Смежные и вертикальные углы
Цели и задачи
- Цель: научиться распознавать смежные и вертикальные углы на чертежах, формулировать их свойства и применять полученные знания для вычисления градусных мер углов в практических задачах.
- Образовательная задача: опытным путем (через измерения и моделирование) вывести свойства смежных и вертикальных углов.
- Развивающая задача: развивать навыки геометрического черчения, логического мышления и умение аргументировать свои выводы на основе фактов.
- Воспитательная задача: формировать культуру совместной деятельности и интерес к геометрии как инструменту описания окружающего мира (архитектура, дизайн).
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления через проверку гипотез в ходе практической работы.
- Осознание эстетической ценности геометрических форм в архитектуре и дизайне.
Метапредметные
- Умение самостоятельно ставить цели обучения и планировать пути их достижения.
- Развитие навыков смыслового чтения при работе с текстом определений в учебнике.
- Умение устанавливать причинно-следственные связи и строить логическое рассуждение.
Предметные
- Знать определения смежных и вертикальных углов.
- Владеть свойствами смежных и вертикальных углов (сумма смежных равна 180°, вертикальные равны).
- Уметь находить углы по известным зависимостям между ними при пересечении прямых.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение в учебной деятельности («что я уже знаю и чему хочу научиться»).
- Оценивание усваиваемого содержания исходя из социальных и личностных ценностей.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Построение логической цепи рассуждений при доказательстве свойств углов.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
- Сотрудничество с учителем и сверстниками в поиске и сборе информации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить раздаточный материал: листы с начерченными пересекающимися прямыми для каждого ученика.
- Распечатать карточки для практической работы «Лаборатория углов» (по 1 на парту).
- Проверить наличие у учеников чертежных инструментов: линейка, транспортир, карандаш.
- Подготовить демонстрационные ножницы большого размера для мотивационного этапа.
- Настроить проектор для демонстрации слайдов с примерами из архитектуры (межпредметная связь).
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и вызвать интерес к изучению взаимного расположения углов через привычные предметы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Здравствуйте, друзья! Сегодня мы начинаем изучать одну из самых изящных тем геометрии. Посмотрите на эти обычные ножницы. Я раскрываю их шире — что происходит с углами между лезвиями и ручками? А если я закрою их почти полностью? Как вы думаете, существует ли математическая связь между этими четырьмя углами, которые образуются при пересечении лезвий? Сегодня мы не просто изучим правила, а сами откроем законы пересекающихся линий, которые используют архитекторы при строительстве мостов и дизайнеры при создании мебели." | Ученики наблюдают за демонстрацией ножниц. Отвечают: "Когда лезвия расходятся, углы увеличиваются", "Углы напротив друг друга кажутся одинаковыми". Включаются в обсуждение, выдвигают первые предположения о связи углов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ваши наблюдения очень точны. Чтобы проверить ваши догадки, нам нужно стать исследователями в нашей геометрической лаборатории."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить опорные понятия (развернутый угол, градусная мера) и выявить область незнания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Прежде чем совершать открытия, проверим наш багаж. Вспомните, какой угол мы называем развернутым? Чему равна его градусная мера? А теперь представьте, что из вершины развернутого угла мы провели луч. На сколько углов он разделил развернутый угол? Запишите в тетрадях: если один из этих углов равен 40 градусам, можем ли мы найти второй, не измеряя его транспортиром? Как называются такие углы, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга?" | Ученики отвечают: "Развернутый угол равен 180 градусам". Выполняют схематичный чертеж в тетради. Вычисляют: 180 - 40 = 140 градусов. Сталкиваются с затруднением: не знают точного научного названия таких углов («смежные»). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы видим, что между углами есть жесткая связь, но нам не хватает имен для этих пар углов и строгого доказательства их свойств. Это и будет нашей целью сегодня."
Этап 3. Открытие нового знания: Лабораторная работа (12 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: через практическую работу с чертежом и транспортиром самостоятельно вывести свойства смежных и вертикальных углов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
12 мин | "Работаем в парах. У вас на столах листы с двумя заданиями. Задание №1: Начертите прямую AB, отметьте на ней точку O и проведите луч OC. Измерьте транспортиром получившиеся углы AOC и COB. Сложите их величины. Задание №2: Проведите две пересекающиеся прямые. Пронумеруйте углы 1, 2, 3, 4 по кругу. Измерьте углы 1 и 3 (лежащие напротив). Что вы заметили? Сравните результаты с соседом. Сформулируйте свои гипотезы." | Ученики выполняют построения. Измеряют углы. Обсуждают результаты в парах (Think-Pair-Share). Формулируют выводы: "Сумма углов, стоящих рядом на одной прямой, всегда 180 градусов", "Углы, лежащие друг против друга при пересечении прямых, равны". Записывают результаты измерений в таблицу на карточке. |
Запись в тетрадях
- Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами.
- Свойство: Сумма смежных углов равна 180°.
- Вертикальные углы — это два угла, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого.
- Свойство: Вертикальные углы равны.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Поздравляю, вы только что самостоятельно открыли две важнейшие теоремы геометрии! Теперь давайте проверим, как наши выводы звучат на языке учебника."
Этап 4. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: физическая разгрузка с закреплением геометрических понятий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Встаньте, пожалуйста. Давайте превратимся в живые геометрические инструменты. Вытяните руки в стороны — это развернутый угол. Теперь согните правую руку в локте вверх — вы разделили развернутый угол на два смежных. Какой они величины, если рука стоит вертикально? А теперь скрестите руки перед собой, как ножницы. Покажите вертикальные углы глазами. Покажите широкие вертикальные углы, теперь узкие. Молодцы, присаживайтесь!" | Ученики выполняют упражнения, имитируя руками углы. Отвечают хором: "По 90 градусов!". Активно двигаются, переключая внимание. |
Этап 5. Первичное закрепление и практика (10 мин)
Цель этапа: отработка умения применять свойства углов при решении задач с опорой на текст учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | "Откройте учебник на теме 'Смежные и вертикальные углы'. Найдите раздел с задачами. Давайте решим задачу: 'Один из смежных углов в 2 раза больше другого. Найдите эти углы'. Как мы можем обозначить меньший угол? Какое уравнение составим? Вторая задача: 'Сумма двух вертикальных углов равна 100 градусам. Чему равен каждый из них? А чему равны два других угла при этом пересечении?' Работаем у доски и в тетрадях." | Один ученик работает у доски, остальные в тетрадях. Решают через уравнение: x + 2x = 180. Находят углы 60 и 120 градусов. Для второй задачи применяют свойство вертикальных углов: 100 / 2 = 50 градусов. Находят смежные с ними: 180 - 50 = 130 градусов. |
Эталон решения
Задача 1: Пусть \(x\) — градусная мера меньшего угла, тогда \(2x\) — большего. Так как углы смежные, их сумма 180°. \(x + 2x = 180 \Rightarrow 3x = 180 \Rightarrow x = 60°\). Углы: 60° и 120°.
Задача 2: Вертикальные углы равны, значит каждый равен \(100° / 2 = 50°\). Смежный с ними угол равен \(180° - 50° = 130°\).
Задача 2: Вертикальные углы равны, значит каждый равен \(100° / 2 = 50°\). Смежный с ними угол равен \(180° - 50° = 130°\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справляетесь с расчетами. Главное — всегда видеть, какая именно пара углов перед вами."
Этап 6. Межпредметные связи и функциональная грамотность (5 мин)
Цель этапа: показать применение геометрии в реальной жизни (архитектура, инженерия).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Посмотрите на экран. Перед вами фотографии Шуховской башни и современного моста. Видите пересекающиеся балки? Почему инженеры используют именно такие углы? Если одна балка наклонена под углом 70 градусов к земле, под каким углом к ней должна идти вторая, чтобы они образовали вертикальные углы в узле крепления? Геометрия здесь — залог прочности конструкции. В дизайне мебели, например в складных стульях, знание свойств вертикальных углов позволяет правильно рассчитать высоту сиденья." | Ученики рассматривают изображения. Обсуждают, как изменение одного угла влияет на всю конструкцию. Делают вывод: геометрия — это не только цифры в тетради, но и устойчивость зданий и удобство вещей. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь, когда вы видите геометрию вокруг себя, пора проверить, насколько уверенно вы владеете её инструментами."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: подведение итогов, самооценка и постановка задач на дом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Наш урок-открытие подходит к концу. Давайте заполним 'Билет на выход'. Напишите на листочке один факт, который вы сегодня узнали, и один вопрос, который у вас остался. Домашнее задание я подготовила на трех уровнях — выберите тот, который вам по силам и интересен. Спасибо за работу, сегодня вы были настоящими исследователями!" | Ученики заполняют рефлексивные карточки. Записывают домашнее задание. Оценивают свою работу на уроке с помощью светофора (зеленый — все понял, желтый — были трудности, красный — ничего не понял). |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — ученик верно определил типы углов, безошибочно применил свойства для решения задач, привел логическое обоснование решения.
- "4" — допущены незначительные вычислительные ошибки, но ход решения и применение свойств углов верны.
- "3" — ученик узнает углы на чертеже, но затрудняется в применении свойств или составлении уравнений для решения задач.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство углов показалось тебе самым простым для запоминания? | Осознание легкости/сложности материала. |
Где в твоем доме можно встретить вертикальные углы? | Связь теории с жизненным пространством. |
В чем ты испытал затруднение при решении задач с иксами (уравнениями)? | Выявление пробелов в математическом аппарате. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы убедились, что пересечение двух простых линий рождает строгие математические законы. Смежные и вертикальные углы — это фундамент, на котором строится вся дальнейшая геометрия треугольников и многоугольников. Если сегодня вы почувствовали азарт открытия — значит, урок прошел не зря. На следующем занятии мы научимся использовать эти знания для доказательства новых теорем. До встречи!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на нахождение углов: 1) найти смежный угол, если известный равен 47°; 2) найти все углы при пересечении двух прямых, если один из них 110°. | Закрепление основных определений и свойств на простых примерах. |
Средний (повышающий) | Решить задачу, где разность смежных углов равна 30°. Найти углы, если сумма трех углов из четырех при пересечении прямых равна 280°. | Развитие навыков составления уравнений и логического анализа чертежа. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание: найти фотографию архитектурного объекта и с помощью транспортира доказать, что его элементы образуют смежные или вертикальные углы (сделать фотоотчет или рисунок). | Развитие функциональной грамотности и межпредметных связей (геометрия + искусство). |
Контрольный вопрос: Может ли сумма двух смежных углов быть меньше 180 градусов? Почему?
