют $h^2=mn$, получают $h^2=2{,}25\cdot4=9$, $h=3$ м; формулируют: «расчёт помогает заранее подобрать материал и проверить проект». |
2 мин | Учитель связывает геометрию с технологией и физикой: "В инженерных расчётах важно находить величины, которые трудно измерить непосредственно. Геометрическая модель позволяет заменить реальную конструкцию идеализированным треугольником. Какие данные нужно контролировать, чтобы расчёт был надёжным?" | Называют точность измерения, правильность чертежа, единицы, соответствие конструкции прямоугольному треугольнику. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что формула работает не только в учебной задаче: она помогает рассуждать о конструкции и контролировать расчёт. Завершим урок рефлексией и определим, что уже получается уверенно."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать результат, выявить затруднения и объяснить порядок дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете по чертежу выбрать формулу; жёлтую — если формулу выбираете с подсказкой; красную — если пока не различаете высоту и проекции. Честный сигнал нужен не для отметки, а для планирования помощи." | Поднимают карточку, фиксируют в листе самооценки пункт, который требует повторения. |
1 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что нового вы узнали? Какая ошибка встречается чаще всего? Как проверить, что найденный отрезок имеет смысл?" | Отвечают: «$h^2=mn$», «нельзя путать катет, высоту и проекцию», «нужно проверить единицы и положительность длины». |
1 мин | Учитель кратко объявляет домашнее задание трёх уровней и просит перед выходом ответить на контрольный вопрос: "Если $AH=5$ см и $HB=20$ см, чему равна высота к гипотенузе?" | Записывают задание, отвечают: $h^2=5\cdot20=100$, $h=10$ см. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены базовое и выбранное задание повышенного или дополнительного уровня; правильно определены элементы чертежа, формулы записаны без ошибок, вычисления и единицы указаны.
- «4» — базовое задание решено верно, в повышенном или дополнительном задании допущена одна вычислительная ошибка при правильном выборе формулы; рассуждение в основном полное.
- «3» — базовое задание выполнено с помощью памятки, формула выбрана верно, но допущены ошибки в вычислениях, записи корня или единицах измерения.
- Ниже базового уровня — требуется повторить обозначения элементов чертежа и алгоритм выбора формулы вместе с учителем.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как по чертежу определить, что нужно применять $h^2=mn$? | Выявление понимания связи между формулой и положением искомого отрезка. |
Какой шаг алгоритма решения оказался самым сложным? | Выявление точки затруднения: чтение условия, выбор формулы или вычисления. |
Как вы проверяли, что полученный ответ возможен? | Формирование навыка самоконтроля и оценки правдоподобия результата. |
Какой уровень задания вы готовы выбрать на следующем уроке? | Осознание индивидуального продвижения и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что высота к гипотенузе связана с двумя её частями равенством $h^2=mn$, а катеты — с гипотенузой и их проекциями. Главная ошибка, которую важно не допускать, — подставлять числа в формулу, не определив, какой отрезок обозначен каждой буквой. Используйте алгоритм: чертёж, обозначения, формула, вычисления, проверка. На следующем уроке мы продолжим решать задачи и рассмотрим более сложные конфигурации прямоугольных треугольников."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на нахождение высоты к гипотенузе по двум её отрезкам, используя формулу $h^2=mn$; в каждой задаче выполнить чертёж и записать единицы измерения. | Закрепляет распознавание элементов чертежа и прямое применение основной формулы; при проверке смотреть на соответствие данных обозначениям. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на нахождение катета по гипотенузе и его проекции с применением $a^2=cm$ или $b^2=cn$, включая одну задачу с практическим контекстом. | Формирует умение выбирать нужное свойство, а не механически использовать формулу высоты; при проверке учитывать обоснование выбора формулы. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу, в которой известны две части гипотенузы и требуется найти высоту и один катет; добавить краткое объяснение применения результата в строительстве или техническом моделировании. | Развивает создание математической модели, перенос знания в межпредметный контекст и проверку взаимосвязи найденных величин. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как называется отрезок, на который опускается высота из вершины прямого угла? Какая формула связывает высоту с двумя частями гипотенузы? Почему из уравнения $h^2=mn$ выбирают только неотрицательное значение корня?»
