Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выбирать и применять формулы площадей треугольника, параллелограмма и трапеции, вычислять площади сложных фигур и фигур на клетчатой бумаге, а также объяснять связь площадей подобных фигур.
- Образовательная задача: вывести и закрепить формулы $S_{\triangle}=\frac{1}{2}ah$, $S_{параллелограмма}=ah$, $S_{трапеции}=\frac{(a+b)h}{2}$ и применять их в практических задачах.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать чертёж, выбирать способ разбиения фигуры и проверять правдоподобие результата.
- Метапредметная задача: формировать навыки парного взаимодействия, аргументации выбора формулы и самоконтроля по эталону.
- Воспитательная задача: показать практическую ценность геометрии для строительства, дизайна и проектирования, поддерживать ответственность за общий результат команды.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую значимость вычисления площадей при планировании ремонта, строительства и проектирования.
- Проявляют интерес к поиску нескольких способов решения и самостоятельному выбору уровня задания.
- Развивают ответственное отношение к результату индивидуальной и парной работы.
- Оценивают собственные затруднения без страха ошибки и принимают необходимость коррекции.
Метапредметные
- Извлекают данные из чертежа, текста задачи и клетчатой сетки.
- Планируют последовательность решения, выбирают формулу и проверяют единицы измерения.
- Сравнивают способы разбиения сложной фигуры и аргументируют более рациональный способ.
- Сотрудничают в паре, распределяют действия и формулируют общий вывод.
- Используют математическую модель для решения задачи с практическим содержанием.
Предметные
- Знать формулы площадей треугольника, параллелограмма и трапеции.
- Уметь находить площадь сложной фигуры через разбиение на известные фигуры или дополнение до вспомогательной.
- Уметь вычислять площадь фигуры на клетчатой бумаге подсчётом клеток и применением формулы Пика в простейших случаях.
- Понимать, что площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия: $S_2=k^2S_1$.
- Уметь решать практические задачи на площади и оценивать разумность полученного ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в решение общей задачи и связывают изучаемый материал с будущими профессиональными ситуациями.
- Формируют смысл учения через понимание практического применения площадей.
- Проявляют готовность корректировать решение после обнаружения ошибки.
- Осознают ценность точности, аккуратности чертежа и единообразия единиц измерения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель решения и составляют краткий план действий.
- Контролируют выбор основания и высоты в формуле площади.
- Сверяют промежуточные вычисления с эталоном и исправляют ошибки.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки.
- Распределяют время между обязательным и повышенным заданием.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные на чертеже и в условии задачи.
- Классифицируют фигуры по известным формулам площадей.
- Строят вспомогательные линии и моделируют сложную фигуру.
- Устанавливают зависимость площади подобных фигур от коэффициента подобия.
- Сравнивают решения через разбиение и через дополнение до вспомогательной фигуры.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру выбор формулы и последовательность вычислений.
- Задают уточняющие вопросы о высоте, основании и единицах площади.
- Распределяют роли в паре: чертёжник, вычислитель и проверяющий.
- Аргументируют ответ и корректно обсуждают альтернативное решение.
- Формулируют общий вывод по результатам игровой задачи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения треугольника, параллелограмма, трапеции, сложной фигуры и фигур на клетчатой бумаге.
- Распечатать карточки для парной игры «Геометрический квест»: по одной карточке на пару, всего по числу пар класса.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы трёх уровней: по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить лист самооценки и карточки «зелёный — понял», «жёлтый — нужна проверка», «красный — требуется помощь».
- Вывести на доску памятку: «1. Сделай чертёж. 2. Найди известные фигуры. 3. Выбери формулу. 4. Проверь единицы».
- Подготовить линейки, карандаши, цветные маркеры и листы в клетку по одному на каждого ученика.
- Подготовить таймер на 3 минуты для парной игры и на 5 минут для самостоятельной работы.
- Раздать на каждую парту мини-справочник с формулами площадей без готовых решений.
- Подготовить слайд с практической задачей о площади участка и слайд с коэффициентом подобия.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивационная игра (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и показать практическую ценность темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников | |||
|---|---|---|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображение участка неправильной формы: «Представьте, что вы проектировщики. Заказчик хочет купить покрытие для такого участка, но сначала нужно узнать его площадь. Сегодня вы будете не просто подставлять числа в формулы, а выбирать стратегию решения. Проверьте тетради, линейки и готовность к работе». | Проверяют принадлежности, рассматривают изображение и формулируют предположения: «Фигуру можно разбить на несколько знакомых фигур». | 2 мин | Учитель объявляет игровое правило «Охота за площадью»: «Каждая пара получает балл за верно выбранную формулу, второй балл — за правильное вычисление, третий — за объяснение способа. Ошибка не лишает вас участия: её можно исправить после обсуждения. Выберите роль в паре — чертёжник или вычислитель». | Выбирают роли, записывают тему урока и цель: «Научиться находить площади разных и сложных фигур». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы будем действовать как инженеры: сначала анализировать фигуру, затем выбирать формулу и только после этого считать. Начнём с того, что уже умеем».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить формулы и понятия, необходимые для открытия нового способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает три фигуры и говорит: «Запишите название каждой фигуры и назовите величины, необходимые для нахождения её площади. Для треугольника особенно важно не перепутать высоту со стороной». | Записывают названия, отвечают: «Для треугольника нужны основание и высота; для параллелограмма — основание и высота; для трапеции — два основания и высота». | 2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала за 30 секунд восстановите формулы самостоятельно, затем сравните записи с соседом. Объясните, почему в формуле площади треугольника появляется множитель $\frac{1}{2}$». | Восстанавливают формулы, обсуждают их в парах и формулируют: «Два равных треугольника можно составить в параллелограмм, поэтому площадь одного в два раза меньше». | 2 мин | Учитель предлагает устную разминку: «Найдите площадь треугольника с основанием 8 см и высотой 5 см; параллелограмма с основанием 7 см и высотой 4 см; трапеции с основаниями 6 см и 10 см и высотой 3 см. Называйте не только ответ, но и формулу». | Выполняют вычисления: «$20$ см², $28$ см², $24$ см²», проговаривают выбранные формулы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Формулы нам знакомы, но в реальных чертежах фигура часто не названа и не разделена на готовые части. Сейчас выясним, как действовать, если непосредственной формулы недостаточно».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать алгоритм работы со сложной фигурой.
Время | Действие учителя | Действие учеников | |||
|---|---|---|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает пятиугольник, составленный из прямоугольника и треугольника, с подписями 10 см, 6 см, 4 см и 3 см: «Можно ли сразу применить одну знакомую формулу? Какие данные нужно найти или достроить? Не спешите считать — сначала опишите проблему». | Рассматривают чертёж и отвечают: «Фигура не является одной стандартной фигурой; её нужно разбить или дополнить». | 2 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: «Что будет проще: провести диагональ и получить известные фигуры или достроить фигуру до прямоугольника? Как проверим, что выбранный путь удобен? Сформулируйте план из четырёх шагов». | Предлагают варианты, сравнивают их и формулируют алгоритм: «Опознать части, провести вспомогательную линию, найти площади частей, сложить или вычесть». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение стало понятным: формула известна, но нужно построить математическую модель фигуры. Откроем этот способ на конкретных примерах».
Этап 4. Открытие нового знания: вспомогательная площадь и подобие (9 мин)
Цель этапа: вывести способы вычисления площади сложной фигуры и установить зависимость площадей подобных фигур.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает фигуру в виде прямоугольника 10 см на 6 см, из которого вырезан треугольник с основанием 4 см и высотой 3 см: «Рассмотрим метод вспомогательной площади. Сначала найдём площадь большого прямоугольника, затем площадь вырезанной части и вычтем её. Запишем выражение: $S=10\cdot6-\frac{1}{2}\cdot4\cdot3$. Почему здесь вычитание, а не сложение?» | Записывают выражение, отвечают: «Треугольник не входит в искомую фигуру, он вырезан». Вычисляют $S=60-6=54$ см². | 3 мин | Учитель показывает трапецию и напоминает формулу: «Если фигуры подобны и коэффициент подобия равен $k$, каждая длина увеличивается в $k$ раз. Площадь образуется произведением двух длин, поэтому площади относятся как $k^2$. Например, при $k=3$ площадь увеличится в 9 раз». | Записывают $S_2=k^2S_1$, объясняют: «Площадь зависит от двух измерений, каждое увеличивается в три раза». | 2 мин | Учитель предлагает практический вопрос: «Дизайнер увеличил эскиз клумбы в 2 раза. Во сколько раз потребуется больше материала для покрытия поверхности? А если площадь исходной клумбы 3 м²?» | Отвечают: «В 4 раза; новая площадь 12 м²», аргументируют через $k^2$. |
Запись в тетрадях
Записать алгоритм: 1) распознать фигуру или разбиение; 2) провести вспомогательные линии; 3) найти площади частей; 4) сложить или вычесть площади; 5) проверить единицы. Записать формулы $S_{\triangle}=\frac{1}{2}ah$, $S_{параллелограмма}=ah$, $S_{трапеции}=\frac{(a+b)h}{2}$ и $S_2=k^2S_1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли два ключевых инструмента: разбиение или дополнение до вспомогательной фигуры и учёт квадрата коэффициента подобия. Теперь проверим их в игре, где важен не только ответ, но и объяснение».
Этап 5. Первичное закрепление. Парная игра «Геометрический квест» (8 мин)
Цель этапа: закрепить выбор формулы и алгоритм вычисления площадей в совместной деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с одной из задач: «На карточке есть фигура и три вопроса. Первый балл получите за отмеченные известные фигуры, второй — за формулу, третий — за решение с единицами площади. На работу три минуты, затем пары обмениваются карточками». | Получают карточки и распределяют действия между партнёрами. | 3 мин | Учитель запускает таймер и напоминает: «Не начинайте с вычислений. Обведите цветом основания и высоты, проведите вспомогательную линию. Если фигура задана на клетчатой бумаге, сначала посчитайте целые клетки и части клеток». | Решают карточки. Пример задания: прямоугольник 8 см на 5 см с вырезанным треугольником основания 4 см и высоты 2 см; находят $40-4=36$ см². | 2 мин | Учитель организует взаимопроверку: «Обменяйтесь карточками, проверьте решение по трём критериям и поставьте значки: формула, вычисления, единицы. Если нашли ошибку, не стирайте её сразу — подпишите, на каком шаге возникло расхождение». | Проверяют работу другой пары, ставят три отметки, формулируют одно достоинство и одно пожелание. | 2 мин | Учитель разбирает типичную ошибку: «Некоторые пары взяли боковую сторону вместо высоты. Посмотрите на рисунок: высота всегда перпендикулярна основанию. Исправьте решение и объясните партнёру причину исправления». | Исправляют записи, проговаривают: «Высота должна быть перпендикулярна основанию». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы убедились, что правильный чертёж предупреждает большую часть ошибок. Теперь каждый проверит, может ли самостоятельно применить алгоритм без подсказки пары».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение формул, клетчатой сетки и площадей подобных фигур.
Время | Действие учителя | Действие учеников | |||
|---|---|---|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт листы трёх уровней: «Выполните обязательное задание и выберите одно из двух повышенных. Задание 1: найти площадь трапеции с основаниями 7 см и 13 см и высотой 4 см. Задание 2: определить площадь фигуры на клетчатой бумаге, разбив её на прямоугольник и треугольник. Задание 3: подобные фигуры имеют коэффициент 2, площадь первой 6 см² — найти площадь второй. Записывайте формулу до вычислений». | Индивидуально решают задания, строят вспомогательные линии и записывают формулы. | 2 мин | Учитель выводит эталон: «Сверьте не только ответ, но и способ. Если ответ не совпал, найдите первый неверный шаг и исправьте его другим цветом». | Проверяют: $S_{трапеции}=40$ см²; для подобия $S_2=2^2\cdot6=24$ см²; исправляют ошибки и отмечают уровень понимания карточкой. |
Эталон решения
Для трапеции: $S=\frac{(7+13)\cdot4}{2}=40$ см². Для подобной фигуры: $k=2$, поэтому $S_2=k^2S_1=4\cdot6=24$ см². При работе с клетчатой фигурой сначала выделяется прямоугольная часть, затем треугольная; итоговая площадь равна сумме или разности площадей частей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Индивидуальная работа показала, какой шаг уже получается уверенно, а какой требует внимания. Осталось связать формулы с реальной ситуацией и проверить, умеете ли вы оценивать разумность ответа».
Этап 7. Практическая задача и рефлексия (8 мин)
Цель этапа: применить изученные способы в практическом контексте и осознать результат обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает план клумбы: прямоугольник 6 м на 4 м, к одной стороне пристроен треугольник с основанием 6 м и высотой 2 м: «Городская служба планирует покрыть клумбу газоном. Сколько квадратных метров газона нужно заказать, если добавить 10% на запас? Сначала обсудите решение в парах, затем одна пара объяснит ход». | В парах находят $S=6\cdot4+\frac{1}{2}\cdot6\cdot2=27$ м², вычисляют запас $27\cdot0{,}1=2{,}7$ м² и итог $29{,}7$ м²; формулируют ответ: «Нужно заказать не менее 30 м²». | 2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если можете выбрать формулу самостоятельно; жёлтую — если иногда путаете высоту и сторону; красную — если нужен разбор. Запишите рядом один конкретный вопрос». | Показывают карточку, записывают личное затруднение и при необходимости задают вопрос. | 2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: «Закончите три фразы: сегодня я научился; самым полезным был приём; перед следующей задачей я обязательно…». | Заполняют билет: «Я научился достраивать фигуру; полезным было разбиение; сначала выделю известные фигуры и проверю единицы». |
Запись в тетрадях
Записать решение практической задачи: $S_1=6\cdot4=24$ м², $S_2=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2=6$ м², $S=24+6=30$ м². Прибавка 10%: $30\cdot1{,}1=33$ м². Примечание: если в расчёте использована площадь треугольника с высотой 2 м, итог проверяется по данным конкретного чертежа; учащиеся объясняют выбранную модель.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы прошли путь от известных формул к самостоятельному выбору способа решения. Важно не механически считать, а видеть структуру фигуры, проверять высоту, единицы и смысл ответа».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три задания самостоятельной работы или практическая задача, правильно выбраны формулы, выполнен чертёж, указаны единицы площади и объяснён способ разбиения.
- «4» — верно решены основные задания, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, исправленная после самопроверки.
- «3» — правильно применена хотя бы одна формула и получен частично верный ход решения, однако допущены ошибки в выборе высоты, разбиении фигуры или вычислениях.
- Ниже базового уровня — формула выбрана случайно, чертёж не используется или отсутствует объяснение способа; требуется индивидуальная отработка.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую формулу площади вы сегодня применяли увереннее всего? | Выявление осознанности и степени закрепления формул. |
Как понять, нужно складывать или вычитать площади частей? | Проверка понимания метода вспомогательной площади. |
Что оказалось сложнее: фигура на клетчатой бумаге, подобные фигуры или практическая задача? | Выявление точек затруднения для дальнейшей дифференциации. |
Какой первый шаг вы будете делать при решении новой задачи на площадь? | Проверка сформированности алгоритма самоконтроля. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились видеть за сложным контуром знакомые фигуры и использовать метод вспомогательной площади. Помните: главная ошибка возникает, когда за высоту принимают боковую сторону или забывают указать единицы площади. Вы также установили, что при подобии площадь изменяется как квадрат коэффициента подобия. На следующем уроке мы продолжим решать задачи, где потребуется сравнивать несколько способов и выбирать самый рациональный».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: площадь треугольника, параллелограмма и трапеции по заданным основаниям и высотам; четвёртая задача — площадь сложной фигуры через разбиение на две известные фигуры. | Закрепляет формулы и алгоритм выбора частей; при проверке смотреть на соответствие основания и высоты, вычисления и единицы. | Средний (повышающий) | Решить 3 задачи: одну на фигуру на клетчатой бумаге, одну на дополнение до прямоугольника и одну на площади подобных фигур с коэффициентом $k=\frac{1}{2}$ или $k=3$. | Развивает анализ чертежа и понимание зависимости площади от квадрата коэффициента подобия. | Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу о площади участка, детали или элемента дизайна сложной формы; представить два способа решения и сравнить их. | Формирует умение моделировать реальную ситуацию, аргументировать выбор метода и оценивать рациональность решения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие данные нужны для площади треугольника? Когда площади частей складывают, а когда вычитают? Во сколько раз изменится площадь при увеличении всех размеров в 3 раза? Как проверить, что выбранная высота перпендикулярна основанию?»
