Три признака подобия треугольников
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют три признака подобия треугольников, научатся выбирать подходящий признак и применять его для доказательства подобия в не менее чем трёх учебных задачах.
- Сформировать представление о первом, втором и третьем признаках подобия треугольников и условиях их применения.
- Научить распознавать соответствующие углы и стороны подобных треугольников по условию, чертежу и данным измерений.
- Воспитывать ответственное отношение к математическому доказательству, взаимопомощь и интерес к применению геометрии в архитектуре, картографии и инженерии.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точного доказательства при решении практических задач и проектировании объектов.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию геометрических закономерностей.
- Принимают возможность выбора уровня задания и оценивают собственный вклад в парную работу.
- Соблюдают уважительное отношение к аргументам одноклассников и корректно обсуждают ошибки.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и планируют исследование по предложенному чертежу.
- Извлекают информацию из текста учебника, чертежа, таблицы и интерактивной модели.
- Сравнивают условия задач, классифицируют их по признаку подобия и объясняют выбор алгоритма.
- Осуществляют взаимопроверку по критериям, выявляют ошибку и предлагают способ коррекции.
Предметные
- Знать формулировки первого, второго и третьего признаков подобия треугольников.
- Уметь устанавливать соответствие между вершинами, углами и сторонами двух треугольников.
- Уметь доказывать подобие треугольников по двум углам, по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, а также по трём пропорциональным сторонам.
- Владеть алгоритмом записи доказательства подобия с указанием использованного признака.
- Уметь применять признаки подобия для решения задач на вычисление элементов треугольника и анализа реальных чертежей.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться обосновывать подобие, а не только угадывать его по рисунку.
- Осознают связь геометрического доказательства с точностью профессиональной деятельности архитектора, конструктора и картографа.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору задания и ответственности за результат пары.
- Формируют положительное отношение к преодолению затруднения через исследование.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемного вопроса.
- Планируют последовательность: определить соответствующие элементы, сравнить данные, выбрать признак, записать вывод.
- Проверяют решение по чек-листу и исправляют ошибку в обозначении соответствующих сторон или углов.
- Оценивают степень освоения каждого признака с помощью листа самооценки и сигнала «светофор».
Познавательные УУД
- Анализируют чертежи и выделяют существенные признаки подобия.
- Сравнивают три признака, устанавливают их сходство и различия.
- Строят гипотезу о достаточности двух углов или пропорциональности сторон и проверяют её на примерах.
- Моделируют геометрическую ситуацию с помощью чертежа и интерактивной модели.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: исследователь, оформитель и докладчик.
- Формулируют вопросы к условию и аргументируют выбор признака.
- Слушают решение другой пары, задают уточняющие вопросы и корректно указывают на неточность.
- Согласуют общий вывод и представляют его классу в краткой доказательной форме.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент, мотивация и физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: создать рабочий настрой, показать практическую ценность подобия и включить учащихся в исследовательскую деятельность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два изображения одного фасада: чертёж и его уменьшенную копию. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто запоминать формулировки, а выяснять, какие условия позволяют уверенно утверждать, что два треугольника подобны. Посмотрите на изображения. Архитектор уменьшил план здания, но сохранил его форму. Как можно доказать, что форма не изменилась? Запишите пока свою гипотезу одним предложением». | Записывают гипотезу: «Нужно сравнить углы» или «Нужно сравнить отношения соответствующих сторон»; формулируют один вопрос к теме урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что в практической задаче важно доказать сохранение формы. Сейчас вспомним, какие свойства треугольников и пропорции помогут нам начать исследование».
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (4 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия подобия, пропорциональности и соответствующих элементов, обнаружить недостаточность одного известного условия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран два треугольника с обозначениями $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $AB=6$, $DE=3$. «Подумайте 30 секунд, затем обсудите с соседом: какие элементы называются соответствующими? Что можно сказать о вершинах? Какие стороны будут соответствующими углам $A$ и $D$?». | Индивидуально выделяют пары соответствующих элементов, затем обсуждают в парах и формулируют: «$A$ соответствует $D$, $B$ — $E$, значит $C$ — $F$; сторона $AB$ соответствует $DE$». |
2 мин | Учитель записывает на доске вопрос: «Достаточно ли знать только равенство двух сторон, чтобы доказать подобие?» «Не отвечайте наугад. Рассмотрите два возможных чертежа на экране: в одном угол между сторонами одинаков, в другом различен. Как изменится форма? Почему одного равенства сторон недостаточно?». | Сравнивают чертежи, приводят контрпример и отвечают: «Нет, без информации об углах или других сторонах форма может измениться». Фиксируют затруднение: «Нужно знать достаточный набор условий». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы выяснили, что отдельных равенств недостаточно. Значит, нам нужны точные признаки — минимальные условия, по которым можно доказать подобие. Сформулируем цель исследования».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока, определить план исследовательской работы и критерии успешного доказательства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует проблемный диалог. «На экране три набора данных: два равных угла; две пропорциональные стороны и угол между ними; три пропорциональные стороны. Какой общий вопрос объединяет эти ситуации? Какие данные нам нужно сравнить в каждом случае?». Учитель принимает версии и записывает на доске цель: «Установить три признака подобия треугольников и научиться выбирать нужный». | Формулируют проблемный вопрос: «Какие условия достаточны для доказательства подобия треугольников?» Предлагают план: «Исследовать карточки, сравнить элементы, сформулировать признаки, решить задачи». |
2 мин | Учитель раздаёт чек-лист. «В каждом доказательстве проверяем четыре шага: определили соответствующие элементы; записали равенства или пропорции; назвали признак; сделали вывод о подобии в правильном порядке вершин. Работайте в парах, но каждый фиксирует общий вывод в тетради». | Читают чек-лист, распределяют роли в паре, записывают цель и план исследования. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План принят: сначала исследуем данные, затем формулируем правило и проверяем его задачей. Переходим к открытию нового знания».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Исследовательское открытие трёх признаков (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести формулировки трёх признаков подобия через работу с учебником, чертежами и измерениями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку А с двумя треугольниками и данными $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$. «Откройте учебник на разделе о подобии треугольников и найдите формулировку, соответствующую нашей карточке. Не переписывайте всё подряд: выделите условие и вывод. Почему равенство третьих углов следует из суммы углов треугольника?». | Изучают соответствующий текст учебника, подчёркивают условие, записывают: «Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны». Объясняют: «Третьи углы равны, потому что сумма углов каждого треугольника равна $180^\circ$». |
4 мин | Учитель раздаёт карточку Б: $AB/DE=AC/DF$, $\angle A=\angle D$. «Сравните две пропорциональные стороны и угол между ними. Какой признак подходит? Обратите внимание: угол должен быть заключён именно между данными сторонами. Сформулируйте правило и назовите возможную ошибку». | Находят второй признак в учебнике, составляют формулировку: «Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны, то треугольники подобны». Называют ошибку: «Нельзя брать угол, который не является углом между данными сторонами». |
3 мин | Учитель раздаёт карточку В: $AB/DE=BC/EF=AC/DF$. «Проверьте, достаточно ли трёх пропорциональных сторон. Установите соответствие вершин и сформулируйте третий признак. Затем один докладчик от пары озвучит вывод, а остальные сравнят его с текстом учебника». | Составляют соответствие $AB\leftrightarrow DE$, $BC\leftrightarrow EF$, $AC\leftrightarrow DF$ и формулируют: «Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны». Докладчики представляют вывод, остальные отмечают совпадения и уточняют формулировки. |
Запись в тетрадях
- Первый признак: по двум равным соответствующим углам.
- Второй признак: по двум пропорциональным соответствующим сторонам и равному углу между ними.
- Третий признак: по трём пропорциональным соответствующим сторонам.
- Алгоритм: установить соответствие элементов — записать данные — выбрать признак — записать вывод о подобии.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы не получили признаки готовыми: исследовали данные и вывели условия каждого. Теперь проверим, умеем ли мы выбирать признак и оформлять доказательство без подсказки».
Этап 5. Первичное закрепление в парах с использованием ИКТ (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание признаков и научиться обосновывать выбор через интерактивные чертежи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на интерактивной доске три динамических чертежа. «В первом чертеже при перемещении вершины сохраняются два угла, во втором — отношение двух сторон и угол между ними, в третьем — отношения всех трёх сторон. Обсудите в парах, какой признак работает в каждом случае, и поднимите карточку с номером признака». | В парах наблюдают изменение чертежей, поднимают карточки «1», «2» или «3», объясняют: «В первом случае равны два угла — первый признак». |
4 мин | Учитель предлагает устно разобрать ситуацию: «В треугольниках $ABC$ и $DEF$ известно, что $\angle A=\angle D$, $AB/DE=AC/DF$. Какой вывод можно сделать? Какие вершины нужно записать в названии подобных треугольников?». Учитель показывает эталон записи и просит взаимно проверить работу по чек-листу. | Записывают $\triangle ABC\sim\triangle DEF$ при соответствии $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$; называют второй признак; проверяют партнёра по четырём пунктам чек-листа. |
Эталон решения
Из условия $\angle A=\angle D$ и $AB/DE=AC/DF$. Стороны $AB$ и $AC$ заключают угол $A$, а стороны $DE$ и $DF$ заключают угол $D$. Следовательно, две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны. По второму признаку подобия $\triangle ABC\sim\triangle DEF$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь вы видите, что номер признака определяется не по внешнему виду рисунка, а по данным условия. Переходим к самостоятельной проверке, где каждый выберет посильный уровень».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой и межпредметным контекстом (7 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение признаков и связать геометрическое подобие с масштабом в картографии и архитектуре.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки базового, повышающего и продвинутого уровня. «Выберите уровень самостоятельно. Базовый вариант содержит три задания на определение признака; повышающий — доказательство подобия и нахождение отношения сторон; продвинутый — практический кейс. Записывайте не только ответ, но и основание». Условие кейса: «На плане фасада треугольный фронтон имеет стороны 4 см, 5 см и 6 см. На макете соответствующие стороны равны 8 см, 10 см и 12 см. Обоснуйте, что формы подобны, и определите коэффициент подобия». | Индивидуально решают выбранную карточку. В кейсе сравнивают отношения $8/4=10/5=12/6=2$, выбирают третий признак и получают коэффициент подобия $2$. |
2 мин | Учитель выводит на экран ответы и просит провести самопроверку цветными знаками: зелёный — верно, жёлтый — есть неточность в оформлении, красный — требуется помощь. «Проверьте соответствие вершин, запись пропорций и название признака. Исправьте одну ошибку письменно, если она обнаружена». | Сверяют решения с эталоном, отмечают результат цветным знаком, исправляют ошибку и формулируют, на каком шаге возникло затруднение. |
Эталон решения
Для фронтона и макета: $8/4=2$, $10/5=2$, $12/6=2$. Все три отношения соответствующих сторон равны, поэтому по третьему признаку треугольники подобны. Коэффициент подобия макета к плану равен $k=2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что признаки применимы не только к абстрактным чертежам, но и к масштабным изображениям. Осталось обобщить различия между признаками и оценить собственное продвижение».
Этап 7. Рефлексия, обобщение и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: обобщить материал, выявить уровень понимания и определить дальнейшую индивидуальную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает таблицу с тремя строками и предлагает завершить её устно. «Назовите для каждого признака ключевые данные. Как не перепутать второй и третий признаки? Какой шаг алгоритма чаще всего вызывает ошибку?». | Заполняют пропуски в таблице: «два угла; две стороны и угол между ними; три стороны». Формулируют: «Во втором признаке обязательно проверяем угол между пропорциональными сторонами». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор» и выдаёт мини-билет на выход. «Покажите цвет: зелёный — могу доказать подобие по любому из трёх признаков; жёлтый — нужна тренировка выбора признака; красный — пока затрудняюсь. На билете напишите один признак и короткий пример его применения. Затем запишите домашнее задание». | Показывают карточку цвета, заполняют билет: формулируют выбранный признак и пример данных, при которых он применяется; записывают домашнее задание. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, правильно установлено соответствие элементов, назван нужный признак и записано обоснованное заключение о подобии; практический кейс решён полностью.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, признак выбран верно, но допущена одна неточность в обозначении вершин, пропорции или оформлении доказательства.
- «3» — выполнено не менее 50% заданий, распознаны хотя бы два признака, но имеются ошибки в установлении соответствия или недостаточно обоснован вывод.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой из трёх признаков вы сегодня можете объяснить своими словами? | Выявление осознанности формулировки, а не механического запоминания. |
Какой признак вы выберете, если известны два угла? А если три отношения сторон? | Проверка умения соотносить условие задачи с признаком. |
На каком шаге доказательства вы испытывали затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме решения. |
Где подобие треугольников может применяться вне урока геометрии? | Осознание межпредметной и практической значимости темы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы исследовали, какие минимальные условия позволяют доказать подобие треугольников, и вывели три признака. Важно помнить: нельзя выбирать признак только по внешнему виду чертежа — сначала нужно установить соответствие элементов и проверить данные. Особенно внимательно следите за тем, чтобы во втором признаке угол был заключён между пропорциональными сторонами. На следующем уроке мы применим признаки подобия для нахождения неизвестных сторон и решения практических задач».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: по одному на распознавание каждого признака и одно на составление формулировки по готовому чертежу. В каждом решении указать соответствующие элементы и номер признака. | Закрепляет формулировки и первичное распознавание условий; при проверке обратить внимание на точность соответствия вершин. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на доказательство подобия треугольников по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам; в одной задаче вычислить неизвестную сторону с использованием коэффициента подобия. | Формирует умение выбирать признак и применять подобие для вычислений; при проверке смотреть на обоснование и пропорции. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу о плане, макете или фотографии, где требуется доказать подобие треугольников по одному из признаков, и представить решение с чертежом. | Развивает создание математической модели и перенос знания в реальный контекст; при проверке оценить корректность условия, чертежа и доказательства. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие данные достаточны для первого признака? Какое обязательное уточнение требуется для второго признака? Что нужно сравнить для третьего признака? Как записывается вывод о подобии после доказательства?»
