Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выбирать и применять формулы площади треугольника и многоугольной фигуры, а также находить площадь фигуры, подобной данной, по коэффициенту подобия, решив не менее трёх практических задач с обоснованием действий.
- Сформировать умение находить площадь треугольника по основанию и высоте, а также вычислять площадь многоугольника разбиением на известные фигуры.
- Установить зависимость площадей подобных фигур от коэффициента подобия и применять её в задачах.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать рациональный способ решения, проверять результат и аргументировать его в паре.
- Воспитывать аккуратность геометрических построений, самостоятельность и ответственное отношение к распределению ролей в совместной работе.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать практическую ценность вычисления площадей при проектировании, ремонте и планировании пространства.
- Проявлять готовность самостоятельно выбирать способ решения и отвечать за полученный результат.
- Формировать положительную мотивацию к изучению геометрии через решение задач с реальным контекстом.
- Оценивать собственный вклад в парную работу и корректно воспринимать замечания одноклассников.
Метапредметные
- Выделять данные и требуемую величину в текстовой геометрической задаче.
- Строить план решения, сравнивать несколько способов разбиения многоугольника на известные фигуры.
- Использовать математическую речь для объяснения формулы и последовательности вычислений.
- Проверять правдоподобие ответа по единицам измерения и оценке величины результата.
Предметные
- Знать формулу площади треугольника $S=\frac{1}{2}ah$ и понимать смысл входящих в неё величин.
- Уметь находить площадь треугольника по основанию и высоте, проведённой к этому основанию.
- Уметь вычислять площадь многоугольника посредством разбиения на треугольники, прямоугольники и трапеции.
- Знать зависимость площадей подобных фигур: если коэффициент подобия равен $k$, то отношение площадей равно $k^2$.
- Уметь применять формулу $S_2=k^2S_1$ и записывать ответ с квадратными единицами измерения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на урок и соотносят её с практической задачей.
- Проявляют интерес к поиску рационального способа вычисления площади.
- Осознают значение точности измерений и записи единиц площади.
- Уважительно относятся к мнению партнёра при обсуждении решения.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную проблему и планируют последовательность действий.
- Выбирают формулу с учётом известных величин и расположения высоты.
- Осуществляют самопроверку по эталону и исправляют вычислительные ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Извлекают информацию из чертежа и текста задачи.
- Сравнивают площади подобных фигур и устанавливают закономерность через конкретные примеры.
- Моделируют многоугольник как сумму простых фигур.
- Анализируют решение и проверяют соответствие ответа условию.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, проверяющий, докладчик.
- Задают уточняющие вопросы о выборе формулы.
- Аргументируют способ разбиения многоугольника.
- Корректно принимают иную стратегию решения и сравнивают её с собственной.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с чертежами треугольника, многоугольника и двух подобных фигур; на слайдах указать все известные длины без готовых формул решения.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я знаю формулу», «Я выбираю высоту», «Я применяю коэффициент подобия», «Я проверяю единицы площади» — по одному на каждого ученика.
- Распечатать карточки для парной работы с изображениями двух многоугольников — по одной на пару.
- Подготовить цветные маркеры или карандаши для обозначения высот и линий разбиения.
- Вывести на доску или подготовить к записи шпаргалку-напоминание: $S=\frac{1}{2}ah$, площадь многоугольника равна сумме площадей частей, $S_2=k^2S_1$.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, линейки и калькуляторы по решению учителя.
- Разложить на парты чистые листы для мини-построений и стикеры для рефлексии.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране план участка неправильной формы: "Представьте, что вы помогаете рассчитать площадь площадки под спортивную зону. Форма участка не является прямоугольником. Как вы предложите действовать, если измерения уже выполнены?" | Рассматривают чертёж, предлагают: "Разбить фигуру на более простые части", "найти площади частей и сложить их". |
2 мин | Учитель продолжает: "Сегодня мы проверим, всегда ли такой способ работает, научимся находить площадь треугольника и выясним, как изменяется площадь при подобии. Выберите для себя личный результат: уверенно применять формулы или научиться объяснять выбор способа решения." | Формулируют личную цель в тетради одним предложением; несколько учеников озвучивают её. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что реальная фигура часто требует разбиения на части. Сначала вспомним известные способы вычисления площадей, а затем найдём недостающую закономерность."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить опорные знания о площадях прямоугольника, параллелограмма и единицах измерения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Запишите формулы площадей прямоугольника и параллелограмма. Объясните, какая высота используется в формуле площади параллелограмма. Сначала подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом." | Записывают $S=ab$ и $S=ah$, обсуждают, формулируют: "Высота должна быть перпендикулярна выбранному основанию". |
3 мин | Учитель показывает прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см и параллелограмм с основанием 6 см и высотой 4 см: "Вычислите площади и назовите единицы измерения. Почему нельзя записать результат в сантиметрах?" | Выполняют вычисления: $24\text{ см}^2$ и $24\text{ см}^2$; отвечают: "Площадь измеряется квадратными единицами, потому что сравнивается поверхность". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что площадь зависит от основания и соответствующей высоты, а ответ записывается в квадратных единицах. Теперь выясним, как получить формулу для треугольника."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: создать проблемную ситуацию и совместно сформулировать план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает параллелограмм, разделённый диагональю: "Перед нами два треугольника. Что можно сказать об их площадях? Как связана площадь каждого треугольника с площадью параллелограмма? Обоснуйте, а не только назовите ответ." | Наблюдают, предполагают: "Диагональ делит параллелограмм на два равных по площади треугольника", объясняют совпадением основания и высоты. |
2 мин | Учитель фиксирует гипотезу и спрашивает: "Какой план поможет проверить её? Какие знания нам понадобятся для многоугольных фигур и подобных фигур?" Учитель записывает на доске предложения класса. | Формулируют план: вывести формулу площади треугольника, потренироваться на многоугольнике, установить зависимость площадей подобных фигур. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно не просто запомнить формулу, а понять её происхождение и область применения. Переходим к открытию."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести формулу площади треугольника и установить формулу площадей подобных фигур.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует параллелограмм с диагональю: "Обозначим основание треугольника через $a$, а высоту, проведённую к нему, через $h$. Два равных треугольника составляют параллелограмм. Его площадь равна $ah$, значит площадь одного треугольника в два раза меньше. Запишите вывод и объясните его словами." | Переносят чертёж в тетрадь, записывают $S_{\triangle}=\frac{1}{2}ah$, формулируют: "Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию". |
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки с двумя подобными прямоугольниками со сторонами 3 см и 5 см, а также 6 см и 10 см: "Найдите площади и сравните соответствующие стороны. Во сколько раз изменились стороны? Во сколько раз изменилась площадь?" | В парах вычисляют $15\text{ см}^2$ и $60\text{ см}^2$, находят $k=2$, делают вывод: площадь увеличилась в $4$ раза. |
2 мин | Учитель обобщает: "Для любых подобных фигур все соответствующие длины изменяются в $k$ раз. Площадь образуется двумя измерениями, поэтому изменяется в $k^2$ раз. Запишите формулу и проговорите её." | Записывают $S_2=k^2S_1$ и формулируют: "Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия". |
Запись в тетрадях
- $S_{\triangle}=\frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, $h$ — высота, проведённая к основанию.
- Площадь многоугольника можно найти разбиением на фигуры с известными формулами.
- Для подобных фигур $S_2=k^2S_1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели формулу, а не получили её как готовое правило, и установили, почему коэффициент подобия возводится в квадрат. Теперь применим новые знания на чертеже."
Этап 5. Первичное закрепление: разбор многоугольной фигуры (7 мин)
Цель этапа: научиться выбирать разбиение многоугольника и последовательно вычислять площади его частей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране прямоугольник $ABCD$ со сторонами 10 см и 6 см, из которого срезан треугольник с основанием 4 см и высотой 3 см: "Найдите площадь оставшейся фигуры. Какие части вы видите? Какой способ будет короче: сложение или вычитание?" | Выделяют прямоугольник и вырезанный треугольник, выбирают вычитание, объясняют выбор. |
3 мин | Учитель предлагает решить задачу в парах: "Сначала запишите формулы, затем подставьте значения и укажите единицы измерения. Проверяющий в паре следит за соответствием основания и высоты." | Решают в парах, один ученик вычисляет, второй проверяет: $S_{пр}=10\cdot6=60\text{ см}^2$, $S_{тр}=\frac12\cdot4\cdot3=6\text{ см}^2$, $S=60-6=54\text{ см}^2$. |
2 мин | Учитель просит две пары сравнить решения: "Назовите обязательные шаги и типичную ошибку. Можно ли было разбить фигуру иначе?" | Формулируют алгоритм: выделить части, записать формулы, вычислить, сложить или вычесть, указать единицы; называют ошибку выбора не соответствующей высоты. |
Эталон решения
1. Площадь исходного прямоугольника: $S_1=10\cdot6=60\text{ см}^2$. 2. Площадь вырезанного треугольника: $S_2=\frac{1}{2}\cdot4\cdot3=6\text{ см}^2$. 3. Площадь оставшейся фигуры: $S=60-6=54\text{ см}^2$. Ответ: $54\text{ см}^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Многоугольник необязательно считать одной формулой: мы представляем его как сумму или разность известных фигур. Теперь каждый проверит, умеет ли самостоятельно выбрать формулу и выполнить вычисления."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (11 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение формул площади треугольника, многоугольника и подобных фигур.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень, который соответствует вашей цели. Базовый обязателен для всех; средний и продвинутый можно выбрать при готовности. Записывайте не только ответ, но и формулу." | Выбирают карточку, подписывают лист и читают критерии выполнения. |
6 мин | Учитель контролирует работу и напоминает: "В задаче о треугольнике сначала найдите основание и высоту к нему. В задаче о подобных фигурах определите $k$, затем используйте квадрат коэффициента. Не забывайте о единицах площади." | Индивидуально решают выбранные задания: базовый уровень — два треугольника; средний — многоугольник разбиением; продвинутый — подобные фигуры и обратная задача. |
4 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте каждую строку решения, а не только итоговое число. Отметьте зелёным правильные шаги, жёлтым — место сомнения, красным — ошибку, которую нужно исправить." | Проверяют работу по эталону, исправляют ошибки, заполняют лист самооценки и формулируют, какая формула требует повторения. |
Эталон решения
Пример среднего уровня: многоугольник разбит на прямоугольник со сторонами 8 см и 5 см и треугольник с основанием 8 см и высотой 3 см. $S_1=8\cdot5=40\text{ см}^2$; $S_2=\frac12\cdot8\cdot3=12\text{ см}^2$; $S=40+12=52\text{ см}^2$. Пример продвинутого уровня: если $S_1=18\text{ см}^2$ и $k=3$, то $S_2=3^2\cdot18=162\text{ см}^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формула становится рабочим инструментом только тогда, когда мы правильно читаем чертёж и объясняем выбор величин. Осталось обобщить, что именно вы сегодня открыли и что ещё требует тренировки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результаты урока, соотнести их с поставленной целью и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите цвет, который отражает ваше состояние: зелёный — могу решить самостоятельно, жёлтый — понимаю формулу, но ошибаюсь в выборе высоты или коэффициента, красный — нужна помощь. Объясните выбор соседу." | Показывают карточку, называют конкретную причину выбора: "Путаю основание и высоту", "уверенно применяю $k^2$". |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Как найти площадь треугольника? Что обязательно должно быть перпендикулярно основанию? Почему у коэффициента подобия квадрат? Как найти площадь сложного многоугольника?" | Отвечают: "$S=\frac12ah$"; "высота"; "площадь зависит от двух измерений"; "разбить на простые фигуры и сложить или вычесть площади". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и просит записать его по выбранному уровню: "Обязательный уровень выполняют все; следующий выбирайте по результату самооценки." | Записывают задание, отмечают личную цель для домашней работы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранного уровня, правильно выбраны основания и высоты, формула площадей подобных фигур применена с квадратом коэффициента, вычисления и единицы площади записаны корректно.
- «4» — выполнены основные задания, но допущена одна несущественная вычислительная или оформительская ошибка, не нарушающая общий способ решения.
- «3» — верно выполнено не менее половины обязательных действий, формулы в основном выбраны правильно, но есть ошибки в вычислениях, разбиении фигуры или записи единиц.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы сегодня вывели, а не просто запомнили? | Выявление осознанности происхождения формулы площади треугольника. |
Как вы определяете, какую высоту нужно использовать? | Выявление понимания связи основания и соответствующей высоты. |
Почему при коэффициенте подобия $k$ площадь изменяется в $k^2$ раз? | Проверка понимания зависимости площади от двух линейных размеров. |
Какой шаг решения оказался самым сложным и какую помощь вы выберете? | Определение точек затруднения и развитие навыка саморегуляции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились находить площадь треугольника через основание и соответствующую высоту, а сложную фигуру представлять как сумму или разность простых фигур. Мы также установили важное свойство подобных фигур: площади относятся как квадраты коэффициента подобия. Самая частая ошибка — использовать высоту, которая не перпендикулярна выбранному основанию, или забывать квадрат у коэффициента. На следующем уроке мы продолжим решать практические задачи на площади и сравним несколько способов их решения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на площадь треугольника по основанию и высоте и две на площадь многоугольника, разбитого на прямоугольник и треугольник. В каждой задаче записать формулу и единицы площади. | Закрепляет базовые формулы и алгоритм разбиения; при проверке обратить внимание на соответствие основания и высоты. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на площади подобных фигур: определить площадь второй фигуры по площади первой и коэффициенту подобия, а также найти коэффициент по данным площадям. | Формирует умение применять $S_2=k^2S_1$ в прямом и обратном направлении; проверить правильность работы с квадратным корнем в обратной задаче. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о площади участка или детали, имеющей форму многоугольника, включив треугольную часть и подобную ей фигуру. Представить чертёж, данные, решение и краткое обоснование выбранного способа. | Развивает создание математической модели, аргументацию и функциональную грамотность; при проверке оценить реалистичность данных и полноту обоснования. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается формула площади треугольника? Какая высота соответствует выбранному основанию? Как изменится площадь подобной фигуры при увеличении всех сторон в 2 раза? Какими способами можно найти площадь многоугольника?»
