Доказательство подобия треугольников по трём признакам
Цели и задачи
Три признака подобия треугольников
- Цель по SMART: за 20 минут систематизировать три признака подобия треугольников и научиться выбирать подходящий признак для доказательства.
- Образовательная задача: повторить первый, второй и третий признаки подобия треугольников и условия их применения.
- Развивающая задача: учиться выделять равные углы, пропорциональные стороны, составлять пропорции и обосновывать каждый шаг доказательства.
- Коммуникативная задача: обсуждать ход доказательства в паре, формулировать наводящие вопросы и аргументировать выбор признака.
- Воспитательная задача: развивать аккуратность математической записи, логическое мышление и ответственное отношение к самостоятельной проверке.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к доказательным задачам и понимают роль логического обоснования в математике.
- Осознают ценность точной записи, проверки результата и последовательного рассуждения.
- Получают возможность выбрать уровень дополнительного задания и оценить собственный прогресс.
Метапредметные
- Выделяют существенные данные условия, соотносят их с известным признаком подобия и строят краткий план решения.
- Составляют математическую модель ситуации в виде пропорции и проверяют соответствие полученного результата условию.
- Работают в паре: задают уточняющие вопросы, сравнивают доказательства и корректно формулируют замечания.
- Осуществляют самоконтроль по алгоритму: соответствие вершин, равенство отношений сторон, вывод о подобии.
Предметные
- Знать формулировку третьего признака подобия треугольников: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.
- Уметь определять соответствующие стороны и вершины подобных треугольников.
- Уметь находить коэффициент подобия и использовать формулу отношения площадей подобных треугольников.
- Уметь находить неизвестную сторону через пропорцию, составленную по соответствующим сторонам.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют смыслообразование через понимание того, что доказательство подтверждает истинность геометрического утверждения.
- Оценивают собственную готовность применять признак подобия в новой задаче.
- Принимают право одноклассника на иной способ рассуждения при условии его математической обоснованности.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель фрагмента урока и намечают последовательность доказательства.
- Планируют действия: выписать стороны, установить соответствие, проверить пропорциональность, сделать вывод.
- Сверяют доказательство с критериями и исправляют пропуски в обосновании.
- Оценивают результат по листу самопроверки и формулируют затруднение.
Познавательные УУД
- Извлекают информацию из чертежа и текстового условия.
- Сравнивают отношения соответствующих сторон и находят общий коэффициент.
- Преобразуют геометрическое условие в пропорцию и используют её для вычисления.
- Строят логическую цепочку доказательства от данных к выводу о подобии.
Коммуникативные УУД
- Формулируют ответ на наводящие вопросы учителя полным математическим предложением.
- Обсуждают в паре, какие вершины являются соответствующими.
- Аргументируют выбор пропорции и уточняют рассуждение партнёра.
- Соблюдают правила краткого, точного и уважительного математического диалога.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить чертёж двух треугольников для основной задачи: треугольники ABC и DEF со сторонами AB = 6 см, BC = 9 см, AC = 12 см; DE = 4 см, EF = 6 см, DF = 8 см.
- Вывести на доску или экран формулировку третьего признака подобия и алгоритм доказательства из четырёх шагов.
- Распечатать карточки с тремя задачами — по одной на пару; предусмотреть базовый и повышенный варианты.
- Подготовить лист самопроверки на каждого ученика с пунктами: соответствие вершин, три отношения сторон, вывод, ответ.
- Раздать каждой паре линейку и короткую карточку с условием основной задачи.
- На доске заранее оставить место для записи отношений $AB/DE$, $BC/EF$, $AC/DF$ и коэффициента подобия.
- Подготовить таймер на 2, 3, 7, 5 и 3 минуты для соблюдения темпа фрагмента урока.
- Предусмотреть слайд или карточку с типичными ошибками: перепутаны соответствующие стороны, пропущено обоснование, неверно использована формула площадей.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и актуализация знаний (2 мин)
Цель этапа: актуализировать три признака подобия треугольников и показать, по каким данным выбирают нужный признак: по двум углам, по двум сторонам и углу между ними или по трём пропорциональным сторонам.
Этап | Действия учителя | Действия ученика |
|---|---|---|
1 мин | Учитель показывает на экране два треугольника и говорит: "Посмотрите на чертёж. Перед нами два треугольника, которые отличаются размером, но могут иметь одинаковую форму. Вспомните, какие элементы должны быть связаны у подобных треугольников. Какие углы сравниваются? Что происходит с соответствующими сторонами?" | Рассматривают чертёж и формулируют: "Соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны". |
1 мин | Учитель применяет приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала за 20 секунд определите, какие стороны нужно сравнить, затем обсудите решение с соседом. Важно не просто назвать отношение, а объяснить, почему стороны считаются соответствующими." Учитель принимает 2–3 ответа. | Сначала самостоятельно выделяют пары сторон, затем обсуждают их в парах и сообщают: "Стороны нужно сопоставлять по положению напротив соответствующих углов или по порядку вершин". |
Завершение этапа: учитель напоминает: первый признак — по двум равным углам; второй — по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними; третий — по трём пропорциональным сторонам.
Этап 2. Постановка проблемы и формулирование алгоритма (3 мин)
Цель этапа: сравнить условия трёх признаков и выбрать третий признак для основной задачи.
Этап | Действия учителя | Действия ученика |
|---|---|---|
1 мин | Учитель записывает на доске условие: $AB=6$ см, $BC=9$ см, $AC=12$ см; $DE=4$ см, $EF=6$ см, $DF=8$ см. Учитель спрашивает: "Можно ли сразу утверждать, что треугольники подобны, если мы видим похожие числа? Какое действие необходимо выполнить?" | Отвечают: "Нужно составить отношения соответствующих сторон и проверить, равны ли они". |
2 мин | Учитель задаёт наводящие вопросы: "Как понять, какие стороны соответствуют друг другу? Что общего у отношений $6/4$, $9/6$ и $12/8$? Какой вывод можно будет сделать после проверки всех трёх отношений?" Затем формулирует: "Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, треугольники подобны по третьему признаку." | Называют соответствия $AB\text{ и }DE$, $BC\text{ и }EF$, $AC\text{ и }DF$, вычисляют общий множитель $1{,}5$ и формулируют алгоритм: сравнить три пары сторон, установить единый коэффициент, сделать вывод о подобии. |
Запись в тетрадях
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Ученики записывают: «Первый признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны. Второй признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны, то треугольники подобны. Третий признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны». Алгоритм выбора: определить данные условия, установить соответствие элементов и выбрать подходящий признак.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм у нас есть. Теперь применим его к полной задаче и оформим доказательство так, чтобы каждый переход был понятен и обоснован."
Этап 3. Доказательство по третьему признаку (7 мин)
Цель этапа: совместно выполнить и оформить доказательство подобия двух треугольников по трём пропорциональным сторонам.
Этап | Действия учителя | Действия ученика |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки и произносит условие: "Даны треугольники ABC и DEF. Известно, что $AB=6$ см, $BC=9$ см, $AC=12$ см, а $DE=4$ см, $EF=6$ см, $DF=8$ см. Докажите, что треугольники ABC и DEF подобны. Сначала самостоятельно выпишите пары соответствующих сторон, затем сравните их отношения." | Записывают условие, выделяют соответствия: $AB\leftrightarrow DE$, $BC\leftrightarrow EF$, $AC\leftrightarrow DF$, готовят отношения сторон. |
3 мин | Учитель ведёт эвристическую беседу: "Какое первое отношение получаем? Чему равны остальные? Достаточно ли проверить только два отношения? Почему? Какой признак мы применяем?" Учитель фиксирует на доске запись и просит одного ученика продолжить доказательство. | Отвечают: "$AB/DE=6/4=3/2$, $BC/EF=9/6=3/2$, $AC/DF=12/8=3/2$"; объясняют: "Нужно проверить все три пары сторон, потому что третий признак требует пропорциональности трёх сторон". |
2 мин | Учитель предлагает оформить вывод: "Запишите доказательство связным текстом. Следите за порядком вершин в записи подобия. Почему нельзя написать порядок букв случайно?" После записи учитель предлагает соседу проверить доказательство по листу самопроверки. | Оформляют доказательство, записывают $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, обмениваются тетрадями и отмечают наличие трёх отношений и ссылки на третий признак. |
Эталон решения
Сопоставим стороны: $AB\leftrightarrow DE$, $BC\leftrightarrow EF$, $AC\leftrightarrow DF$. Тогда $AB/DE=6/4=3/2$, $BC/EF=9/6=3/2$, $AC/DF=12/8=3/2$. Следовательно, $AB/DE=BC/EF=AC/DF$. Три стороны треугольника ABC пропорциональны трём соответствующим сторонам треугольника DEF. По третьему признаку подобия треугольников $\triangle ABC\sim\triangle DEF$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы доказали подобие не по внешнему виду чертежа, а по равенству трёх отношений соответствующих сторон. Теперь проверим, умеем ли мы использовать найденный коэффициент для вычислений."
Этап 4. Применение подобия: коэффициент, площади и неизвестная сторона (5 мин)
Цель этапа: применить коэффициент подобия и пропорцию при решении двух дополнительных задач.
Этап | Действия учителя | Действия ученика |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу 1: "Стороны одного треугольника равны 5 см, 7 см и 9 см, а стороны подобного ему треугольника равны 10 см, 14 см и 18 см. Найдите коэффициент подобия большего треугольника относительно меньшего и отношение площадей этих треугольников." Наводящие вопросы: "Во сколько раз изменились стороны? Как связаны площади подобных фигур с коэффициентом подобия?" | Определяют $k=10/5=2$. Используют формулу $S_2/S_1=k^2$ и получают $S_2/S_1=4$. Формулируют: "Площадь большего треугольника в 4 раза больше". |
3 мин | Учитель предлагает задачу 2: "Треугольники ABC и DEF подобны, причём $AB/DE=3/2$. Если $BC=12$ см, найдите соответствующую сторону $EF$." Учитель спрашивает: "Какие стороны соответствуют? Какую пропорцию составим? Где в пропорции должна находиться неизвестная величина?" | Устанавливают $BC\leftrightarrow EF$, составляют $BC/EF=3/2$, получают $12/EF=3/2$, откуда $2\cdot12=3EF$, $EF=8$ см. Выполняют проверку: $12/8=3/2$. |
Эталон решения
Задача 1: $k=10/5=2$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $S_2/S_1=k^2=2^2=4$. Задача 2: $BC/EF=3/2$, поэтому $12/EF=3/2$. Перемножаем крест-накрест: $24=3EF$, откуда $EF=8$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы использовали подобие в трёх направлениях: нашли коэффициент, перешли от коэффициента к отношению площадей и составили пропорцию для неизвестной стороны. Осталось быстро проверить, какие ошибки могут нарушить такое решение."
Этап 5. Рефлексия и самопроверка (3 мин)
Цель этапа: выявить степень освоения алгоритма и зафиксировать типичные затруднения.
Этап | Действия учителя | Действия ученика |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт лист самопроверки и говорит: "Поставьте знак плюс, если вы можете выполнить действие без подсказки: определить соответствующие стороны; составить три отношения; назвать третий признак; найти коэффициент; использовать формулу отношения площадей." | Отмечают пункты листа самопроверки, выделяют один пункт, который требует повторения. |
1 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что является главным условием третьего признака? Почему нельзя сравнивать стороны в произвольном порядке? Как изменится площадь, если коэффициент подобия равен 3?" | Отвечают: "Три пары соответствующих сторон должны быть пропорциональны"; "При случайном порядке пропорция будет неверной"; "Площадь увеличится в 9 раз". |
1 мин | Учитель завершает фрагмент: "Сформулируйте одним предложением, чему научились сегодня. Если вы уверенно доказали подобие и составили пропорции, выберите повышенную задачу на следующем этапе урока; если есть затруднение, начните с алгоритма на доске." | Формулируют: "Я научился доказывать подобие по трём сторонам и применять коэффициент подобия"; выбирают уровень дальнейшего задания. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — доказательство содержит правильное соответствие сторон, все три равных отношения, ссылку на третий признак и верные ответы в обеих дополнительных задачах.
- "4" — доказательство в целом верное, но допущена одна неточность в записи порядка вершин или вычислении, исправленная после проверки; задача на пропорцию решена верно.
- "3" — правильно сформулирован третий признак и составлено хотя бы одно нужное отношение, но в доказательстве пропущено обоснование или допущена ошибка в применении коэффициента и отношения площадей.
Типичные ошибки при применении трёх признаков и способы коррекции
- Перепутаны признаки. Коррекция: сопоставить данные задачи с памяткой «два угла — первый; две стороны и угол между ними — второй; три стороны — третий».
- При первом признаке учащийся пытается доказать пропорциональность сторон. Коррекция: достаточно установить равенство двух соответствующих углов.
- При втором признаке взят угол, не заключённый между пропорциональными сторонами. Коррекция: выделить стороны и проверить, что общий угол расположен между ними.
- При третьем признаке проверены только два отношения сторон. Коррекция: записать все три отношения и сравнить их с одним коэффициентом.
- Перепутаны соответствующие элементы или порядок вершин. Коррекция: отметить соответствующие вершины и стороны цветом, затем записать подобие в согласованном порядке.
- Отношение площадей принято равным коэффициенту подобия. Коррекция: использовать формулу $S_2/S_1=k^2$.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как определить, какие стороны двух треугольников являются соответствующими? | Проверка понимания соответствия вершин и сторон. |
Какие три равенства или отношения нужно записать для доказательства по третьему признаку? | Выявление понимания структуры доказательства. |
Что было сложнее: доказать подобие или применить пропорцию? | Выявление точки затруднения в алгоритме. |
Как изменится площадь подобных треугольников при коэффициенте подобия $k=3$? | Проверка осознания связи площади с квадратом коэффициента. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что подобие треугольников нужно не угадывать по рисунку, а доказывать через пропорциональность соответствующих сторон. Особенно внимательно следите за порядком вершин и не забывайте, что площади изменяются в квадрате коэффициента подобия. Если в пропорции возникает неизвестная сторона, сначала установите соответствие, а затем выполняйте вычисления. На следующем уроке мы продолжим решать задачи, в которых подобие помогает находить элементы треугольников и обосновывать геометрические построения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на проверку подобия треугольников по третьему признаку: в каждой задаче записать соответствие сторон, три отношения и вывод о подобии. | Закрепляет алгоритм доказательства; при проверке обратить внимание на порядок соответствующих сторон и наличие полного вывода. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи: в первой найти коэффициент подобия и отношение площадей, во второй найти неизвестную сторону по пропорции соответствующих сторон. | Формирует умение применять подобие к вычислениям; проверить правильность направления коэффициента и преобразования пропорции. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на доказательство подобия двух треугольников по третьему признаку, подобрать согласованные длины сторон и привести полное решение. | Развивает умение создавать математическую модель и самостоятельно контролировать непротиворечивость условия. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: "Назовите третий признак подобия треугольников. Сколько отношений сторон нужно проверить? Как связаны коэффициент подобия и отношение площадей? Как проверить найденную неизвестную сторону?"
