Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выбирать и применять формулы площадей треугольника, параллелограмма и трапеции, вычислять площадь сложной фигуры и проверять результат по смыслу задачи.
- Актуализировать свойства площади и ранее изученные формулы площади прямоугольника и квадрата.
- Научиться разбирать сложную фигуру на простые части или достраивать её до известной фигуры.
- Развивать умение выбирать способ решения, аргументировать его и выполнять самопроверку по единицам площади и приблизительной оценке результата.
- Воспитывать ответственность за точность вычислений и понимание практической ценности геометрических измерений.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать практическую ценность вычисления площадей при ремонте, строительстве, проектировании и расчёте расхода материалов.
- Проявлять познавательный интерес к выбору разных способов решения одной задачи.
- Понимать значение аккуратности, проверки и обоснования результата.
- Формировать готовность к самостоятельному выбору уровня задания и ответственности за принятое решение.
Метапредметные
- Извлекать информацию из чертежа, текста задачи, таблицы и изображения фигуры на клетчатой бумаге.
- Планировать последовательность вычислений и выбирать подходящую формулу.
- Сотрудничать в паре, сравнивать способы решения и аргументированно объяснять выбор.
- Проверять правдоподобие ответа, единицы измерения и соответствие результата условию.
Предметные
- Знать свойства площади: аддитивность, равенство площадей равных фигур, единицы измерения площади.
- Знать и применять формулы $S_{\triangle}=\frac{1}{2}ah$, $S_{\text{параллелограмма}}=ah$, $S_{\text{трапеции}}=\frac{(a+b)h}{2}$.
- Уметь вычислять площадь фигуры, разбитой на треугольники, параллелограммы и трапеции.
- Уметь находить площадь фигуры на клетчатой бумаге и применять коэффициент подобия площадей $k^2$.
- Уметь решать задачи с практическим содержанием, записывая единицы площади и обоснование решения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель: научиться быстро и обоснованно находить площадь реального объекта.
- Выбирают уровень практического задания с учётом собственной готовности.
- Осознают необходимость точности измерений и честной самооценки результата.
- Проявляют уважение к иному способу решения, если он математически обоснован.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока по проблемной ситуации.
- Планируют решение: выделяют данные, выбирают формулу, выполняют вычисления, проверяют ответ.
- Осуществляют самоконтроль по эталону и корректируют найденную ошибку.
- Оценивают результат по критериям и фиксируют затруднение в рефлексии.
Познавательные УУД
- Сравнивают формулы площадей и выделяют общую роль высоты.
- Анализируют чертёж и преобразуют сложную фигуру в совокупность простых.
- Моделируют практическую ситуацию с помощью геометрической схемы.
- Устанавливают зависимость площади подобных фигур от коэффициента подобия.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и объясняют партнёру ход решения.
- Распределяют роли при работе с карточкой и договариваются о едином ответе.
- Аргументируют выбор формулы и сравнивают различные решения.
- Корректно дают обратную связь по приёму «Две звезды и пожелание».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или доску с формулами площадей треугольника, параллелограмма и трапеции, а также с изображением сложной фигуры.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать лист с клетчатой сеткой и двумя фигурами для каждой пары.
- Подготовить практическую карточку с планом комнаты и размерами для расчёта площади пола.
- Раздать каждой паре линейку, карандаш и маркер для выделения высот и разбиения фигур.
- Вывесить на доску памятку: «Данные — формула — подстановка — вычисление — единицы — проверка».
- Подготовить эталон решений для самопроверки и карточки зелёного, жёлтого и красного цвета.
- Заранее определить пары и подготовить таймер на 2–4 минуты для практических заданий.
- Обеспечить учебник: учащиеся используют текст темы и предложенные в нём определения и формулы без указания конкретных страниц.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую проблему и создать мотивацию к открытию способов вычисления площадей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать как инженеры и дизайнеры: нам потребуется определить, сколько материала нужно для покрытия пола сложной формы. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и учебника. Откройте тетради, запишите дату и тему урока." | Проверяют принадлежности, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на доске план комнаты, составленный из прямоугольника и трапеции: "Представьте, что заказчик хочет купить напольное покрытие. Как определить площадь всей комнаты, если её форма не является прямоугольником? Можно ли просто измерить одну сторону? Что нам придётся выяснить?" | Рассматривают чертёж, предлагают: "Нужно разбить фигуру на части", "Найти размеры и площади частей", "Сложить полученные площади". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что в практической задаче недостаточно помнить одну формулу. Нужно распознать фигуру, выбрать способ разбиения и проверить результат. Сейчас выясним, какие знания помогут нам это сделать."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить свойства площади и формулы, необходимые для решения новых задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете объяснить, что такое площадь; жёлтую — если помните частично; красную — если нужна помощь. Теперь назовите единицы измерения площади и свойство, позволяющее находить площадь сложной фигуры." | Показывают карточки, отвечают: "Квадратный сантиметр, квадратный метр", "Площадь целой фигуры равна сумме площадей частей, если части не перекрываются". |
2 мин | Учитель записывает на доске: прямоугольник со сторонами 7 см и 4 см, квадрат со стороной 5 см. "Решите устно и объясните, почему используете именно эти формулы." | Вычисляют: $S=7\cdot4=28\text{ см}^2$ и $S=5^2=25\text{ см}^2$; объясняют выбор формулы. |
2 мин | Учитель показывает параллелограмм с основанием 8 см и высотой 3 см: "Какая величина нужна для площади? Почему нельзя умножить основание на боковую сторону, если она наклонена?" | Отвечают: "Нужна высота, перпендикулярная основанию"; записывают $S=ah$ и находят $24\text{ см}^2$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что площадь зависит от основания и перпендикулярной высоты, а площадь сложной фигуры можно получить сложением площадей частей. Теперь проверим, какие формулы нам нужно открыть или восстановить для треугольника и трапеции."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему, цель и план действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует параллелограмм, разделённый диагональю: "Посмотрите на рисунок. Что можно сказать о двух получившихся треугольниках? Если площадь параллелограмма равна $ah$, как найти площадь одного треугольника? Предложите гипотезу и обсудите её в паре 30 секунд." | Обсуждают в парах, формулируют гипотезу: "Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому площадь треугольника в два раза меньше". |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как находить площадь трапеции, сложной фигуры, фигуры на клетчатой бумаге и подобных фигур? Составьте план работы из четырёх шагов." | Предлагают план: "Вспомнить формулы; научиться разбивать фигуру; потренироваться на клетчатой бумаге; решить практическую задачу и проверить ответ". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель фиксирует на доске цель: "Сегодня мы не просто запишем формулы, а научимся выбирать их в разных ситуациях. Начнём с открытия формул площадей треугольника и трапеции."
Этап 4. Открытие нового знания и работа с учебником (10 мин)
Цель этапа: вывести и систематизировать формулы площадей треугольника и трапеции, установить свойство площадей подобных фигур.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к классу: "Откройте учебник на теме урока и найдите изображение треугольника, вписанного в параллелограмм. Посмотрите на основание $a$ и высоту $h$. Площадь параллелограмма равна $ah$, а треугольник занимает половину этой площади. Запишите вывод и проговорите формулу." | Находят соответствующее объяснение в учебнике, записывают $S_{\triangle}=\frac{1}{2}ah$, проговаривают: "Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту". |
3 мин | Учитель показывает трапецию и проводит к ней равную трапецию, образуя параллелограмм: "Основания исходной трапеции — $a$ и $b$, высота — $h$. Как выразить основание получившегося параллелограмма? Почему его площадь равна $(a+b)h$? Почему площадь одной трапеции в два раза меньше?" | Рассматривают построение, отвечают: "Основание параллелограмма равно $a+b$; его площадь $(a+b)h$; площадь одной трапеции $\frac{(a+b)h}{2}$". |
2 мин | Учитель записывает сводную таблицу на доске: "Перепишите только формулы и подпишите, что означает каждая буква. Особое внимание — высоте: она должна быть перпендикулярна основанию." | Записывают формулы $S_{\triangle}=\frac{1}{2}ah$, $S_{\text{параллелограмма}}=ah$, $S_{\text{трапеции}}=\frac{(a+b)h}{2}$ и обозначения величин. |
2 мин | Учитель показывает две подобные фигуры с коэффициентом подобия $k=2$: "Если все линейные размеры увеличились в два раза, во сколько раз изменится площадь? Сравните количество квадратных клеток в схематичном изображении." | Рассуждают и формулируют: "Площадь увеличится в $k^2=4$ раза"; записывают $S_2=k^2S_1$. |
Запись в тетрадях
Записать свойства: площадь равных фигур равна; площадь фигуры, составленной из неперекрывающихся частей, равна сумме площадей частей; при увеличении всех линейных размеров в $k$ раз площадь увеличивается в $k^2$ раз. Формулы: $S_{\triangle}=\frac{1}{2}ah$, $S_{\text{параллелограмма}}=ah$, $S_{\text{трапеции}}=\frac{(a+b)h}{2}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть набор формул и важное свойство подобных фигур. Следующий шаг — применить их не по отдельности, а в задаче, где требуется увидеть структуру сложной фигуры."
Этап 5. Первичное закрепление: разбор сложной фигуры (8 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм вычисления площади сложной фигуры через разбиение на простые фигуры.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточку: "На чертеже изображена фигура, состоящая из прямоугольника $ABCD$ со сторонами $8$ см и $5$ см и треугольника $CDE$, у которого основание $CD=8$ см, а высота $3$ см. Найдите площадь всей фигуры. Сначала выделите части разными цветами и запишите план." | Выделяют прямоугольник и треугольник, записывают план: найти две площади и сложить их. |
4 мин | Учитель организует работу «Подумай — обсуди в паре»: "Сначала решите самостоятельно, затем сравните вычисления с партнёром. Не забывайте подписывать единицы площади и объяснять, откуда взята высота треугольника." | Решают: $S_1=8\cdot5=40\text{ см}^2$; $S_2=\frac{1}{2}\cdot8\cdot3=12\text{ см}^2$; $S=40+12=52\text{ см}^2$. Сверяют решения в паре. |
2 мин | Учитель вызывает ученика к доске: "Покажите решение по памятке: данные, формулы, вычисления, единицы, проверка. Остальные сравнивают свой ответ и подают зелёную или жёлтую карточку." | Один ученик оформляет решение у доски, остальные выполняют взаимопроверку и исправляют запись при необходимости. |
Эталон решения
$S_{ABCD}=8\cdot5=40\text{ см}^2$. $S_{CDE}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot3=12\text{ см}^2$. Части не перекрываются, поэтому $S=40+12=52\text{ см}^2$. Ответ: $52\text{ см}^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что сложная фигура становится понятной, если провести границу между простыми частями. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли он работать с клетчатой сеткой и подобием."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное применение формул, разбиение фигур и свойства площадей подобных фигур.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите карточку базового или повышенного уровня. Базовая карточка обязательна для тех, кому важно закрепить формулы; повышенная содержит клетчатую фигуру и задачу на подобие. Работайте самостоятельно, время — 6 минут." | Выбирают уровень и записывают номер карточки в тетради. |
6 мин | Учитель наблюдает, задаёт уточняющие вопросы: "Какая величина является высотой? Фигура состоит из каких частей? Как изменяется площадь при коэффициенте подобия $k=3$? Проверьте, не забыли ли вы единицы измерения." | Решают задания. В базовой карточке находят площадь треугольника с $a=12$ см и $h=5$ см, площадь трапеции с $a=6$ см, $b=10$ см, $h=4$ см. В повышенной находят площадь фигуры на клетчатой бумаге и площадь подобной фигуры при $k=3$. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске: "Сверьте каждую строку решения, а не только ответ. Отметьте плюс рядом с верным шагом и исправьте одну найденную ошибку. Если возникло затруднение, поднимите жёлтую карточку." | Проверяют: $S_{\triangle}=30\text{ см}^2$; $S_{\text{трапеции}}=32\text{ см}^2$. Для подобной фигуры используют $S_2=9S_1$. Исправляют ошибки и отмечают уровень понимания. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формула работает только при правильном распознавании основания и высоты. Осталось применить наши знания к реальной ситуации и решить, сколько материала потребуется."
Этап 7. Практическая задача и рефлексия (4 мин)
Цель этапа: связать изученные формулы с жизненной ситуацией и осмыслить результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает план клумбы, состоящей из трапеции с основаниями $6$ м и $10$ м и высотой $4$ м: "Для оформления клумбы нужно покрыть всю её площадь декоративной щепой. Сколько квадратных метров материала потребуется? Запишите решение одной формулой и объясните, почему используете именно её." | Вычисляют $S=\frac{(6+10)\cdot4}{2}=32\text{ м}^2$, записывают ответ и объясняют выбор формулы площади трапеции. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Билет на выход»: "Запишите три коротких ответа: какую формулу вы сегодня стали применять увереннее; какой шаг алгоритма помогает при сложной фигуре; что нужно повторить дома? Поднимите карточку, показывающую вашу готовность к следующему уроку." | Заполняют билет на выход, формулируют: "Разбить фигуру на части", "Проверять высоту и единицы", показывают зелёную, жёлтую или красную карточку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы связали формулы с практической задачей и увидели, что площадь можно находить разными способами. Дома вы закрепите базовые формулы и выберете дополнительное задание на клетчатую бумагу или подобные фигуры."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все предложенные задания, правильно выбраны формулы, указаны высоты и единицы площади, решение сложной фигуры обосновано.
- «4» — верно решены основные задания, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на выбор способа решения.
- «3» — верно выполнены задания на непосредственное применение формул, но есть затруднения при разбиении сложной фигуры или применении подобия.
- «2» — формулы выбраны неверно, отсутствует обоснование или выполнено менее половины обязательных действий; требуется индивидуальная коррекция.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую формулу площади вы сегодня применяли наиболее уверенно? | Выявление степени осознания формул и уверенности в их применении. |
Как понять, какую высоту нужно использовать в формуле площади? | Проверка понимания роли перпендикулярной высоты. |
Что помогает найти площадь сложной фигуры? | Выявление освоения алгоритма разбиения или достраивания фигуры. |
Как изменится площадь подобной фигуры при увеличении всех сторон в 2 раза? | Проверка понимания зависимости площади от квадрата коэффициента подобия. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть за сложным чертежом набор знакомых фигур. Вы применяли формулы треугольника, параллелограмма и трапеции, работали с клетчатой сеткой и вспомнили, что площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Самая частая ошибка — принять боковую сторону за высоту, поэтому всегда проверяйте перпендикулярность. На следующем уроке мы продолжим решать задачи с площадями и разберём более сложные способы преобразования фигур."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на площадь треугольника и параллелограмма, одну на площадь трапеции и одну на разбиение сложной фигуры на прямоугольник и треугольник. Использовать материал темы урока и оформить решение по памятке. | Закрепляет выбор формулы, нахождение высоты, вычислительные навыки и запись единиц площади. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи: одну на площадь фигуры на клетчатой бумаге, одну на достраивание фигуры до прямоугольника и одну практическую задачу о площади участка, пола или клумбы со сложной формой. | Развивает умение моделировать реальную ситуацию, выбирать способ разбиения и проверять разумность ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу на площади подобных фигур: задать исходную площадь и коэффициент подобия, выполнить вычисления и кратко объяснить, почему площадь умножается на $k^2$. | Формирует умение создавать математическую модель, аргументировать решение и применять свойство площадей подобных фигур. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какая величина называется высотой в формулах площадей? Как найти площадь трапеции? Что делать, если фигура сложная? Во сколько раз изменится площадь при увеличении всех сторон в 3 раза?»
