Этап урока и время | Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Формируемые УУД и виды деятельности | Планируемые результаты и формы контроля |
|---|---|---|---|---|
Организационно-мотивационный этап — 3 мин | Создаёт положительный настрой, проверяет готовность, предъявляет проблемную ситуацию: можно ли определить угол по дуге без измерения? | Анализируют ситуацию, называют известные элементы окружности, формулируют предварительную гипотезу. | Личностные: мотивация; коммуникативные: умение слушать и высказываться; познавательные: выдвижение гипотезы. | Сформулирована учебная мотивация и предварительная гипотеза. Устный опрос. |
Актуализация знаний и фиксация затруднения — 6 мин | Организует повторение понятий: центр, радиус, хорда, дуга, центральный угол; предлагает определить угол по дуге 100° и выявить недостаток имеющихся знаний. | Вспоминают определения и свойства равнобедренного треугольника, выполняют чертёж, фиксируют затруднение. | Регулятивные: выявление затруднения; познавательные: анализ чертежа и применение известных свойств. | Актуализированы базовые знания, обозначена учебная проблема. |
Целеполагание и планирование — 4 мин | Организует формулирование темы, цели и плана исследования: определения, исследование, доказательство, применение, самопроверка. | Формулируют цель, планируют последовательность действий, выбирают личную учебную цель. | Регулятивные: целеполагание и планирование; коммуникативные: аргументация. | Определены цель, план и критерии успеха. |
Открытие нового знания — 11 мин | Организует исследование модели и подводит к доказательству теорем о центральном и вписанном углах, а также об угле между касательной и хордой. | Измеряют углы, сравнивают результаты, работают в парах, формулируют и обосновывают теоремы. | Познавательные: исследование, сравнение, обобщение; коммуникативные: работа в паре; регулятивные: проверка гипотезы. | Сформулированы теоремы: центральный угол равен дуге, вписанный угол равен половине центрального, угол между касательной и хордой равен соответствующему вписанному углу. Фронтальная проверка. |
Первичное закрепление — 7 мин | Предлагает задания базового, среднего и повышенного уровня; организует взаимопроверку и обсуждение способов решения. | Решают задачи, выделяют дугу, выбирают теорему, записывают обоснование, проверяют работу партнёра. | Познавательные: применение теорем; коммуникативные: взаимопроверка; регулятивные: контроль. | Получены ответы 43°, 38°, 236° и 118°. Оценка по критериям полноты решения. |
Самостоятельная работа и самопроверка — 9 мин | Предлагает разноуровневые задания, организует проверку по критериям: дуга, теорема, вычисления, объяснение. | Самостоятельно решают задание, сверяются с эталоном, находят и исправляют ошибки, оценивают результат. | Регулятивные: самоконтроль и коррекция; познавательные: выбор способа решения; личностные: самооценка. | Выявлен индивидуальный уровень освоения темы. Самопроверка по четырём критериям. |
Рефлексия и домашнее задание — 5 мин | Проводит рефлексию «Светофор», собирает билет на выход, объясняет разноуровневое домашнее задание и критерии оценивания. | Оценивают готовность, формулируют вывод, отвечают на контрольные вопросы, фиксируют домашнее задание. | Регулятивные: оценка результата; коммуникативные: формулирование вывода; личностные: самооценка. | Учащиеся объясняют связь угла и дуги, называют свойство касательной, определяют дальнейший шаг коррекции. Билет на выход. |
Предметные
- Знать определения центрального и вписанного углов, дуги окружности, касательной и хорды.
- Знать теорему о вписанном угле и свойство угла между касательной и хордой.
- Уметь определять дугу, на которую опирается угол, и находить величину угла по известной дуге или связанному углу.
- Уметь решать задачи трёх уровней сложности и записывать обоснование решения.
- Уметь различать экспериментальную проверку закономерности и её геометрическое доказательство.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на урок и выбирают посильный уровень самостоятельной работы.
- Осознают значение точности, последовательности и доказательности математического рассуждения.
- Проявляют готовность принимать обоснованную критику решения и корректировать собственную работу.
- Связывают изучаемые свойства с использованием чертежей в инженерии, архитектуре и дизайне.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель исследования углов в окружности.
- Планируют последовательность: построение, измерение, сравнение, формулировка гипотезы, доказательство.
- Контролируют соответствие чертежа условию и проверяют вычисления.
- Оценивают решение по критериям и исправляют найденные ошибки.
- Распределяют время между обязательным и повышенным заданиями.
Познавательные УУД
- Выделяют элементы чертежа: центр, радиусы, хорду, касательную, дугу и углы.
- Сравнивают центральный и вписанный углы, устанавливают связь между ними.
- Строят математическую модель задачи по текстовому условию.
- Проводят исследование в цифровой модели и формулируют обобщение.
- Применяют известные свойства равнобедренного треугольника и углов при пересечении прямых.
Коммуникативные УУД
- Распределяют в паре роли чертёжника, измерителя и докладчика.
- Формулируют уточняющие вопросы по условию и ходу решения.
- Аргументируют вывод, ссылаясь на определение или теорему.
- Сопоставляют решения разных пар и корректно указывают на расхождения.
- Достигают согласованного ответа при ограниченном времени.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с окружностью, центром, радиусами, хордой, касательной и двумя видами углов.
- Создать или открыть интерактивную модель окружности в ЭОР с возможностью перемещения точки на окружности и измерения углов.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся.
- Подготовить лист исследования для каждой пары: рисунок, таблицы «дуга — центральный угол — вписанный угол», место для гипотезы и вывода.
- Разместить на доске схему: «центральный угол = дуга; вписанный угол = половина дуги». Формулы записать после вывода учащихся.
- Подготовить линейки, транспортиры, циркули и простые карандаши для каждой пары.
- Подготовить лист самооценки с критериями: определение элементов, выбор теоремы, вычисления, обоснование.
- Подготовить задания для взаимопроверки и эталон решения на отдельном листе для показа после работы.
- Проверить проектор, компьютер, интерактивную доску и доступ к ЭОР; предусмотреть печатную замену цифровой модели.
- Подобрать в учебнике текст и упражнения по теме без привязки к номерам страниц; учащиеся работают с соответствующим разделом своей линии учебника.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и вызвать интерес к проблеме измерения углов по окружности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, линейки, транспортира и ручки. Сегодня мы будем не только применять готовые правила, но и сами исследуем, почему они работают. На экране вы видите круглый элемент архитектурной конструкции и несколько соединяющих его отрезков." | Проверяют принадлежности, рассматривают изображение и называют возможные геометрические элементы: "окружность", "радиус", "хорда", "угол". |
2 мин | Учитель показывает на экране окружность с касательной и задаёт проблемный вопрос: "Можно ли, не измеряя непосредственно угол, определить его величину по дуге или другому углу окружности? Где в такой ситуации может пригодиться геометрия? Запишите короткую гипотезу, затем обсудите её с соседом по парте." Используется приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Индивидуально записывают гипотезу, обсуждают её в паре и предлагают варианты: "угол можно связать с дугой", "нужно знать центральный угол", "касательная образует особый угол с хордой". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что положение угла относительно окружности может давать дополнительную информацию. Сейчас вспомним необходимые элементы и выясним, какого знания нам не хватает для решения проблемного вопроса."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства окружности, углов и равнобедренного треугольника, обнаружить необходимость новой теоремы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на доску рисунок окружности с центром $O$, радиусами $OA$ и $OB$, хордой $AB$. Реплика: "Назовите элементы рисунка. Какой угол образуют два радиуса? Как называется часть окружности между точками A и B? Какими свойствами обладает треугольник $AOB$?" Учитель фиксирует ответы в кластере. | Называют центр, радиусы, хорду, дугу, центральный угол; отвечают: "угол AOB — центральный", "треугольник AOB равнобедренный, потому что OA = OB"; записывают ключевые слова в тетради. |
3 мин | Учитель раздаёт парам карточку с окружностью и вписанным углом. "Проведите недостающие радиусы к концам хорды, выделите дугу, на которую опирается угол, и попробуйте найти величину угла, если дуга равна 100°. Объясните, какое известное свойство можно применить." | В парах достраивают рисунок, отмечают дугу, обсуждают возможный способ решения. Фиксируют затруднение: "мы знаем дугу, но не знаем правило перехода от дуги к вписанному углу". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что радиусы образуют равнобедренный треугольник, но пока не можем обосновать связь вписанного угла с дугой. Значит, нам предстоит открыть эту связь и проверить её на новых рисунках."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и план исследовательской работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует проблемный диалог: "Сравните два рисунка: на первом угол имеет вершину в центре, на втором — на окружности. Если оба угла опираются на одну и ту же дугу, будут ли они равны? Что можно проверить измерением, а что потребуется доказать?" Учитель принимает разные гипотезы без немедленной оценки. | Сравнивают рисунки и формулируют гипотезы: "центральный угол больше", "вписанный угол может быть в два раза меньше", "при изменении положения вершины вписанный угол сохранит величину". |
2 мин | Учитель записывает план: "1) повторить определения; 2) исследовать модель; 3) сформулировать теоремы; 4) решить задачи; 5) проверить себя. В конце урока вы должны ответить на вопрос, как найти угол по дуге и как связан с хордой угол касательной." | Записывают тему и план урока, выбирают личную цель: "научиться находить вписанный угол", "понять свойство касательной", "решить повышенную задачу". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: открыть и применять связи между дугами, центральными и вписанными углами, а затем исследовать касательную. Переходим к эксперименту, который даст нам материал для доказательного вывода."
Этап 4. Открытие нового знания: исследование и ИКТ (11 мин)
Цель этапа: исследовательским способом вывести свойства центрального и вписанного углов и угла между касательной и хордой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель открывает интерактивную модель окружности в ЭОР: "В точках A, B и C можно перемещать вершину вписанного угла. Двигайте точку C, не меняя дугу AB, и каждый раз измеряйте угол ACB. Заполните таблицу из трёх измерений. Теперь измерьте центральный угол AOB, опирающийся на ту же дугу." | В парах по очереди перемещают точку C, измеряют углы транспортиром или цифровым инструментом, записывают результаты. Формулируют наблюдение: "центральный угол примерно в два раза больше вписанного", "вписанный угол не меняется при движении C по одной дуге". |
3 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: "Почему треугольник AOB равнобедренный? Какие углы в нём равны? Если провести радиус к вершине вписанного угла, на какие два треугольника можно опереться? Какой вывод согласуется с измерениями?" На доске постепенно появляется запись: $\angle AOB = 2\angle ACB$. | Обосновывают равенство радиусов и углов при основании, рассматривают разбиение на равнобедренные треугольники, формулируют вывод: "вписанный угол равен половине центрального, если они опираются на одну дугу". |
4 мин | Учитель показывает рисунок касательной к окружности в точке A и хорды AB: "Радиус OA перпендикулярен касательной. Как выразить угол между касательной и хордой через углы треугольника OAB и дугу AB? Сравните полученный угол с вписанным углом, опирающимся на дугу AB." | Строят радиус OA, отмечают прямой угол между радиусом и касательной, используют сумму углов треугольника. Формулируют вывод: "угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду, если взята соответствующая дуга". |
Запись в тетрадях
Записывают: «Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $\angle ACB=\frac12\angle AOB$. Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключённую между хордой и касательной». Отдельно подчёркивают: «При выборе дуги учитываем, на какую часть окружности опирается угол».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Исследование показало закономерность, а рассуждение объяснило её геометрически. Теперь проверим новое знание на типовых задачах и научимся выбирать нужную теорему по рисунку."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание элементов и применение теорем при проговаривании каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре базовую карточку: "В окружности центральный угол AOB равен 86°. Найдите вписанный угол ACB, опирающийся на дугу AB. Запишите не только число, но и теорему, которую применили." | В парах выполняют рисунок и решение: $\angle ACB=86^\circ:2=43^\circ$. Один ученик объясняет, второй проверяет запись и ссылку на теорему. |
3 мин | Учитель предлагает задачу среднего уровня: "Касательная в точке A и хорда AB образуют угол 38°. Найдите величину вписанного угла ACB, опирающегося на хорду AB. Объясните выбор дуги." Организует взаимопроверку по эталону на экране. | Решают задачу, записывают: $\angle ACB=38^\circ$, поскольку угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на соответствующую дугу. Обмениваются тетрадями и отмечают две сильные стороны и одно пожелание. |
2 мин | Учитель предлагает выбор: "Кто готов, решите повышенную задачу: дуга AB равна $124^\circ$, а касательная в A образует с хордой AC угол, опирающийся на большую дугу AC. Определите угол и объясните, почему нельзя механически брать малую дугу." | Выбранные ученики решают с учётом большой дуги, остальные проверяют соответствие рисунка и формулируют вопрос при затруднении. |
Эталон решения
Для задачи о центральном угле: $\angle ACB=\frac12\angle AOB=\frac12\cdot86^\circ=43^\circ$. Для задачи о касательной: по теореме об угле между касательной и хордой искомый вписанный угол равен данному углу, поэтому $\angle ACB=38^\circ$. В повышенной задаче сначала определить дугу, на которую опирается угол; если используется большая дуга, её градусная мера равна $360^\circ-124^\circ=236^\circ$, а вписанный угол равен $118^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились связывать данные задачи с конкретной дугой и выбирать теорему, а не просто подставлять число. Следующий шаг — индивидуально проверить, насколько уверенно каждый из вас выполняет полный разбор чертежа."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение материала на заданиях разной сложности и организовать коррекцию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Обязательный уровень выполняют все. Затем можно выбрать средний или продвинутый. На каждом рисунке сначала обозначьте дугу, затем запишите теорему и вычисление. Не пользуйтесь только измерением: нам важно обоснование." | Выбирают карточку и подписывают уровень, готовят чертёж и запись решения. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовое: центральный угол равен $110^\circ$, найти вписанный. Среднее: вписанный угол равен $27^\circ$, найти центральный. Продвинутое: угол между касательной и хордой равен $64^\circ$, определить два возможных угла, если на рисунке указаны малая и большая дуги. | Индивидуально решают выбранные задания: применяют $\angle_{вписанного}=\frac12\angle_{центрального}$, для обратной зависимости умножают на 2, в задаче с касательной анализируют выбранную дугу и записывают обоснование. |
3 мин | Учитель открывает эталон и организует самопроверку: "Поставьте плюс за правильно выделенную дугу, плюс за верно выбранную теорему, плюс за вычисление и плюс за объяснение. Ошибку не стирайте полностью: рядом напишите, на каком шаге возникло затруднение." | Сверяют решение с эталоном, подсчитывают баллы, исправляют ошибки, отмечают в листе самооценки: «могу определить дугу», «могу выбрать теорему», «могу объяснить решение». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основной шаг — не вычисление, а правильное распознавание дуги и положения вершины угла. Если ошибка возникла именно здесь, дома начните с рисунка и подписи элементов; если вычисления выполнены верно, переходите к задачам с большой дугой и несколькими связями."
Этап 7. Рефлексия, межпредметная связь и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить способ получения знания, связать тему с практическими областями и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к межпредметному контексту: "В архитектуре, инженерии и компьютерной графике часто используют окружности, дуги и касательные. Например, при проектировании арочного элемента нужно определить направление касательной, а по чертежу — восстановить угол. Почему знание теоремы помогает избежать приблизительного измерения?" | Формулируют связь с черчением, физикой и информатикой: "теорема позволяет рассчитать угол по данным чертежа", "цифровая модель проверяет, но точное решение даёт доказательство". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите цвет: зелёный — могу решить самостоятельно, жёлтый — нужна подсказка при выборе дуги, красный — необходимо повторить определения. В билете на выход напишите: 1) чем вписанный угол отличается от центрального; 2) какое свойство касательной вы применяете; 3) какой вопрос остался." | Показывают карточку, заполняют билет на выход и формулируют ответы: "вписанный имеет вершину на окружности", "равен углу, опирающемуся на соответствующую дугу", «нужно ещё потренироваться выбирать большую дугу». |
1 мин | Учитель объявляет домашнюю работу: "Выберите обязательный уровень; желающие добавят повышенный или продвинутый. В каждом решении обязательно делайте рисунок, выделяйте дугу и записывайте теорему." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, сдаю́т билет на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены задания базового и выбранного повышенного уровня, правильно выделены дуги, записаны теоремы, вычисления и полные обоснования; чертёж аккуратен.
- «4» — решены все обязательные задания, допущена одна несущественная ошибка в вычислении или оформлении, ход рассуждения в основном обоснован.
- «3» — правильно выполнено базовое задание и частично решено задание среднего уровня, но есть затруднение в выборе дуги или формулировке теоремы.
- Ниже базового уровня — работа требует коррекции: ученик вместе с учителем повторяет определения, строит радиусы и выделяет дугу на опорном чертеже.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи центрального и вписанного углов? | Проверка осознания основной теоремы и зависимости углов от одной дуги. |
Как вы определяли, на какую дугу опирается угол? | Выявление точек затруднения при чтении геометрического чертежа. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Получение субъективной оценки сложности и планирование коррекционной работы. |
Что вы теперь сможете объяснить однокласснику? | Проверка переноса знания в устное аргументированное объяснение. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы исследовали, как положение вершины угла связано с дугой окружности, и сами пришли к теоремам о центральном, вписанном углах и угле между касательной и хордой. Помните: самая частая ошибка возникает не в вычислении, а при выборе дуги, поэтому начинайте решение с внимательного чертежа. Измерение в ЭОР помогает увидеть закономерность, но математическое решение должно опираться на теорему. На следующем уроке мы продолжим решать задачи с окружностью и рассмотрим более сложные конфигурации, где несколько углов связаны одновременно."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение вписанного угла по центральному углу или дуге и центрального угла по вписанному; выполнить чертежи и записать теоремы. | Закрепляет прямое и обратное применение основной зависимости; при проверке смотреть на правильность выделения дуги и единицы измерения угла. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на угол между касательной и хордой, включая задачу с неизвестной дугой и задачу, где требуется использовать равнобедренный треугольник, образованный радиусами. | Формирует выбор способа решения и умение связывать свойство касательной с другими свойствами окружности; проверять полноту обоснования. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу с окружностью, касательной и хордой, решить её двумя способами: через теорему об угле между касательной и хордой и через связанные углы; представить аккуратный чертёж. | Развивает создание математической модели, доказательное мышление и умение проверять эквивалентность способов решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Где находится вершина центрального угла?», «Во сколько раз вписанный угол меньше центрального, если они опираются на одну дугу?», «Какую дугу необходимо указать для угла между касательной и хордой?», «Почему цифровое измерение не заменяет доказательство?»
