Площадь многоугольника: понятие и основные свойства
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока сформулировать понятие площади многоугольника, назвать и объяснить три основных свойства площадей, различать равные, равновеликие и равносоставленные многоугольники, а также применять свойство аддитивности в простых задачах на разбиение фигур.
- Сформировать представление о площади многоугольника как величине, характеризующей размер части плоскости, ограниченной многоугольником.
- Научить объяснять свойства равных многоугольников, составной площади и площади квадрата через наглядные модели.
- Развивать умение анализировать рисунок, выделять части многоугольника и составлять выражение для его площади.
- Воспитывать точность геометрических рассуждений, самостоятельность при проверке гипотез и готовность аргументировать собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к геометрии как к языку описания форм и размеров объектов окружающего мира.
- Осознают ценность точности, доказательности и последовательности рассуждений.
- Принимают необходимость самостоятельно проверять гипотезы и признавать границы применимости выбранного способа рассуждения.
- Проявляют готовность к сотрудничеству и уважительно относятся к различным вариантам объяснения.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки понятия площади и формулируют вывод по результатам наблюдения над иллюстрациями.
- Читают геометрическую схему, преобразуют её в план решения и используют математическую речь.
- Планируют действия при разбиении многоугольника на части и выполняют самопроверку по эталону.
- Аргументируют ответ в паре и кратко представляют результат классу.
- Используют визуальный материал и цифровую демонстрацию для сравнения фигур.
Предметные
- Знать понятие площади многоугольника как числовой характеристики части плоскости.
- Формулировать свойства: равные многоугольники имеют равные площади; площадь многоугольника, составленного из нескольких многоугольников, равна сумме их площадей; площадь квадрата равна квадрату его стороны.
- Различать равные, равновеликие и равносоставленные многоугольники и объяснять связь между этими понятиями.
- Уметь по рисунку разбивать многоугольник на части и записывать равенство площадей.
- Понимать, что вывод формул площадей многоугольников опирается прежде всего на свойства площадей.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения площади как инструмента решения практических задач.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе уровня задания и способа изображения рассуждения.
- Оценивают собственную готовность применять свойства площадей в новых ситуациях.
- Формируют ответственное отношение к записи математических утверждений и обозначений.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют учебную цель: научиться описывать и применять свойства площадей.
- Планируют последовательность действий при анализе рисунка и разбиении фигуры.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют смысловые ошибки.
- Оценивают степень освоения понятий с помощью листа самооценки и рефлексивного вопроса.
Познавательные УУД
- Сравнивают геометрические фигуры по занимаемой части плоскости, не смешивая площадь с периметром.
- Устанавливают связь между составом фигуры и суммой площадей её частей.
- Классифицируют пары многоугольников как равные, равновеликие или равносоставленные.
- Моделируют рассуждение рисунком, формулой и словесным объяснением.
- Извлекают информацию из схемы, таблицы и краткого устного сообщения.
Коммуникативные УУД
- Формулируют ответ полным предложением, используя термины «площадь», «равновеликие», «равносоставленные».
- Работают в паре по алгоритму «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Задают уточняющие вопросы к объяснению одноклассника.
- Аргументируют выбор свойства и корректно сопоставляют разные способы рассуждения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с изображениями квадрата, двух равных многоугольников, составной фигуры и пары равновеликих фигур.
- Распечатать по одному комплекту на парту: карточки с изображениями равных, равновеликих и равносоставленных многоугольников.
- Подготовить по одному листу самооценки на каждого ученика с пунктами «Я могу определить», «Я могу объяснить», «Мне нужно повторить».
- Подготовить по одной карточке с заданием базового уровня и по одной карточке повышенного уровня на каждую пару.
- Вывесить на доске опорную схему: «равенство фигур → равенство площадей; составная фигура → сумма площадей; квадрат со стороной $a$ → $S=a^2$.»
- Подготовить цветные маркеры, линейки, ножницы и набор бумажных многоугольников для демонстрации разбиения и перекладывания частей.
- Подготовить короткую иллюстрацию измерения площади квадратными единицами без вывода свойства площади квадрата.
- Организовать таймер на 2–3 минуты для парной работы и самостоятельной проверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость понятия площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка должны лежать перед вами. Сегодня мы будем рассуждать не только по готовым формулам, но и выяснять, почему формулы площадей вообще можно строить. Посмотрите на экран: изображены две фигуры, похожие по форме, но одна из них занимает большую часть листа. Как можно описать это различие?" | Проверяют готовность, рассматривают изображения и формулируют предположения: "Одна фигура больше", "Она занимает большую площадь", "Можно сравнить размеры частей плоскости". |
2 мин | Учитель показывает рисунок комнаты, участка и плитки: "Представьте, что нужно узнать, сколько плиток потребуется для пола или сколько краски понадобится для стены. Периметр здесь не отвечает на вопрос полностью. Нам нужна величина, которая показывает размер поверхности внутри границы. Запишите тему урока и сформулируйте, что мы должны сегодня выяснить." | Записывают тему «Площадь многоугольника: понятие и основные свойства», формулируют цель: "Понять, что такое площадь, и научиться использовать её свойства". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что для практических измерений важно знать не длину границы, а размер части плоскости внутри неё. Теперь вспомним, какие геометрические объекты и единицы измерения помогут нам описывать этот размер."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о многоугольниках, равенстве фигур и единицах измерения площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните, что называют многоугольником. Какие элементы многоугольника вы знаете? Чем отличаются равные фигуры от фигур одинакового периметра? Сначала подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом." | Индивидуально формулируют ответ, затем обсуждают в паре и сообщают: "Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной", "У него есть вершины, стороны, углы", "Одинаковый периметр ещё не означает одинаковую площадь". |
3 мин | Учитель показывает на доске квадрат, прямоугольник и ломаную фигуру: "Назовите фигуры. Какими единицами можно измерять длину? А как можно было бы измерять поверхность, если бы у нас были маленькие одинаковые квадраты? Почему единица площади должна быть квадратной?" Учитель фиксирует ключевые слова на доске. | Отвечают: "Длину измеряют сантиметрами, метрами", "Площадь можно измерять квадратными сантиметрами, квадратными метрами", "Квадратная единица удобно покрывает поверхность без промежутков и наложений". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что многоугольник занимает часть плоскости, а площадь удобно измерять квадратными единицами. Но пока мы не сформулировали строгие свойства, которые позволят вычислять площадь сложной фигуры. Именно это станет нашей задачей."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при сравнении площадей и совместно построить план изучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует две фигуры: одна имеет более длинные стороны, но занимает меньшую часть листа: "Можно ли по внешнему виду сразу сказать, какая фигура имеет большую площадь? Можно ли сравнивать площади, не измеряя каждую фигуру целиком? Какие действия могут помочь?" | Сравнивают рисунки, обсуждают варианты: "По виду определить не всегда можно", "Нужно наложить фигуры, разбить их на части или покрыть квадратами". |
2 мин | Учитель записывает план урока: "Предлагаю сегодня: сначала определить, что такое площадь; затем сформулировать два свойства, основанные на наглядном измерении; после этого обсудить площадь квадрата и понятия равновеликих и равносоставленных фигур. Согласны ли вы с таким планом?" | Принимают план, задают уточняющие вопросы, записывают краткий план: понятие площади; свойства; равновеликие и равносоставленные фигуры; применение. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло потому, что одной формы фигуры недостаточно для сравнения её размера. Нам нужны свойства площади и понятия, которые позволят сравнивать фигуры строго. Переходим к короткому объяснению нового материала."
Этап 4. Открытие нового знания. Короткая лекция с иллюстрациями (10 мин)
Цель этапа: ввести понятие площади многоугольника и три основных свойства площадей на основе наглядных моделей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает квадратную сетку и говорит: "Площадь многоугольника — это величина, показывающая, какую часть плоскости занимает многоугольник. За единицу площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице длины. Если выбран квадрат со стороной 1 сантиметр, единицей будет $1\text{ см}^2$. Площадь обозначают буквой $S$. Важно не путать площадь с периметром: периметр описывает границу, а площадь — часть плоскости внутри границы." | Слушают объяснение, рассматривают сетку, записывают определение и обозначение $S$, приводят примеры единиц: "$\text{см}^2$, $\text{м}^2$". |
3 мин | Учитель показывает две наложенные друг на друга равные фигуры: "Первое свойство: равные многоугольники имеют равные площади. Если один многоугольник можно совместить с другим наложением, то они занимают одинаковую часть плоскости. Второе свойство: если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, площади которых не перекрываются, то его площадь равна сумме площадей этих частей. Запишем символически: $S=S_1+S_2+\ldots$." | Записывают два свойства, объясняют их по рисунку, формулируют: "При наложении совпадающих фигур площадь не меняется", "Составную фигуру можно посчитать по частям". |
2 мин | Учитель показывает квадрат, разбитый на $a$ рядов и $a$ столбцов условных единиц: "Третье свойство, которое будет особенно важно дальше: площадь квадрата равна квадрату его стороны, то есть $S=a^2$. Сегодня мы принимаем это свойство на основе наглядного представления об измерении квадратными единицами. Строгое доказательство можно самостоятельно рассмотреть дома тем, кому интересно углубиться." | Рассматривают модель квадрата, объясняют, почему число единичных квадратов связано с произведением длины и ширины, записывают $S=a^2$. |
2 мин | Учитель демонстрирует две фигуры одинаковой площади и фигуры, разрезанные на одинаковые части: "Равновеликие многоугольники имеют равные площади. Равносоставленные многоугольники можно разрезать на одни и те же части и составить из них разные фигуры. Поэтому равносоставленные многоугольники равновелики. Обратное утверждение в общем случае требует отдельного обоснования; сегодня нам важно понимать направление связи." | Сравнивают схемы, формулируют: "Равносоставленные фигуры состоят из одинаковых частей, поэтому их площади равны", записывают связь между понятиями. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Площадь многоугольника — величина, показывающая размер части плоскости, занимаемой многоугольником. Свойства: 1) равные многоугольники имеют равные площади; 2) площадь многоугольника, составленного из нескольких неперекрывающихся многоугольников, равна сумме их площадей; 3) площадь квадрата со стороной $a$ равна $S=a^2$. Равновеликие многоугольники имеют равные площади. Равносоставленные многоугольники составляются из одних и тех же частей, поэтому являются равновеликими.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не набор разрозненных правил, а основу будущих формул. Если фигуру удаётся представить как квадрат или сумму более простых фигур, площадь можно вычислять последовательно. Проверим сейчас, умеем ли мы читать эти свойства по рисунку."
Этап 5. Первичное закрепление. Работа с иллюстрациями (7 мин)
Цель этапа: научить распознавать свойства площадей и объяснять равновеликость и равносоставленность по схеме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с тремя рисунками и объясняет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "На первом рисунке определите, какое свойство иллюстрируется наложением фигур. На втором запишите площадь составной фигуры через площади двух частей. На третьем объясните, почему фигуры равновелики. Сначала каждый сделает пометку, затем пара согласует формулировку." | Работают с карточкой: отмечают рисунок равных фигур, записывают $S=S_1+S_2$, формулируют: "Фигуры равновелики, потому что имеют равные площади", представляют один ответ классу. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Могут ли равновеликие фигуры иметь разную форму? Обязательно ли у равновеликих фигур совпадают периметры? Что нужно проверить, чтобы назвать фигуры равносоставленными?" | Отвечают: "Да, форма может быть разной"; "Нет, периметры могут различаться"; "Нужно увидеть, что обе фигуры составляются из одинаковых частей после разрезания и перекладывания". |
2 мин | Учитель предлагает короткую задачу: "Прямоугольник разбит диагональю на два треугольника. Площадь одного треугольника равна $12\text{ см}^2$. Что можно сказать о площади второго, если треугольники равны? Чему равна площадь прямоугольника?" | Используют первое и второе свойства: отвечают: "Площадь второго треугольника равна $12\text{ см}^2$; площадь прямоугольника равна $12+12=24\text{ см}^2$". |
Эталон решения
Треугольники равны, поэтому по первому свойству их площади равны: $S_2=S_1=12\text{ см}^2$. Прямоугольник составлен из двух неперекрывающихся треугольников, поэтому по второму свойству $S=S_1+S_2=12+12=24\text{ см}^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили оба главных свойства: сначала перенесли равенство фигур в равенство площадей, затем сложили площади частей. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли он выбрать нужное свойство без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание понятия площади и основных свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень самостоятельно. Базовый вариант проверяет знание формулировок, средний требует чтения схемы, повышенный — объяснения связи между понятиями. Работайте индивидуально, запись должна содержать не только ответ, но и название использованного свойства." | Выбирают карточку, записывают фамилию и начинают индивидуальную работу. |
5 мин | Учитель наблюдает и при необходимости напоминает: "В базовом варианте соотнесите утверждение и свойство. В среднем варианте рассмотрите многоугольник, разделённый на прямоугольник и треугольник, и запишите выражение для площади. В повышенном варианте объясните, почему равносоставленные фигуры равновелики." | Решают задания: формулируют свойства, записывают выражение $S=S_1+S_2$, составляют объяснение о сохранении площади при разрезании и перекладывании. |
3 мин | Учитель выводит на доску эталон: "Проверьте не только результат, но и логику. Отметьте зелёным верное решение, жёлтым — решение с неточностью, красным — место, которое нужно разобрать. Ошибку исправьте рядом одной фразой." | Сверяют ответы с эталоном, исправляют ошибки, ставят условный знак самооценки и формулируют индивидуальный вопрос, если затруднение осталось. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что свойство важно не просто помнить, а правильно соотносить с рисунком. Если вы видите составную фигуру, ищите её части и проверяйте, не перекрываются ли они. Осталось обобщить изученное и зафиксировать личный результат."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, выявить затруднения и объяснить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует рефлексию «Билет на выход»: "Закончите три фразы: «Площадь многоугольника — это…»; «Если фигура составлена из частей, то…»; «Равносоставленные фигуры…». Затем отметьте в листе самооценки, какой пункт вы можете объяснить без помощи." | Письменно завершают фразы: "Площадь показывает размер части плоскости", "площадь равна сумме площадей частей", "имеют равные площади, потому что состоят из одинаковых частей"; заполняют самооценку. |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Какое свойство используется при наложении фигур? Чем равновеликие фигуры отличаются от равных? Почему площадь составной фигуры находят сложением? Как записывается площадь квадрата со стороной $a$?" | Отвечают устно: "Первое свойство", "равновеликие имеют равные площади, но могут иметь разную форму", "части не перекрываются и составляют целую фигуру", "$S=a^2$". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Обязательный уровень нужен всем. Повышающий помогает потренироваться на рисунках. Дополнительный предназначен для тех, кто хочет самостоятельно разобраться в обосновании свойства площади квадрата. Выберите уровень осознанно и отметьте в дневнике, что именно будете делать." | Записывают домашнее задание выбранного уровня, задают уточняющие вопросы, сдают «билет на выход». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, названы нужные свойства, запись выражения площади составной фигуры корректна, объяснение равносоставленности содержит связь с равенством площадей.
- «4» — выполнено не менее 80% задания, допущена одна неточность в формулировке или записи, но способ рассуждения и выбор свойства верны.
- «3» — выполнено не менее половины задания, ученик узнаёт основные свойства с подсказкой и записывает выражение для площади составной фигуры, но допускает ошибки в объяснении связи понятий.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о площади многоугольника? | Выявление осознания понятия площади и её отличия от периметра. |
Какое из трёх свойств вы можете объяснить по рисунку? | Проверка понимания свойств не только на уровне воспроизведения формулировки. |
Чем равновеликие фигуры отличаются от равных? | Выявление понимания различия формы и площади. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение? | Определение точек затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы ввели понятие площади многоугольника и увидели, что будущие формулы строятся на нескольких базовых свойствах. Особенно важно не смешивать равные и равновеликие фигуры: равные фигуры совпадают по форме и размеру, а равновеликие имеют только одинаковые площади. Мы также установили, что разбиение многоугольника на части превращает сложную задачу в сумму более простых. На следующем уроке начнём выводить и применять формулы площадей конкретных многоугольников."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выучить определение площади многоугольника и три свойства площадей. Выполнить 4 коротких задания на распознавание равных, равновеликих и равносоставленных фигур по готовым рисункам. | Закрепляет терминологию и умение выбирать нужное свойство; при проверке обратить внимание на точность формулировок. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на разбиение многоугольника на две или три части: записать площадь всей фигуры через площади частей и объяснить использованное свойство. | Формирует навык применения аддитивности площади и чтения геометрической схемы; проверить наличие рисунка и обоснования. |
Продвинутый (дополнительный) | Самостоятельно рассмотреть обоснование свойства площади квадрата через покрытие квадратными единицами: составить краткое письменное объяснение для квадрата со стороной $a$ и привести пример равносоставленных фигур. | Развивает доказательное мышление и готовит к выводу формул площадей; при проверке оценить последовательность рассуждения и корректность обозначений. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что измеряет площадь? Какое свойство позволяет складывать площади частей? Что можно утверждать о площадях равных многоугольников? Почему равносоставленные многоугольники равновелики? Чему равна площадь квадрата со стороной $a$?»
