Признаки подобия треугольников
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют три признака подобия треугольников и применят их для обоснования подобия в не менее чем 4 из 5 практических задач.
- Выявить связь между равенством соответствующих углов и пропорциональностью соответствующих сторон подобных треугольников.
- Сформулировать и применять первый, второй и третий признаки подобия треугольников при решении геометрических задач.
- Развивать умение анализировать чертёж, выбирать достаточный признак и аргументировать ход решения.
- Формировать ответственное отношение к совместной работе, самопроверке и точности геометрических рассуждений.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность подобия треугольников для измерения недоступных расстояний, проектирования и создания масштабных моделей.
- Проявляют познавательный интерес к поиску краткого доказательства и выбору рационального способа решения.
- Принимают необходимость точности чертежа, записи обозначений и проверки полученного результата.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе обнаруженного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из текста учебника, рисунка, условия задачи и таблицы соответствия вершин.
- Сравнивают способы доказательства, выделяют существенные признаки и делают обоснованный выбор.
- Используют математическую речь для объяснения решения и проверки рассуждений одноклассника.
Предметные
- Знать формулировки первого, второго и третьего признаков подобия треугольников.
- Уметь устанавливать соответствие вершин подобных треугольников по чертежу и условию.
- Уметь выбирать подходящий признак подобия и записывать обоснование в виде последовательности утверждений.
- Владеть навыком применения подобия для нахождения неизвестных сторон через пропорцию.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к решению задач на подобие треугольников.
- Связывают изучаемый материал с практическими задачами измерения и масштабирования.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня сложности задания.
- Осознают ценность доказательного рассуждения в математике.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и составляют план открытия признаков.
- Контролируют соответствие выбранного признака данным условия задачи.
- Сверяют решение с эталоном и находят место возможной ошибки.
- Корректируют запись доказательства и оценивают результат по критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют пары соответствующих углов и сторон на чертеже.
- Сравнивают несколько треугольников и классифицируют условия по типу признака.
- Строят логическую цепочку от известных фактов к выводу о подобии.
- Моделируют ситуацию с помощью чертежа, пропорции и краткой записи.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли при работе в парах и малых группах.
- Формулируют уточняющие вопросы к решению одноклассника.
- Аргументируют выбор признака, используя математические термины.
- Корректно принимают замечания и совместно исправляют ошибочную запись.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или интерактивный экран с темой урока, двумя парами треугольников и пустой схемой трёх признаков.
- Распечатать по одной карточке на каждого ученика с чертежами треугольников и заданиями трёх уровней сложности.
- Распечатать по одной карточке на каждую пару с четырьмя наборами условий для классификации признаков.
- Подготовить листы самооценки с пунктами «Я узнаю признак», «Я выбираю признак», «Я обосновываю подобие», «Я нахожу неизвестную сторону».
- Подготовить эталоны решений для самостоятельной работы и цветные маркеры для выделения соответствующих углов и сторон.
- Вывести на экран краткую памятку: «1) установить соответствие; 2) найти равные углы или пропорциональные стороны; 3) выбрать признак; 4) сделать вывод».
- Подготовить учебник для работы с формулировками признаков; конкретные страницы учитель выбирает по используемой линии УМК.
- Организовать работу в парах и группах по 3–4 человека, заранее разложить карточки и линейки.
- Подготовить таймер на 2, 4 и 5 минут для практических заданий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и показать необходимость признаков подобия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране фотографию высокой башни и человека, измеряющего её высоту по тени. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто запоминать формулировки, а искать способ узнавать подобные треугольники по небольшому числу данных. Представьте, что нужно определить высоту объекта, к которому нельзя подойти. Как можно использовать тени и треугольники?» | Рассматривают изображение, предлагают варианты: «Сравнить длину тени», «Построить треугольник по измерениям», «Использовать масштаб». Формулируют практический интерес к теме. |
2 мин | Учитель записывает тему и задаёт проблемный вопрос: «Всегда ли двух равных углов достаточно, чтобы сделать вывод о подобии? Какие данные нужно проверить, чтобы не выполнять лишнюю работу? В конце урока мы вернёмся к этому вопросу и проверим себя». | Записывают тему, индивидуально формулируют предположения, затем обсуждают их в парах 30 секунд и называют один вариант ответа. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что в практической задаче важно быстро установить связь между треугольниками. Сначала вспомним, что уже умеем находить и сравнивать в треугольниках, а затем сами выведем признаки подобия».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания об углах, пропорциях и соответствующих элементах треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два треугольника на экране и предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Назовите пары равных углов, если они отмечены одинаковыми дугами. Как понять, какие стороны являются соответствующими? Не называйте ответ сразу: сначала отметьте элементы цветными карандашами». | Индивидуально отмечают равные углы, затем в парах соединяют соответствующие вершины и стороны, формулируют ответы: «Соответствующие стороны лежат напротив соответствующих углов». |
2 мин | Учитель записывает на доске пропорцию и задаёт вопрос: «Что означает равенство отношений $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$? Какие величины можно найти, если известны три из четырёх отрезков?» | Объясняют смысл пропорции, называют неизвестный член пропорции, решают устно пример $\frac{6}{9}=\frac{x}{12}$ и получают $x=8$. |
2 мин | Учитель проводит экспресс-проверку «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если можете определить соответствующие стороны; жёлтую — если нужна подсказка; красную — если пока затрудняетесь». После этого кратко уточняет обозначения и напоминает свойство суммы углов треугольника. | Показывают карточки, задают вопросы, исправляют обозначения в чертеже и записывают результат устного задания. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Соответствующие элементы подобных треугольников — это элементы, занимающие одинаковое положение относительно равных углов. Соответствующие стороны образуют равные отношения».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили равенство углов, соответствие элементов и пропорцию. Теперь проверим, какие из этих фактов действительно позволяют сделать вывод о подобии, а какие сами по себе недостаточны».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать план открытия трёх признаков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточку с утверждениями: «1) Два угла одного треугольника равны двум углам другого. 2) Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого. 3) Две стороны пропорциональны, а угол между ними равен». «Распределите утверждения на группы: достаточно ли условия для вывода о подобии? Что ещё нужно уточнить?» | В парах отмечают, что во втором утверждении не указан угол или соответствие сторон, а в третьем важно, чтобы равный угол был заключён между пропорциональными сторонами. Формулируют затруднение. |
2 мин | Учитель использует приём «Снежный ком»: «Сначала каждый запишите, что нужно узнать. Затем объединитесь с соседом и составьте общий план. Каким может быть план урока?» Учитель фиксирует на доске ответы: «выделить условия; сравнить их с определением; сформулировать признаки; применить к задачам». | Записывают личную цель, объединяют предложения в парах и формулируют общий план: «найти минимальный набор условий, достаточный для доказательства подобия треугольников». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение стало ясным: нужно отличать случайные совпадения от достаточных условий. Будем двигаться от чертежа и известных свойств к точным формулировкам признаков».
Этап 4. Открытие нового знания через практику (12 мин)
Цель этапа: самостоятельно выделить и сформулировать три признака подобия с опорой на учебник и карточки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель делит класс на группы по 3–4 человека и раздаёт карточки с тремя ситуациями. «Откройте учебник на теме урока и найдите формулировки признаков. Не переписывайте всё подряд: сопоставьте текст с вашим чертежом. В первой ситуации отмечены два равных угла; во второй — две пропорциональные стороны и угол между ними; в третьей — три пропорциональные стороны. Определите, какой вывод следует в каждом случае». | В группах читают нужный фрагмент учебника, выделяют ключевые слова, подписывают на чертежах соответствующие элементы и распределяют роли: читатель, чертёжник, докладчик, проверяющий. |
4 мин | Учитель направляет работу вопросами: «В каком случае достаточно равенства двух углов? Почему третий угол отдельно проверять не нужно? Что означает “угол между пропорциональными сторонами”? Как должны быть соотнесены три стороны в третьем случае?» | Обсуждают вопросы, формулируют: «По двум углам треугольники подобны»; «второй признак требует пропорциональности двух сторон и равенства угла между ними»; «третий признак требует пропорциональности трёх соответствующих сторон». |
4 мин | Учитель оформляет на доске обобщающую схему и просит группы проверить её: «Сравните ваши выводы с памяткой. Если нашли неточность, предложите исправление. В математике важны не только ответы, но и условия, при которых они верны». | Представляют результаты, исправляют формулировки, записывают три признака и условные обозначения. Задают уточняющие вопросы, если порядок вершин в записи отличается. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «1-й признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны. 2-й признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны, то треугольники подобны. 3-й признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли три способа доказать подобие, причём каждый требует своего набора данных. Теперь потренируемся узнавать признак не по названию, а по конкретным условиям задачи».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить выбирать признак подобия и кратко обосновывать выбор.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с тремя заданиями. «В каждом задании сначала назовите данные, затем установите соответствие вершин, после этого назовите признак. Не решайте длиннее, чем требуется. Задание 1: в треугольниках $ABC$ и $DEF$ углы $A$ и $D$ равны, углы $B$ и $E$ равны. Докажите подобие. Задание 2: $AB/DE=AC/DF$, и углы $A$ и $D$ равны. Задание 3: $AB/DE=BC/EF=AC/DF$.» | В парах составляют краткие доказательства: в первом задании используют первый признак, во втором — второй, в третьем — третий. Подчёркивают данные и обводят название признака. |
2 мин | Учитель приглашает три пары к доске и просит объяснить не только ответ, но и порядок действий: «Почему в задании 2 нельзя назвать первый признак? Как вы проверили, что угол является углом между нужными сторонами?» | Представляют решения, отвечают: «Для первого признака нужны два равных угла, а здесь даны две стороны и угол между ними»; показывают на чертеже положение угла. |
2 мин | Учитель применяет взаимопроверку «Две звезды и пожелание»: «Проверьте запись соседа по трём критериям: соответствие элементов, правильность признака, наличие вывода о подобии. Запишите две сильные стороны и одно уточнение». | Проверяют записи по критериям, отмечают сильные стороны, исправляют одну найденную неточность. |
Эталон решения
Для задания 2: $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$, $\angle A=\angle D$. Стороны $AB$ и $AC$ заключают угол $A$, стороны $DE$ и $DF$ заключают угол $D$. Следовательно, две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны. По второму признаку $\triangle ABC\sim\triangle DEF$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть алгоритм: соответствие — данные — признак — вывод. На следующем этапе каждый проверит, умеет ли самостоятельно применять этот алгоритм и находить неизвестную сторону».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение признаков и пропорции в заданиях разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает выбор уровня: «Каждый выполняет обязательное задание базового уровня и выбирает одно из двух заданий повышенного уровня. Работайте самостоятельно, подписывайте соответствующие вершины и обязательно указывайте признак». | Выбирают карточку, записывают номер варианта и начинают решение индивидуально. |
4 мин | Учитель наблюдает и адресно задаёт вопросы без сообщения готового ответа: «Какие элементы соответствуют друг другу? Какой угол является заключённым? Какое отношение составите для неизвестной стороны?» | Решают базовую задачу: в подобных треугольниках $AB=6$ см, $DE=9$ см, $BC=8$ см, соответствующая сторона $EF=x$. Составляют $\frac{6}{9}=\frac{8}{x}$ и находят $x=12$ см. Выполняют доказательство подобия по данным своей карточки. |
3 мин | Учитель открывает эталон на экране и организует самопроверку: «Сверьте не только число, но и ход решения. Поставьте плюс за правильный признак, соответствие и пропорцию. Если есть ошибка, зачеркните только ошибочный шаг и исправьте его рядом». | Сверяют решения, исправляют ошибки, отмечают результат в листе самооценки: «выполнено самостоятельно», «потребовалась подсказка» или «нужно повторить». |
Эталон решения
Дано: $AB=6$ см, $DE=9$ см, $BC=8$ см, $EF=x$. Соответствие: $AB\leftrightarrow DE$, $BC\leftrightarrow EF$. Так как треугольники подобны, $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$. Получаем $\frac{6}{9}=\frac{8}{x}$, откуда $6x=72$, $x=12$ см. Ответ: $EF=12$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что признак помогает установить подобие, а коэффициент подобия позволяет перейти к длинам. Осталось обобщить, что именно мы сегодня научились делать и где возникли затруднения».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенные способы действий, провести самооценку и определить дальнейшую практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: «Можно ли по двум равным углам установить подобие? Какие три набора данных мы теперь различаем? Поднимите зелёную карточку, если можете выбрать признак без подсказки, жёлтую — если нужна тренировка». | Отвечают: «Да, по двум равным углам — первый признак». Называют второй и третий признаки, показывают карточки самооценки. |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: «На маленьком листе запишите: 1) один признак своими словами; 2) условие, в котором легко перепутать признаки; 3) вопрос, который остался». Затем сообщает уровни домашнего задания. | Записывают ответы на билете, сдают его при выходе, фиксируют выбранный уровень домашнего задания. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы не только запомнили три признака, но и научились выбирать нужный по данным задачи. Проверьте дома, чтобы в каждом решении были соответствие элементов, ссылка на признак и вывод о подобии».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательное и выбранное повышенное задание, правильно установлено соответствие элементов, названы признаки, пропорция составлена без ошибок, запись аккуратная и содержит вывод.
- «4» — выполнены задания с одной несущественной ошибкой в обозначениях или вычислениях, при этом признак выбран верно и ход рассуждения понятен.
- «3» — выполнено обязательное задание с частичной помощью, признак назван верно или восстановлен после подсказки, но допущена ошибка в соответствии элементов или пропорции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак подобия вы теперь узнаёте быстрее всего и по каким данным? | Выявление осознанности различий между тремя признаками. |
На каком шаге решения задачи возникло затруднение: соответствие, выбор признака или пропорция? | Выявление конкретной точки затруднения в алгоритме. |
Почему во втором признаке важно, чтобы угол был заключён между пропорциональными сторонами? | Проверка понимания существенного условия второго признака. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Формирование самооценки и ответственности за выбор сложности. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы открыли три признака подобия треугольников и проверили их на практических задачах. Помните: недостаточно увидеть знакомые числа — нужно установить соответствие элементов и проверить условия выбранного признака. Особенно внимательно следите за тем, чтобы угол во втором признаке был заключён между пропорциональными сторонами. На следующем уроке мы продолжим использовать подобие для нахождения длин и решения задач, связанных с реальными измерениями».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задачи на распознавание первого, второго и третьего признаков подобия; в каждой задаче записать соответствие вершин, назвать признак и сделать вывод о подобии. | Закрепляет формулировки и алгоритм выбора признака; при проверке смотреть на соответствие элементов и точность вывода. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи, в которых по подобию треугольников требуется найти неизвестную сторону через коэффициент или пропорцию; минимум в двух задачах самостоятельно определить соответствие вершин. | Формирует применение подобия в вычислениях; при проверке обращать внимание на составление пропорции и единицы измерения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу об измерении высоты объекта с помощью подобия треугольников, выполнить чертёж, указать используемый признак и привести полное решение. | Развивает умение создавать математическую модель и объяснять практический смысл подобия; при проверке оценивать корректность условий и доказательность решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Назовите три признака подобия треугольников. Какие элементы должны быть пропорциональны во втором признаке? Как проверить, что стороны в пропорции соответствующие? Какой признак применим, если известны три пары пропорциональных сторон?»
