Площадь трапеции и ромба
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться выводить и применять формулы площади трапеции и ромба, решая не менее 3 практических задач из 4 без существенных ошибок.
- Сформировать представление о способах получения формулы площади трапеции через разбиение фигуры и преобразование в параллелограмм или прямоугольник.
- Научиться находить площадь ромба по стороне и высоте, а также по диагоналям, объясняя выбор соответствующей формулы.
- Развивать умение работать в парах, выдвигать гипотезы, сравнивать способы решения и аргументировать ответ.
- Формировать ответственное отношение к точности геометрических измерений и понимание применения формул при проектировании, строительстве и расчёте материалов.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к геометрическим преобразованиям и поиску нескольких способов решения задачи.
- Понимают практическую ценность вычисления площадей при планировании ремонта, изготовлении деталей и проектировании конструкций.
- Осознают важность аккуратности, взаимопомощи и личной ответственности при совместной работе.
- Уважительно относятся к различным стратегиям решения, если они обоснованы и математически корректны.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа, выделяют известные величины и устанавливают связи между элементами фигуры.
- Планируют последовательность решения задачи, выбирают формулу и проверяют разумность полученного результата.
- Сотрудничают в паре, распределяют роли, формулируют вопросы и представляют общий вывод.
- Используют математическую модель реальной ситуации и переводят единицы площади при необходимости.
Предметные
- Знать формулу площади трапеции $S=\frac{(a+b)h}{2}$ и понимать смысл входящих в неё величин.
- Уметь находить площадь трапеции по основаниям и высоте, выделяя основание и соответствующую высоту на чертеже.
- Знать формулы площади ромба $S=ah$ и $S=\frac{d_1d_2}{2}$, уметь объяснять условия их применения.
- Уметь решать задачи на площадь трапеции и ромба, записывая краткое условие, формулу, вычисления и единицу измерения.
- Владеть навыком проверки ответа по оценке величин и сравнению с площадью описывающего прямоугольника.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную значимость умения применять геометрические формулы в практических и профессиональных ситуациях.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору способа решения и к корректному обсуждению разногласий.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и результат совместного поиска.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения при нахождении площади новой фигуры.
- Планируют решение: выделяют данные, выбирают формулу, выполняют вычисления и записывают ответ.
- Осуществляют самопроверку по эталону, находят и исправляют ошибки в единицах измерения и вычислениях.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и рефлексивных вопросов.
Познавательные УУД
- Анализируют чертёж трапеции и ромба, выделяют основания, высоту и диагонали.
- Моделируют геометрическую фигуру с помощью разбиения, достраивания и преобразования.
- Сравнивают формулы площади ромба и трапеции, устанавливают их связь с формулами параллелограмма и треугольника.
- Формулируют и проверяют гипотезу о способе вывода формулы площади трапеции.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: чертёжник, вычислитель и затем меняются ролями.
- Задают уточняющие вопросы о выборе формулы и объясняют ход рассуждения.
- Аргументированно представляют решение, используют математические термины и реагируют на замечания.
- Согласовывают общий вывод, учитывая разные способы решения одной задачи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения трапеции и ромба, схемы достраивания фигур и итоговую таблицу формул.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе, с заданиями трёх уровней.
- Распечатать мини-лист самооценки на каждого ученика с пунктами «Я знаю формулы», «Я умею выбирать формулу», «Я могу объяснить решение».
- Подготовить цветные маркеры или карандаши: основания трапеции выделяются одним цветом, высота — другим, диагонали ромба — третьим.
- Вывести на доску или слайд проблемный вопрос: «Как найти площадь фигуры, если она не является прямоугольником или треугольником?»
- Подготовить линейки, угольники и листы с изображениями трапеций и ромбов для работы в парах.
- Заранее записать на доске дату, тему урока и пустую таблицу для формул площади трапеции и ромба.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и самостоятельной работы.
- Подготовить эталоны решений для самопроверки и карточки с критериями оценивания практической работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать мотивацию через практическую проблему.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к работе: тетрадь, ручка, линейка и черновик должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не только запоминать формулы, но и выяснять, откуда они появляются." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране план участка в форме трапеции и обращается к классу: "Представьте, что вы рассчитываете количество плитки для площадки или площадь детали в проекте. Прямоугольник вычислить легко, а как поступить с трапецией или ромбом? Предложите идеи. Важно не угадать формулу, а объяснить, почему она работает." | Высказывают предположения: "Разбить фигуру на треугольники", "достроить до прямоугольника", "использовать среднюю линию". Формулируют практическую значимость задачи. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что площадь сложной фигуры можно найти через уже известные фигуры. Сейчас проверим, какие знания понадобятся нам для такого преобразования."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить формулы площадей прямоугольника, параллелограмма и треугольника, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске три фигуры и говорит: "Вспомним опорные формулы. Для каждой фигуры назовите величины, которые нужны для вычисления площади, и проговорите формулу полностью. Не просто называйте буквы — объясняйте, что они обозначают." | Называют: для прямоугольника $S=ab$, для параллелограмма $S=ah$, для треугольника $S=\frac{ah}{2}$. Указывают основание и высоту на рисунках. |
2 мин | Учитель предлагает проверку понимания: "Если высота параллелограмма проведена к боковой стороне, можно ли умножить основание на эту высоту? Как понять, какая высота соответствует данному основанию?" | Обсуждают и отвечают: "Нет, высота должна быть перпендикулярна выбранному основанию и проведена к нему или его продолжению". |
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "За 30 секунд самостоятельно решите, как можно получить площадь фигуры, составленной из двух треугольников с одинаковыми высотами. Затем сравните идею с соседом и представьте один вариант классу." | Сначала записывают индивидуальную идею, затем обсуждают её в парах и формулируют вывод о сложении площадей треугольников. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что площадь можно складывать, а высота всегда связана с выбранным основанием. Теперь применим эти знания к трапеции и проверим, получится ли вывести формулу самостоятельно."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель и план учебного исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и высотой $h$: "Перед вами фигура, для которой мы пока не записывали формулу площади. Какие величины, вероятно, будут влиять на её площадь? Можно ли обойтись только одним основанием? Что обязательно нужно знать о расстоянии между основаниями?" | Рассматривают чертёж и отвечают: "Нужны оба основания и высота между ними". Объясняют, что площадь зависит от размеров фигуры. |
2 мин | Учитель фиксирует ответы и спрашивает: "Сформулируйте цель урока своими словами. Какой план поможет её достичь?" На доске появляются пункты: преобразовать фигуру, вывести формулу, записать её, применить к задачам. | Формулируют цель: "Вывести и научиться применять формулы площади трапеции и ромба". Предлагают план: выполнить преобразование, сравнить площади, решить задачи и проверить себя. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение стало нашей задачей исследования: формулу нельзя просто принять на веру, её нужно обосновать. Начинаем с трапеции, а затем установим связь площади ромба с уже известными фигурами."
Этап 4. Открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: вывести формулы площадей трапеции и ромба через преобразование фигур и работу в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам листы с двумя одинаковыми трапециями и говорит: "Вырежьте или мысленно поверните вторую трапецию и приставьте её к первой так, чтобы получился параллелограмм. Обратите внимание: основания трапеции становятся сторонами получившейся фигуры. Обсудите, чему равна площадь параллелограмма через площади двух трапеций." | В парах выполняют преобразование, совмещают трапеции, получают параллелограмм. Формулируют: площадь параллелограмма равна сумме площадей двух одинаковых трапеций, поэтому площадь одной трапеции равна половине площади параллелограмма. |
3 мин | Учитель направляет рассуждение: "Какова длина основания полученного параллелограмма? Какие величины сохраняются при повороте? Запишите цепочку рассуждений: площадь двух трапеций, затем площадь одной трапеции." | Записывают: основание параллелограмма равно $a+b$, высота равна $h$, поэтому $2S=(a+b)h$, откуда $S=\frac{(a+b)h}{2}$. |
2 мин | Учитель показывает ромб и говорит: "У ромба можно выбрать сторону и высоту к ней. Но есть и другой путь: диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника. Предположите, какую формулу можно получить через диагонали." | Обсуждают в парах, отмечают четыре треугольника, предполагают формулу $S=\frac{d_1d_2}{2}$. |
2 мин | Учитель обобщает: "Для ромба запишите две формулы и обязательно подпишите, какие величины обозначают буквы. Если известны сторона и высота, используем одну формулу; если диагонали — другую." | Записывают $S=ah$ и $S=\frac{d_1d_2}{2}$, проговаривают условия выбора формулы. |
Запись в тетрадях
- Площадь трапеции: $S=\frac{(a+b)h}{2}$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.
- Площадь ромба: $S=ah$, где $a$ — сторона, $h$ — высота к этой стороне.
- Площадь ромба через диагонали: $S=\frac{d_1d_2}{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали.
- Алгоритм: определить известные величины, выбрать формулу, выполнить вычисления, указать квадратные единицы.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не просто получили три формулы, а увидели их происхождение. Теперь проверим формулы на конкретных числах и научимся объяснять каждый шаг решения."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить выбор формулы и алгоритм вычисления площади при решении задач с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу и говорит: "Решим вместе. Основания трапеции равны 8 см и 14 см, а высота равна 5 см. Найдите площадь трапеции. Сначала назовите данные, затем формулу и только потом выполняйте вычисления." | Записывают краткое условие, называют формулу, вычисляют: $S=\frac{(8+14)\cdot5}{2}=55$ см$^2$. Один ученик объясняет решение у доски. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Ромб имеет сторону 9 см и высоту 6 см. Почему здесь удобно использовать формулу $S=ah$, а не формулу через диагонали?" | Отвечают: "Даны сторона и высота, поэтому $S=ah$". Вычисляют $S=9\cdot6=54$ см$^2$. |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями с соседом. Проверьте наличие формулы, подстановки, вычислений и единицы площади. Поставьте две звезды за сильные стороны и одно пожелание, если видите, что можно улучшить." | Проверяют решение в парах, отмечают корректную запись и исправляют найденные неточности. |
Эталон решения
Трапеция: $a=8$ см, $b=14$ см, $h=5$ см. По формуле $S=\frac{(a+b)h}{2}$ получаем $S=\frac{(8+14)\cdot5}{2}=\frac{110}{2}=55$ см$^2$. Ромб: $a=9$ см, $h=6$ см. По формуле $S=ah$ получаем $S=9\cdot6=54$ см$^2$. В обоих ответах указаны квадратные сантиметры.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы проверили формулы на простых примерах и увидели, что правильный выбор формулы начинается с анализа условия. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли он применить новый алгоритм."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение формул и обеспечить самопроверку по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет: "Выберите уровень, который соответствует вашей уверенности. Базовый уровень обязателен, средний можно выбрать для дополнительной тренировки, продвинутый — для тех, кто готов обосновать решение несколькими способами. Работайте самостоятельно." | Выбирают карточку, записывают уровень и приступают к решению. |
5 мин | Учитель предлагает задания: базовый — найти площадь трапеции с основаниями 7 см и 13 см и высотой 4 см; средний — найти площадь ромба со сторонами 10 см и высотой 7 см, а также ромба с диагоналями 12 см и 9 см; продвинутый — сравнить площади трапеции с основаниями 6 см и 10 см и высотой 5 см и ромба со стороной 8 см и высотой 5 см. | Решают выбранные задания, оформляют краткую запись, формулу, вычисления и ответ. Для продвинутого уровня находят $S_{т}=40$ см$^2$ и $S_{р}=40$ см$^2$, формулируют вывод о равенстве площадей. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте не только число, но и способ. Если ошибка найдена, зачеркните неверный шаг одной линией, рядом запишите исправление и объясните себе причину ошибки." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, отмечают затруднившийся шаг. |
2 мин | Учитель проводит короткий «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если самостоятельно выбираете формулу и решаете задачу; жёлтую — если формулу знаете, но нужна проверка; красную — если требуется ещё одно объяснение." | Показывают цвет, фиксируют в листе самооценки пункт, который нужно повторить. |
Эталон решения
Базовый уровень: $S=\frac{(7+13)\cdot4}{2}=40$ см$^2$. Средний уровень: $S_1=10\cdot7=70$ см$^2$; $S_2=\frac{12\cdot9}{2}=54$ см$^2$. Продвинутый уровень: площадь трапеции $S=\frac{(6+10)\cdot5}{2}=40$ см$^2$; площадь ромба $S=8\cdot5=40$ см$^2$. Площади равны.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формулы уже можно применять без подсказки. Осталось осмыслить, что именно помогло нам их вывести и где эти знания могут пригодиться."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить оставшиеся затруднения и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт стикеры и говорит: "Заполните короткий билет на выход. Закончите две фразы: «Сегодня я понял…» и «Мне нужно повторить…». Затем ответьте: какую формулу выберете для ромба, если известны диагонали?" | Записывают ответы: «Площадь трапеции зависит от двух оснований и высоты», «нужно повторить выбор высоты», «использую формулу $S=\frac{d_1d_2}{2}$». |
1 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Как найти площадь фигуры, если она не является прямоугольником или треугольником? Назовите общий способ, который мы сегодня применяли." | Формулируют: «Нужно преобразовать фигуру или разложить её на известные фигуры, выразить площадь через известные формулы». |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень. Средний и продвинутый уровни выполняйте по желанию, ориентируясь на собственную цель. В тетради обязательно запишите формулу, подстановку и единицу площади." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают стикеры или билеты на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы вывели формулы площади трапеции и ромба через преобразование фигур, научились выбирать формулу по данным условия и проверили себя. На следующем уроке мы продолжим решать задачи, где потребуется находить неизвестную сторону, высоту или диагональ по известной площади."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранного уровня, правильно выбраны формулы, вычисления выполнены без ошибок, указаны единицы площади и дано объяснение способа решения.
- «4» — верно решены основные задания, но допущена одна неточность в вычислениях, оформлении или единицах, не повлиявшая на понимание формулы.
- «3» — правильно выбрана хотя бы одна формула и решена базовая задача, но допущены ошибки в вычислениях, преобразованиях или записи ответа.
- Ниже «3» — формула выбрана неверно или решение отсутствует; требуется индивидуальная работа над различием между основанием, высотой и диагональю.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о площади трапеции и ромба? | Выявление осознания новых формул и способов их получения. |
Как определить, какую формулу площади ромба использовать? | Проверка понимания связи формулы с данными условия задачи. |
На каком шаге решения возникло затруднение? | Выявление точек затыка в алгоритме: чтение чертежа, выбор формулы, вычисления или оформление. |
Где в практической жизни можно применить эти формулы? | Осмысление функциональной значимости геометрических знаний и повышение мотивации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились находить площади трапеции и ромба не механически, а через преобразование известных фигур. Запомните важное правило: сначала определите, какие величины даны, затем выберите формулу и только после этого выполняйте вычисления. Типичная ошибка — принять диагональ ромба за его высоту или забыть разделить произведение на два. На следующем уроке мы будем находить неизвестные элементы фигур по известной площади и сравнивать разные способы решения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на нахождение площади трапеции по основаниям и высоте и две на нахождение площади ромба по стороне и высоте. В каждой задаче выполнить чертёж или дополнить предложенный чертёж. | Закрепляет формулы $S=\frac{(a+b)h}{2}$ и $S=ah$; при проверке обратить внимание на соответствие высоты выбранному основанию и квадратные единицы. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на площадь ромба через диагонали и на сравнение площадей трапеции и ромба; в одной задаче объяснить, почему выбрана именно эта формула. | Развивает осознанный выбор формулы, умение анализировать условие и сравнивать результаты. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о расчёте площади детали или участка в форме трапеции либо ромба. Представить условие, чертёж, решение двумя способами или обоснование выбранного способа. | Формирует навык математического моделирования, самостоятельного создания задачи и аргументации решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие элементы трапеции нужны для вычисления её площади?», «Чем отличаются две формулы площади ромба?», «Почему в формуле площади трапеции появляется деление на два?», «В каких единицах записывается ответ о площади?»
