Решение задач по теме «Свойства равнобедренного треугольника»
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока каждый ученик решит не менее 3 задач на свойства равнобедренного треугольника, обоснует используемые равенства и проверит решение по критериям.
- Закрепить свойства равнобедренного треугольника: равенство углов при основании, совпадение медианы, биссектрисы и высоты, проведённых к основанию.
- Научить выбирать свойство, соответствующее условию задачи, выполнять чертёж и записывать доказательство с использованием геометрических обозначений.
- Развивать умение анализировать условие, планировать решение, аргументировать ответ в паре и самостоятельно обнаруживать ошибку.
- Воспитывать ответственность за точность построений, уважение к математическим рассуждениям одноклассников и готовность к самопроверке.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность точного рассуждения и доказательства при решении практических и учебных задач.
- Проявляют самостоятельность, выбирая уровень задания и способ представления решения.
- Понимают связь геометрических знаний с архитектурой, инженерией и техническим черчением.
- Принимают необходимость проверки результата и корректно оценивают работу одноклассника.
Метапредметные
- Анализируют условие, выделяют известные величины и искомые элементы.
- Планируют последовательность построения и решения, контролируют промежуточные шаги.
- Формулируют вопросы, объясняют выбор свойства и сравнивают разные способы решения.
- Используют чертёж как модель геометрической ситуации и преобразуют информацию из текста в схему.
Предметные
- Знать определение равнобедренного треугольника и названия его элементов.
- Уметь применять свойство равенства углов при основании равнобедренного треугольника.
- Уметь использовать свойство медианы, биссектрисы и высоты, проведённых к основанию.
- Уметь находить углы и длины отрезков по условию задачи, записывая обоснование каждого шага.
- Владеть алгоритмом решения задач с равнобедренными треугольниками и выполнять самопроверку.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на урок и выбирают посильный, но развивающий уровень задания.
- Осмысливают значение аккуратного чертежа и доказательства для получения достоверного результата.
- Проявляют готовность спокойно исправлять ошибку после обсуждения решения.
- Оценивают собственный вклад в парную работу.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель решения конкретной задачи и составляют план действий.
- Сверяют чертёж и вычисления с условием.
- Находят ошибочный шаг, корректируют его и объясняют причину исправления.
- Оценивают результат по предложенным критериям и фиксируют затруднение.
Познавательные УУД
- Различают основание и боковые стороны равнобедренного треугольника.
- Устанавливают связи между равенством сторон, равенством углов и осью симметрии.
- Применяют известные свойства в новой конфигурации.
- Строят геометрическую модель, выделяют существенные данные и делают вывод.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру решение, используя точные геометрические термины.
- Задают уточняющие вопросы: «Почему эти углы равны?» и «Какое свойство применено?».
- Сравнивают решения без перехода на оценку личности.
- Распределяют роли в паре и приходят к общему выводу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с определением равнобедренного треугольника, обозначениями основания и боковых сторон.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся.
- Подготовить 10–12 коротких карточек с утверждениями для приёма «Верно — неверно».
- Подготовить листы самооценки и маленькие листочки для «билета на выход» — по одному на каждого ученика.
- На доске заранее разместить памятку: «Прочитай условие — сделай чертёж — выбери свойство — реши — обоснуй — проверь».
- Подготовить маркеры, линейки, карандаши, стикеры и таймер.
- Для физкультминутки освободить пространство между рядами; подготовить команды для безопасных движений без инвентаря.
- На слайде или доске разместить критерии: чертёж, выбор свойства, вычисления, обоснование, ответ.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу, обозначить практическую ценность точного решения и создать ситуацию выбора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и карандаша. Сегодня нам понадобится не только знание свойств, но и умение объяснить, почему каждый шаг решения верен. Представьте, что вы проверяете чертёж для архитектора: неточный угол может изменить всю конструкцию." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовят линейку и тетрадь. |
2 мин | Учитель показывает на доске равнобедренный треугольник и говорит: "Посмотрите на чертёж. Где в реальной работе может пригодиться такая форма? Что важно проверить в таком треугольнике? Сегодня вы сможете выбрать карточку базового, повышающего или дополнительного уровня и доказать решение." | Называют варианты: «в крыше», «в опоре», «в конструкции». Формулируют ожидание: «научиться быстро находить углы и стороны». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что геометрическое свойство помогает проверять форму конструкции. Теперь восстановим опорные знания, без которых задачи решать нельзя."
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Верно — неверно» (6 мин)
Цель этапа: актуализировать определения и свойства, выявить затруднения перед решением задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с утверждениями: "Рассмотрите пять утверждений и отметьте В или Н. Первое: у равнобедренного треугольника две стороны равны. Второе: равные стороны называются основаниями. Третье: углы при основании равны. Четвёртое: медиана к основанию является также высотой и биссектрисой. Пятое: любой треугольник с двумя равными углами является равносторонним." | Индивидуально отмечают верные и неверные утверждения: «верно, неверно, верно, верно, неверно». |
3 мин | Учитель организует «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала сравните ответы с соседом, затем объясните одно спорное утверждение. Не называйте только букву ответа — добавьте свойство." Учитель фиксирует на доске ключевые слова. | Обсуждают в парах, формулируют: «углы при основании равны»; «медиана, высота и биссектриса совпадают, если проведены к основанию». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Определение и свойства мы вспомнили. Теперь проверим, умеем ли применять их не по памяти, а в конкретной ситуации, где нужно выбрать правильный шаг."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм решения и определить основное затруднение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает условие: "В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$, угол $A$ равен $52^\circ$. Найдите угол $B$. Не спешите считать: сначала назовите свойство, которое позволит начать решение." | Читают условие, выделяют основание $AC$, отвечают: «углы при основании равны, значит, угол $C$ тоже равен $52^\circ$». |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какие шаги должны быть в хорошем решении? Что проверяет учитель, кроме конечного числа? Запишем общий алгоритм и цель урока." | Предлагают шаги: «сделать чертёж, определить основание, применить свойство, использовать сумму углов, записать ответ». Записывают цель: решать задачи и обосновывать каждый шаг. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) выполнить чертёж; 2) определить основание и боковые стороны; 3) выбрать свойство; 4) выполнить вычисления; 5) записать обоснование и ответ; 6) проверить результат.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель ясна: не просто получить число, а показать цепочку рассуждений. Сейчас вместе разберём образец, затем вы примените алгоритм самостоятельно."
Этап 4. Обобщение способов решения (8 мин)
Цель этапа: систематизировать свойства равнобедренного треугольника на примере задачи и связать их с вычислением углов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель разбирает задачу: "В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB$ и $BC$ равны, а угол $B$ равен $46^\circ$. Найдите углы $A$ и $C$. Сначала отметим равные стороны и определим основание $AC$. Какие углы равны? Как найти их сумму?" | Строят чертёж, отмечают $AB=BC$, называют основание $AC$, отвечают: «углы $A$ и $C$ равны». Записывают уравнение $2x+46^\circ=180^\circ$. |
2 мин | Учитель уточняет: "Почему мы обозначили оба угла одной буквой? Какое свойство применили? Проверьте вычисление и назовите результат полным предложением." | Объясняют: «углы при основании равны, поэтому каждый равен $x$». Вычисляют $x=67^\circ$, формулируют: «углы $A$ и $C$ равны $67^\circ$». |
2 мин | Учитель показывает второй чертёж с отрезком $BD$, проведённым к основанию $AC$: "Если $AB=BC$, а $BD$ — медиана к основанию, что ещё можно утверждать об отрезке $BD$? Обоснуйте ответ." | Отвечают: «$BD$ является также высотой и биссектрисой; $AD=DC$ и угол $ABD$ равен углу $DBC$». |
Эталон решения
В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, поэтому углы при основании $AC$ равны: $\angle A=\angle C$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle A+\angle C+46^\circ=180^\circ$. Получаем $2\angle A=134^\circ$, откуда $\angle A=67^\circ$ и $\angle C=67^\circ$. Ответ: $67^\circ$ и $67^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели два основных маршрута: через равенство углов при основании и через совпадение трёх линий, проведённых к основанию. Теперь закрепим выбор свойства в движении и подготовимся к самостоятельной работе."
Этап 5. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и сохранить работоспособность перед решением задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партой. Покажем свойства движениями: руки в стороны — две равные боковые стороны; соединяем ладони над головой — вершина; наклоняем руки симметрично влево и вправо — равные углы при основании. Выполняем спокойно, без резких движений, затем садимся и готовим линейки." | Встают, выполняют четыре медленных движения по инструкции, делают вращение плечами, садятся и готовят рабочее место. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили симметрию и готовы перенести её на бумагу. Переходим к задачам, где каждый сможет выбрать уровень сложности."
Этап 6. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: применить свойства в типовых задачах с проговариванием рассуждений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки: "В первой задаче в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, угол при вершине равен $40^\circ$. Найдите углы при основании. Во второй задаче $AB=AC$, $BD$ — медиана к основанию $BC$, $BC=18$ см. Найдите $DC$. Работайте в парах: один объясняет, второй записывает, затем поменяйтесь ролями." | Строят чертежи, решают задачи. Получают: углы при основании по $70^\circ$; $DC=9$ см. Проговаривают свойства партнёру. |
4 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Сверьте не только ответы, но и обоснование. Поставьте две звезды за верный чертёж и применение свойства, пожелание — за шаг, который нужно уточнить. Если ответы различаются, найдите первую несовпадающую строку." | Проверяют решения по памятке, записывают две сильные стороны и один совет, исправляют найденную неточность. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Типовые случаи вы разобрали вместе. Теперь каждый покажет, насколько уверенно умеет пройти весь алгоритм без подсказки."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить самостоятельное применение свойств и развить навык выбора уровня задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель говорит: "Выберите одну карточку: базовую, повышающую или дополнительную. Базовая: в равнобедренном треугольнике угол при вершине $50^\circ$, найдите углы при основании. Повышающая: боковая сторона равна $13$ см, основание равно $10$ см, найдите периметр. Дополнительная: докажите, что медиана к основанию является биссектрисой угла при вершине. На чертеже отмечайте все данные." | Индивидуально выбирают карточку, выполняют чертёж, записывают решение и ответ. Для доказательства используют равенство треугольников. |
4 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте решение по трём пунктам: верно ли определено основание, названо ли свойство, записан ли ответ с единицами или градусами. Ошибку не стирайте полностью: зачеркните неверный шаг и рядом запишите исправление." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки, отмечают уровень выполнения в листе самооценки. |
Эталон решения
Для базовой задачи: углы при основании равны, поэтому каждый равен $x$. По сумме углов $2x+50^\circ=180^\circ$, следовательно, $x=65^\circ$. Для повышающей задачи: периметр равен $13+13+10=36$ см. В доказательстве дополнительной задачи рассматривают треугольники $ABD$ и $CBD$: $AB=CB$, $AD=DC$, $BD$ — общая сторона; треугольники равны по трём сторонам, поэтому соответствующие углы при вершине равны.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что один и тот же набор свойств работает в задачах на углы, длины и доказательство. Осталось зафиксировать личный результат и определить, что нужно повторить дома."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознать результат, выявить затруднения и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт листы самооценки и говорит: "Закончите три фразы: «Сегодня я научился…», «Мне нужно повторить…», «В следующей задаче я сначала…». Поднимите зелёный стикер, если уверенно применяете свойства, жёлтый — если нужна тренировка, красный — если требуется разбор с учителем." | Заполняют лист самооценки, выбирают цвет стикера, формулируют личное затруднение. |
2 мин | Учитель объявляет домашнюю работу: "Выберите обязательный уровень; повышающий и дополнительный — по желанию. Перед выходом ответьте на билет: назовите три свойства равнобедренного треугольника и объясните, почему чертёж нужен до вычислений." | Записывают выбранный уровень и домашнее задание, сдают билет на выход с двумя ответами. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не просто повторили свойства, а использовали их как инструменты решения. По билетам я определю, какие шаги нужно дополнительно разобрать на следующем уроке."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все предложенные задачи выбранного уровня, выполнены чертежи, свойства названы и обоснованы, вычисления и ответы записаны аккуратно.
- «4» — решены все типовые задачи, допущена одна неточность в чертеже, записи или вычислении, но ход рассуждений в основном верен.
- «3» — правильно выполнена базовая задача и записано хотя бы одно необходимое свойство, но есть ошибки в обосновании или самостоятельности решения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство равнобедренного треугольника сегодня помогло вам чаще всего? | Выявление осознанности выбора математического инструмента. |
На каком шаге алгоритма возникло затруднение: чертёж, выбор свойства, вычисление или доказательство? | Выявление конкретной точки затруднения. |
Как вы проверили, что полученный ответ возможен? | Формирование навыка самоконтроля и оценки результата. |
Какую карточку вы выбрали и что позволило вам с ней справиться? | Осознание уровня собственной самостоятельности и мотивации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы закрепили свойства равнобедренного треугольника и увидели, что правильный чертёж помогает выбрать способ решения. Самая частая ошибка — перепутать основание с боковой стороной или назвать равными не те углы. Поэтому каждый раз начинайте с обозначений и только потом выполняйте вычисления. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на доказательство и научимся строить более подробную цепочку рассуждений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на нахождение углов равнобедренного треугольника и две на нахождение боковой стороны или основания по периметру. Для каждой задачи выполнить чертёж и записать применённое свойство. | Закрепляет распознавание основания и применение базовых свойств; при проверке смотреть на чертёж, формулу и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых медиана, высота или биссектриса проведены к основанию равнобедренного треугольника; найти длины отрезков и углы, добавив краткое обоснование. | Формирует умение связывать несколько свойств; при проверке смотреть, объяснено ли совпадение медианы, высоты и биссектрисы. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на свойства равнобедренного треугольника с чертежом, решить её двумя способами или дополнить доказательством равенства двух треугольников. | Развивает создание математической модели и аргументацию; при проверке смотреть на непротиворечивость условия и полноту доказательства. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие стороны называют боковыми?», «Какие углы равны в равнобедренном треугольнике?», «Какими свойствами обладает медиана к основанию?», «Почему решение нельзя начинать без чертежа?»
