Подобие треугольников и коэффициент подобия
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать подобные треугольники, устанавливать соответствие их вершин и вычислять коэффициент подобия по отношениям соответствующих сторон не менее чем в трёх учебных ситуациях.
- Сформировать представление о подобных треугольниках как о фигурах одинаковой формы, но, возможно, разного размера.
- Научиться записывать пропорции соответствующих сторон и находить коэффициент подобия.
- Развивать умение анализировать геометрический чертёж, выдвигать гипотезу, обосновывать ответ и проверять результат.
- Воспитывать аккуратность математической записи, готовность сотрудничать и уважать аргументированное мнение одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Понимать практическую ценность подобия при создании чертежей, карт, макетов и измерении недоступных расстояний.
- Проявлять познавательный интерес к установлению закономерностей между геометрическими фигурами.
- Осознавать необходимость точности и последовательности при выполнении геометрических построений.
- Оценивать собственный вклад в парную и групповую работу.
Метапредметные
- Извлекать данные из чертежа и структурировать их в таблице соответствующих сторон.
- Формулировать учебную проблему, выдвигать гипотезу и проверять её на конкретных примерах.
- Использовать математическую речь для объяснения выбора коэффициента подобия.
- Планировать решение, выполнять самопроверку и корректировать обнаруженные ошибки.
- Сотрудничать в паре, сравнивать способы решения и аргументированно выбирать верный.
Предметные
- Знать определение подобных треугольников и обозначение коэффициента подобия.
- Уметь устанавливать соответствие вершин и сторон подобных треугольников.
- Уметь записывать равенство отношений соответствующих сторон.
- Уметь вычислять коэффициент подобия по двум соответствующим сторонам и находить неизвестную сторону.
- Уметь объяснять, почему коэффициент подобия зависит от выбранного порядка записи треугольников.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют смыслообразование через понимание применения подобия в архитектуре, картографии и инженерии.
- Осуществляют самоопределение при выборе уровня задания.
- Формируют ответственное отношение к точности чертежа и записи пропорций.
- Осознают ценность совместного поиска математического решения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы с коэффициентом подобия.
- Планируют последовательность: определить соответствие, записать отношение, вычислить коэффициент.
- Сверяют решение с эталоном и находят ошибку в порядке соответствующих сторон.
- Оценивают степень освоения алгоритма по листу самооценки.
- Корректируют решение после обсуждения с партнёром.
Познавательные УУД
- Сравнивают форму и размеры двух треугольников.
- Выделяют соответствующие элементы по условию и чертежу.
- Строят математическую модель ситуации в виде пропорции.
- Анализируют ошибочные записи отношений.
- Делают вывод о связи коэффициента подобия и длин соответствующих сторон.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с использованием геометрических терминов.
- Задают партнёру уточняющие вопросы о соответствии вершин.
- Аргументируют выбор отношения сторон.
- Распределяют роли при парной работе.
- Корректно сравнивают разные способы решения и разрешают разногласия на основе чертежа.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с фотографией двух одинаковых по форме предметов разных размеров, двумя парами треугольников и итоговой схемой алгоритма.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать лист самооценки по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить раздаточные листы с изображениями треугольников ABC и A₁B₁C₁, где указаны длины соответствующих сторон.
- Вывесить на доске памятку: «1. Установи соответствие. 2. Запиши отношение соответствующих сторон. 3. Вычисли коэффициент. 4. Проверь порядок записи».
- Подготовить цветные маркеры или магнитные полоски для выделения соответствующих сторон.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, доску и три маркера.
- Заранее записать на доске тему урока и оставить место для определения и формулы коэффициента подобия.
- Подготовить карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор» — по одному комплекту на парту.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл изучаемого понятия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два изображения: маленький макет здания и его увеличенную модель. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём с вопроса, который встречается у архитекторов, дизайнеров, картографов и инженеров. Посмотрите на изображения: размеры разные, но форма, кажется, сохраняется. Как можно описать такую связь математически?» | Рассматривают изображения, формулируют предположения: «Фигуры похожи», «Их стороны увеличены в одно и то же число раз». |
2 мин | Учитель объявляет тему: «Сегодня мы проверим, достаточно ли внешнего сходства, узнаем точное определение подобных треугольников и научимся находить коэффициент подобия. В конце урока вы сможете объяснить, как по двум сторонам определить масштаб изменения фигуры». | Записывают тему в тетради, формулируют ожидаемый результат: «Научиться находить коэффициент подобия и неизвестную сторону». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одинаковая форма может сохраняться при изменении размера. Теперь проверим, какие признаки должны выполняться, чтобы назвать два треугольника подобными».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о треугольнике, пропорции и соответствующих элементах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске два треугольника ABC и A₁B₁C₁. «Назовите элементы треугольника, которые мы сравниваем при изучении его формы. Какие стороны называются соответствующими, если вершины сопоставлены A и A₁, B и B₁, C и C₁?» | Отвечают: «Стороны и углы». Называют соответствующие пары: «AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁». |
2 мин | Учитель записывает на доске отношение $\frac{6}{3}=\frac{10}{5}$ и задаёт вопросы: «Что называют пропорцией? Как проверить, что два отношения равны? Почему важно не перепутать числитель и знаменатель?» | Объясняют равенство отношений, называют основное свойство пропорции, отвечают: «Порядок должен быть одинаковым для соответствующих величин». |
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Индивидуально решите: во сколько раз отрезок 4 см больше отрезка 2 см? Затем за минуту сравните ответы с соседом и объясните способ». | Сначала вычисляют $4:2=2$, затем обсуждают в парах и формулируют: «Первый отрезок в 2 раза длиннее второго». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили соответствующие стороны и равные отношения. Следующий шаг — выяснить, какие отношения должны быть у всех сторон двух треугольников».
Этап 3. Выявление проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: создать проблемную ситуацию и вывести учащихся на необходимость определения подобия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует два треугольника: у первого стороны 3 см, 4 см, 5 см; у второго — 6 см, 8 см, 10 см. «Можно ли утверждать, что эти треугольники одинаковой формы? Как это проверить, не измеряя углы транспортиром? Запишите свои предположения». | Сравнивают стороны, вычисляют отношения $\frac{6}{3}$, $\frac{8}{4}$, $\frac{10}{5}$ и замечают, что все равны 2. |
2 мин | Учитель показывает другую пару со сторонами 3 см, 4 см, 5 см и 6 см, 8 см, 9 см. «Здесь два отношения совпали, а третье нет. Достаточно ли двух совпадений? Какое правило нам необходимо сформулировать?» Учитель фиксирует версии на доске. | Обсуждают в парах, отвечают: «Для подобия нужно проверить соответствие всех сторон»; формулируют цель: «Узнать определение подобных треугольников и алгоритм нахождения коэффициента». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема поставлена: нужно отличить точное подобие от простого внешнего сходства. Сейчас мы исследуем пары треугольников и сами сформулируем определение».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформулировать определение подобных треугольников и вывести понятие коэффициента подобия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель объединяет учащихся в пары и раздаёт карточки с двумя треугольниками. «Выделите цветом соответствующие стороны. Для каждой пары вычислите отношения длин первого треугольника ко второму. Запишите наблюдение: все ли отношения одинаковы?» | Выделяют соответствующие стороны, составляют отношения и записывают, например: $\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{10}{5}=2$. |
3 мин | Учитель организует «Снежный ком»: «Сначала каждый сформулируйте вывод, затем сравните его с партнёром. После этого две пары объединяются и выбирают наиболее точную формулировку». Учитель принимает варианты и уточняет терминологию. | Индивидуально формулируют вывод, обсуждают его в паре и группе из четырёх человек. Предлагают: «Треугольники подобны, если соответствующие стороны пропорциональны, а соответствующие углы равны». |
2 мин | Учитель записывает на доске определение: «Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны». «Обозначим: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Что означает порядок вершин?» | Записывают определение и отвечают: «Первая вершина соответствует первой, вторая — второй, третья — третьей; значит, AB соответствует A₁B₁». |
2 мин | Учитель выводит формулу: «Если отношение каждой стороны первого треугольника к соответствующей стороне второго одинаково, это число называют коэффициентом подобия. Запишем $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$. Если $k>1$, первый треугольник больше второго; если $0<k<1$, первый меньше». | Записывают формулу и пояснение. На примере $AB=9$ см, $A_1B_1=3$ см называют $k=3$ и объясняют: «Первый треугольник увеличен относительно второго в 3 раза». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Подобные треугольники имеют соответственно равные углы и пропорциональные соответствующие стороны. Коэффициент подобия — число $k$, равное отношению соответствующих сторон: $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили определение и формулу. Теперь проверим новое знание на конкретной задаче и обязательно проговорим каждый шаг алгоритма».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм установления соответствия и вычисления коэффициента подобия с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает условие: «Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны. Известно: AB=12 см, BC=15 см, AC=18 см; A₁B₁=4 см, B₁C₁=5 см, A₁C₁=6 см. Найдите коэффициент подобия первого треугольника ко второму». «Назовите первый шаг и объясните, почему нельзя сразу делить любые стороны». | Определяют соответствующие стороны по записи треугольников, составляют $k=\frac{12}{4}=3$, проверяют по другим сторонам. |
2 мин | Учитель просит одну пару представить решение, а остальные используют приём «Две звезды и пожелание»: «Назовите два удачных шага и один совет по улучшению записи». | Озвучивают решение: «Все отношения равны 3». Формулируют замечания: «Нужно указать соответствие вершин», «Следует записать проверку по второй стороне». |
2 мин | Учитель даёт короткую задачу на доске: «Коэффициент подобия треугольника ABC к треугольнику A₁B₁C₁ равен 2. Сторона A₁B₁ равна 7 см. Найдите AB». «Какую формулу преобразуем?» | Записывают $\frac{AB}{A_1B_1}=2$, находят $AB=2\cdot7=14$ см, объясняют выбор действия. |
Эталон решения
1. Устанавливаем соответствие: $AB\leftrightarrow A_1B_1$. 2. Используем формулу $k=\frac{AB}{A_1B_1}$. 3. Подставляем данные: $2=\frac{AB}{7}$. 4. Умножаем обе части на 7: $AB=14$ см. 5. Ответ: $14$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм работает только при правильном соответствии сторон. Сейчас каждый самостоятельно проверит, умеет ли применять его без подсказки партнёра».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение определения и коэффициента подобия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки и объясняет дифференциацию: «Выберите зелёную, жёлтую или синюю карточку. Зелёная содержит базовые задания, жёлтая — задачу на неизвестную сторону, синяя — задачу с анализом ошибки. Выбор уровня — ваша ответственность». | Выбирают уровень карточки, подписывают работу и читают критерии выполнения. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: «Для сторон 5 см, 7 см, 9 см и 10 см, 14 см, 18 см определите, подобны ли треугольники при указанном соответствии». Повышенный: «При $k=\frac{3}{2}$ сторона второго треугольника равна 8 см. Найдите соответствующую сторону первого». Дополнительный: «Ученик записал $k=\frac{4}{10}$ вместо $\frac{10}{4}$. Объясните, как изменился смысл коэффициента». | Решают индивидуально, записывают отношения и вывод. Для базового задания проверяют равенство трёх отношений. Для повышенного получают $12$ см. В дополнительном объясняют, что коэффициенты взаимно обратны и зависят от порядка треугольников. |
2 мин | Учитель выводит на экран эталон: «Сверьте не только ответ, но и соответствие сторон, запись пропорции и единицы измерения. Ошибку подчеркните красным, рядом запишите исправление». | Выполняют самопроверку, исправляют ошибки, отмечают результат в листе самооценки: «могу самостоятельно», «нужна тренировка» или «нужна помощь». |
Эталон решения
Для базового задания: $\frac{10}{5}=2$, $\frac{14}{7}=2$, $\frac{18}{9}=2$. Все отношения равны, поэтому треугольники подобны, $k=2$. Для повышенного задания: $k=\frac{x}{8}=\frac{3}{2}$, поэтому $x=8\cdot\frac{3}{2}=12$ см. В дополнительном задании запись $\frac{4}{10}$ означает коэффициент второго треугольника к первому, а не первого ко второму.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проверка показала, что главное затруднение связано не с вычислением, а с порядком соответствующих сторон. Включим новый способ в систему знаний и свяжем его с реальной задачей масштаба».
Этап 7. Включение в систему знаний и реальный контекст (4 мин)
Цель этапа: применить понятие подобия в ситуации масштабирования и обобщить алгоритм.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает изображение архитектурного макета и говорит: «На чертеже сторона треугольного фасада равна 6 см, а в реальном проекте соответствующая сторона равна 18 м. Во сколько раз увеличен реальный объект? Сначала обсудите единицы измерения». | Переводят 18 м в 1800 см, вычисляют $k=\frac{1800}{6}=300$ и отвечают: «Реальный объект в 300 раз больше чертежа». |
2 мин | Учитель просит составить общий алгоритм: «Назовите четыре шага, которые помогут решить любую задачу на коэффициент подобия. Я фиксирую ответы на доске». | Формулируют: «Установить соответствие; записать отношение; вычислить коэффициент или неизвестную величину; проверить смысл и единицы». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Подобие позволяет переносить свойства фигуры на другой масштаб. Осталось зафиксировать, что именно вы сегодня открыли и какой шаг ещё требует тренировки».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: организовать осмысление результата, выявить затруднения и дать разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить определение и найти коэффициент; жёлтую — если нужна тренировка; красную — если пока требуется помощь. Один вопрос можно записать на стикере». | Поднимают карточки, записывают вопрос или затруднение: «Как определить соответствующие стороны, если треугольники названы в другом порядке?» |
2 мин | Учитель раздаёт домашнее задание и напоминает: «Перед тем как выйти, ответьте письменно на контрольный вопрос: почему при изменении порядка треугольников коэффициент заменяется обратным числом?» | Записывают выбранный уровень задания и отвечают: «Потому что меняются числитель и знаменатель отношения соответствующих сторон». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы не просто запомнили формулу, а вывели её из сравнения сторон. На следующем уроке мы будем использовать подобие для решения более сложных задач и установления признаков подобия треугольников».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, правильно установлено соответствие сторон, коэффициент вычислен без ошибок, решение записано с пояснением и выполнена проверка.
- «4» — верно выполнены основные вычисления и найден коэффициент, но допущена одна неточность в обозначениях, пояснении или проверке.
- «3» — правильно выполнена базовая часть или найден коэффициент в одном примере, однако есть ошибки в установлении соответствия сторон или записи пропорции.
- Ниже базового уровня — не различены соответствующие стороны или не установлена связь между коэффициентом и отношением длин; требуется индивидуальная коррекция алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о подобных треугольниках? | Выявление осознания определения и признаков подобия. |
Какой шаг алгоритма оказался самым важным? | Проверка понимания роли соответствия сторон. |
Что было сложнее: найти коэффициент или найти неизвестную сторону? Почему? | Выявление точек затруднения в применении формулы. |
Какой вопрос вы сможете решить самостоятельно после урока? | Субъективная оценка готовности к дальнейшей работе. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы установили, что подобные треугольники имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны. Мы научились находить коэффициент подобия и использовать его для вычисления неизвестной стороны. Самая частая ошибка — сравнить несоответствующие стороны или поменять порядок треугольников в середине решения. Проверяйте запись по вершинам и обязательно оценивайте смысл полученного числа. На следующем уроке мы продолжим исследовать признаки подобия и решать задачи, в которых подобие помогает находить недоступные расстояния».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на определение подобных треугольников по длинам трёх соответствующих сторон и вычисление коэффициента подобия. В каждой задаче записать соответствие вершин и три отношения сторон. | Закрепляет определение, порядок соответствия и базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на одинаковый порядок записи отношений. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на нахождение неизвестной стороны по коэффициенту подобия, включая один пример, где коэффициент меньше единицы. Записать формулу, преобразование и единицы измерения. | Формирует умение применять коэффициент в прямом и обратном масштабе; при проверке оценить смысл полученного результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу о масштабе чертежа, макета или карты с двумя подобными треугольниками. Привести чертёж, данные, решение и краткое объяснение выбора коэффициента. | Развивает моделирование, создание математической задачи и перенос знания в реальный контекст. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что такое коэффициент подобия? Как определить соответствующие стороны? Что произойдёт с коэффициентом, если поменять порядок треугольников? Как проверить, что два треугольника подобны по длинам сторон?»
