Площади подобных фигур и многоугольных фигур на клетчатой бумаге
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться находить площадь подобных фигур, применять формулы площадей треугольника и многоугольника в практических задачах, а также вычислять площадь фигуры на клетчатой бумаге и объяснять выбранный способ решения.
- Установить зависимость площадей подобных фигур от коэффициента подобия и применять её при решении задач.
- Закрепить умение разбивать многоугольную фигуру на треугольники и прямоугольники либо дополнять её до простой фигуры.
- Развивать умение выбирать рациональный способ решения, проверять результат по условию и аргументировать его.
- Воспитывать аккуратность вычислений, ответственность за результат совместной работы и понимание практической ценности геометрических знаний.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую значимость вычисления площадей при ремонте, проектировании и планировании пространства.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать способ решения и отвечать за обоснованность своего выбора.
- Понимают ценность точности измерений и аккуратности математической записи.
- Уважительно относятся к различным стратегиям решения, предложенным одноклассниками.
Метапредметные
- Извлекают данные из чертежа, текста практической задачи и изображения на клетчатой бумаге.
- Сравнивают способы нахождения площади и выбирают наиболее рациональный.
- Планируют последовательность действий, осуществляют самопроверку и корректируют решение.
- Формулируют выводы, участвуют в обсуждении и аргументируют математическую позицию.
Предметные
- Знать, что площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $S_2=k^2S_1$.
- Уметь находить площадь треугольника, прямоугольника, параллелограмма и составной многоугольной фигуры.
- Уметь определять площадь фигуры на клетчатой бумаге разбиением на части или дополнением до прямоугольника.
- Уметь применять формулы площадей в практических ситуациях и записывать единицы измерения.
- Уметь проверять правдоподобие полученного результата по размерам фигуры.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в решение практической геометрической задачи.
- Осознают необходимость точного расчёта площади при выборе материалов и планировании расходов.
- Проявляют познавательный интерес к разным способам вычисления одной и той же площади.
- Оценивают собственную уверенность в применении формул и планируют дальнейшее улучшение результата.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель решения задачи и составляют краткий план действий.
- Выбирают формулу или способ разбиения фигуры на основании данных чертежа.
- Сверяют промежуточные вычисления с условием и эталоном.
- Обнаруживают ошибку в единицах измерения или вычислениях и исправляют её.
Познавательные УУД
- Устанавливают причинно-следственную связь между коэффициентом подобия и изменением площади.
- Моделируют многоугольную фигуру с помощью знакомых геометрических фигур.
- Анализируют чертёж, выделяют известные элементы и недостающие данные.
- Сопоставляют алгоритмы разбиения и дополнения фигуры, оценивают их эффективность.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре или группе при решении практической задачи.
- Формулируют вопрос к решению одноклассника и дают содержательную обратную связь.
- Доказывают правильность выбранного способа с опорой на формулы и чертёж.
- Приходят к общему решению, учитывая аргументы участников группы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения трёх пар подобных фигур с коэффициентами подобия $2$, $3$ и $1/2$, а также схему зависимости площадей.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика и по комплекту на каждую группу.
- Подготовить листы с изображениями многоугольников на клетчатой бумаге, где сторона клетки равна 1 см, по одному листу на пару.
- Вывести на доску памятку: $S_{\triangle}=\frac12 ah$, $S_{прям}=ab$, $S_{паралл}=ah$, $S_2=k^2S_1$.
- Подготовить практическую карточку о расчёте площади пола комнаты и количества упаковок напольного покрытия — по одной на парту.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры, линейки, карандаши, стикеры и таймер.
- Организовать на доске место для эталона решения и таблицы «Способ — формула — проверка».
- Проверить готовность проектора, интерактивной доски или документ-камеры для показа решений на клетчатой бумаге.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практическую необходимость точного вычисления площадей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране план помещения неправильной формы: "Здравствуйте, ребята. Представьте, что вы проектируете небольшую комнату или участок. Форма пространства не всегда является прямоугольником, а материалов нужно купить ровно столько, сколько требуется. Как узнать площадь, если фигура составная или изображена на клетчатой бумаге?" | Рассматривают план, называют знакомые способы: "Разбить фигуру на части", "достроить до прямоугольника", "использовать клетки". |
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом, какой способ был бы самым надёжным. Не просто назовите его, а объясните, почему он работает. Через минуту я попрошу несколько пар поделиться идеями." | Самостоятельно формулируют способ, обсуждают его в парах и предлагают ответы: "Нужно выбрать фигуры, площади которых мы умеем находить", "результат следует проверить по единицам и размерам". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы будем действовать как инженеры: выбирать модель, вычислять площадь и проверять результат. Сначала вспомним необходимые формулы, затем откроем связь площадей подобных фигур и применим её в практических задачах."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить формулы площадей и подготовить учащихся к открытию зависимости для подобных фигур.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске прямоугольник, параллелограмм и треугольник: "Назовите фигуры и формулы их площадей. Для каждой формулы уточните, какие отрезки должны быть перпендикулярными. Почему высота треугольника не обязана совпадать со стороной?" | По очереди называют: "$S=ab$", "$S=ah$", "$S=\frac12 ah$"; объясняют: "Высота — это перпендикуляр к основанию или его продолжению". |
3 мин | Учитель раздаёт мини-карточки с утверждениями и предлагает приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, жёлтую — если нужна оговорка, красную — если оно неверно. Утверждение первое: при увеличении всех сторон фигуры в два раза её площадь увеличивается в два раза. Утверждение второе: площадь треугольника равна произведению основания на высоту. Утверждение третье: площадь можно находить через разбиение фигуры на части." | Отмечают цветом ответы, исправляют ошибки. Формулируют: "Первое утверждение неверно: площадь увеличится в четыре раза"; "у треугольника нужен множитель $1/2$"; "разбиение на части возможно, если части не перекрываются". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулы площадей у нас есть, но утверждение о подобной фигуре требует доказательного объяснения. Сейчас проверим на конкретных примерах, как изменяется площадь при изменении размеров."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два подобных прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см у первой фигуры и 4 см и 6 см у второй: "Коэффициент подобия равен 2. Во сколько раз изменились длины? Во сколько раз изменились площади? Ответьте сначала быстро, не выполняя полное вычисление." | Называют: "Длины увеличились в два раза"; часть учащихся предполагает: "Площадь увеличилась в два раза", другие — "в четыре раза". |
2 мин | Учитель фиксирует разные ответы: "Возникло противоречие. Как его разрешить? Что нужно сравнить и какие действия выполнить? Сформулируйте цель урока так, чтобы её можно было проверить в конце." | Формулируют цель: "Установить, как связаны площади подобных фигур", "научиться находить площадь составных фигур и фигур на клетчатой бумаге", "решать практические задачи и объяснять способ". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы обнаружили, что увеличение каждой длины в два раза не означает двукратное увеличение площади. Проверим гипотезу на формуле прямоугольника и распространим вывод на подобные фигуры."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести и осмыслить зависимость площадей подобных фигур от коэффициента подобия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель возвращается к прямоугольникам: "У первой фигуры стороны $a$ и $b$, поэтому её площадь $S_1=ab$. У второй фигуры стороны увеличены в $k$ раз: $ka$ и $kb$. Запишем площадь второй фигуры: $S_2=(ka)(kb)$. Что можно вынести за скобки?" | Записывают рассуждение и отвечают: "$S_2=k^2ab$, а так как $ab=S_1$, то $S_2=k^2S_1$". |
3 мин | Учитель показывает на экране пару подобных треугольников и объясняет: "У подобных фигур все соответствующие линейные размеры изменяются в $k$ раз. Площадь образуется произведением двух измерений, поэтому меняется в $k^2$ раз. Запишите общий вывод и проговорите его словами." | Записывают правило: "$S_2=k^2S_1$". Формулируют: "Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия". |
2 мин | Учитель предлагает короткий пример: "Площадь меньшего подобного треугольника равна $12\text{ см}^2$, коэффициент подобия от меньшего к большему равен $3$. Найдите площадь большего. Назовите сначала план решения." | Называют план: "Возвести коэффициент в квадрат, затем умножить площадь на $9$"; вычисляют: "$S_2=3^2\cdot12=108\text{ см}^2$". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Если две фигуры подобны с коэффициентом $k$, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_2}{S_1}=k^2$, поэтому $S_2=k^2S_1$.» Ниже записывают алгоритм: определить направление коэффициента; возвести его в квадрат; умножить или разделить площадь; указать единицы измерения.
Эталон решения
Дано: $S_1=12\text{ см}^2$, $k=3$. По свойству подобных фигур $S_2=k^2S_1$. Подставим значения: $S_2=3^2\cdot12=9\cdot12=108\text{ см}^2$. Ответ: $108\text{ см}^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы доказали, что площадь зависит от квадрата коэффициента подобия. Теперь применим это правило вместе с формулами площадей к фигурам из реальных ситуаций и к чертежам на клетчатой бумаге."
Этап 5. Первичное закрепление: практическая задача и составная фигура (8 мин)
Цель этапа: научить выбирать способ вычисления площади составной фигуры и использовать результат в жизненном контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: "Работаем в парах. Задача: прямоугольная комната имеет длину 6 м и ширину 4 м. В одном углу выделена прямоугольная зона под шкаф размером 2 м на 1,5 м, её покрывать плиткой не нужно. Плитка продаётся упаковками по 2 м². Сколько квадратных метров пола нужно покрыть и сколько упаковок следует купить, если брать только целое число упаковок? Составьте краткую запись и объясните, почему площадь зоны вычитается." | В парах выделяют большой прямоугольник и вырезанную зону, записывают $S_1=24\text{ м}^2$, $S_2=3\text{ м}^2$, находят $S=21\text{ м}^2$. Делят $21$ на $2$, получают $10,5$ и делают практический вывод: нужно 11 упаковок. |
3 мин | Учитель организует проверку: "Пара, которая получила 10 упаковок, объясните своё решение. Достаточно ли 10 упаковок? Как проверить ответ?" Затем показывает на доске схему большого прямоугольника с вырезом. | Объясняют: "10 упаковок дают только $20\text{ м}^2$, этого недостаточно"; формулируют ответ: "Нужно покрыть $21\text{ м}^2$ и купить 11 упаковок". |
Эталон решения
Площадь комнаты: $S_1=6\cdot4=24\text{ м}^2$. Площадь зоны без плитки: $S_2=2\cdot1,5=3\text{ м}^2$. Площадь покрытия: $S=24-3=21\text{ м}^2$. Число упаковок: $21:2=10,5$, поэтому округляем в большую сторону и получаем 11 упаковок. Ответ: покрыть $21\text{ м}^2$, купить 11 упаковок.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы использовали площадь большого прямоугольника и вычли площадь ненужной части, а затем учли реальное условие продажи материала. Теперь проверим, как тот же принцип работает на клетчатой бумаге, где размеры можно считать по клеткам."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой: фигуры на клетчатой бумаге (10 мин)
Цель этапа: закрепить умение находить площадь фигуры на клетчатой бумаге несколькими способами и осуществлять самопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт листы с многоугольными фигурами на клетчатой бумаге: "Выберите один из двух способов: разбейте фигуру на прямоугольники и треугольники или дополните её до прямоугольника и вычтите лишние части. Сторона клетки равна 1 см. На чертеже обязательно проведите вспомогательные линии." | Выбирают способ, проводят линии разбиения или дополнения, подписывают длины сторон в клетках. |
5 мин | Учитель предлагает три уровня карточек: "Минимальный уровень — найти площадь фигуры разбиением на два прямоугольника. Базовый — найти площадь многоугольника дополнением до прямоугольника. Повышенный — найдите площадь фигуры двумя способами и сравните записи. Выберите уровень самостоятельно." | Индивидуально решают выбранную карточку, записывают формулы и единицы измерения. При необходимости сверяют длины по клеткам. |
3 мин | Учитель выводит эталон одного чертежа и проводит самопроверку: "Сверьте не только число, но и способ. Проверьте три пункта: все ли части учтены, нет ли перекрытий, указаны ли квадратные единицы. Отметьте в листе самооценки: могу сам, нужна проверка, нужен разбор." | Сравнивают чертёж и вычисления с эталоном, исправляют ошибки другим цветом, отмечают уровень самостоятельности и называют причину возможной ошибки. |
Эталон решения
Если фигура дополнена до прямоугольника размером $8\text{ см}\times5\text{ см}$, а вне исходной фигуры находятся два треугольника с площадями $6\text{ см}^2$ и $4\text{ см}^2$, то площадь исходной фигуры равна $S=8\cdot5-6-4=30\text{ см}^2$. При разбиении на части сумма площадей должна дать те же $30\text{ см}^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы увидели, что один и тот же результат можно получить разными маршрутами. Важно не угадать число, а показать модель, формулу, вычисления и проверку. Осталось зафиксировать, чему каждый из вас научился и что ещё требует тренировки."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить способы решения, оценить достижение цели и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт билеты на выход: "Ответьте кратко на три вопроса: как связаны площади подобных фигур; какой способ удобнее для фигуры на клетчатой бумаге; какую проверку нужно выполнить перед ответом?" | Письменно отвечают: "Площади относятся как квадрат коэффициента подобия"; называют разбиение или дополнение; указывают проверку частей, вычислений и единиц. |
2 мин | Учитель проводит приём «Лист самооценки»: "Поставьте отметку напротив утверждений: я могу применить $S_2=k^2S_1$; я могу найти площадь составной фигуры; я умею работать с клетчатой бумагой; я могу объяснить практический смысл ответа. Одним предложением запишите, что нужно повторить." | Заполняют самооценку, формулируют личный затрудняющий вопрос или отмечают освоенный навык. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: "Выберите обязательный уровень или более сложный, если готовы. В каждом решении показывайте чертёж, формулу, вычисления, единицы и проверку." | Записывают домашнее задание, уточняют условия выбора уровня. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились находить площади не только по готовой формуле, но и через анализ формы фигуры. На следующем уроке продолжим решать задачи, где потребуется комбинировать свойства фигур и оценивать рациональность выбранного способа."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены практическая задача и задача на клетчатой бумаге, выбранный способ обоснован, чертёж и вспомогательные линии выполнены аккуратно, формулы и квадратные единицы записаны правильно.
- «4» — решение в основном верное, но допущена одна неточность в вычислении, оформлении чертежа или пояснении; итоговый способ выбран правильно.
- «3» — выполнено хотя бы одно задание по алгоритму, но есть ошибки в применении формулы, разбиении фигуры или единицах измерения; после подсказки ученик может исправить решение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о площадях подобных фигур? | Проверка осознания зависимости площадей от квадрата коэффициента подобия. |
Какой способ нахождения площади фигуры на клетчатой бумаге вы выбрали и почему? | Выявление умения обосновывать выбор стратегии решения. |
Где в решении практической задачи потребовалась проверка результата? | Связь математического ответа с реальными условиями покупки материала. |
Какое действие пока вызывает затруднение? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что площадь подобных фигур изменяется не в столько же раз, сколько длины, а в квадрат коэффициента подобия. Мы научились находить площадь составной фигуры через разбиение или дополнение и применять расчёты в практической ситуации. Не забывайте проверять, не пропустили ли вы часть фигуры и правильно ли указали квадратные единицы. На следующем уроке мы продолжим решать более сложные задачи на площади и будем сравнивать разные способы решения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на применение формулы $S_2=k^2S_1$ для подобных фигур и две на нахождение площади составной фигуры, разделённой на прямоугольники и треугольники. | Закрепляет основные формулы и алгоритм разбиения; при проверке обратить внимание на направление коэффициента и квадратные единицы. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с практическим содержанием: расчёт площади покрытия пола или стены, определение количества упаковок материала и нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге. | Формирует математическую и финансовую грамотность; при проверке оценить правильность округления и соответствие ответа реальной ситуации. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную фигуру на клетчатой бумаге, площадь которой можно найти двумя способами, и оформить задачу с решением. Дополнительно объяснить, какой способ рациональнее. | Развивает моделирование, создание математического текста и оценку стратегии решения; при проверке смотреть на корректность условия, чертежа и совпадение результатов. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как изменится площадь подобной фигуры при увеличении всех длин в 4 раза? Как найти площадь многоугольника на клетчатой бумаге, если его нельзя сразу узнать по формуле? Почему в практической задаче число упаковок материала округляют в большую сторону?»
