Накрест лежащие, односторонние и соответственные углы. Вертикальные и смежные углы: решение задач
Цели и задачи
- Цель урока: к концу занятия научиться распознавать пары накрест лежащих, односторонних и соответственных углов на рисунке, применять свойства вертикальных и смежных углов и решать не менее трёх задач с объяснением выбора свойства.
- Сформировать представление о расположении пар углов при пересечении двух прямых секущей и научить различать их по положению относительно секущей и прямых.
- Научить применять свойства вертикальных и смежных углов, а также признаки равенства или суммы накрест лежащих, односторонних и соответственных углов при параллельности прямых.
- Развивать умение анализировать чертёж, выделять существенные признаки, составлять краткую запись решения и проверять полученный результат.
- Формировать ответственное отношение к совместной работе, готовность аргументировать своё решение и уважать иной способ рассуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к геометрии через самостоятельное исследование взаимного расположения углов.
- Осознают ценность точного чертежа и последовательного доказательного рассуждения.
- Готовы выбирать уровень задания и принимать ответственность за результат своей работы.
- Развивают уверенность в высказывании собственной гипотезы и корректном обсуждении ошибок одноклассников.
Метапредметные
- Выделяют на чертеже вершины углов, стороны, секущую и положение углов относительно двух прямых.
- Планируют решение задачи по алгоритму: распознать пару углов, назвать свойство, составить равенство или сумму, вычислить и проверить ответ.
- Сравнивают различные способы решения и аргументируют выбор свойства.
- Работают с информацией в виде чертежа, краткой записи, формулы и устного объяснения.
Предметные
- Знать определения вертикальных и смежных углов, а также накрест лежащих, односторонних и соответственных углов.
- Знать, что вертикальные углы равны, а сумма смежных углов равна $180^\circ$.
- Уметь распознавать пары углов на чертеже и применять свойства углов при решении задач.
- Уметь обосновывать равенство накрест лежащих и соответственных углов либо сумму односторонних углов при параллельных прямых.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют смыслообразование: понимают, зачем нужно уметь читать геометрический чертёж и доказывать выбор свойства.
- Осуществляют самоопределение при выборе базового или повышенного задания.
- Формируют готовность воспринимать ошибку как источник уточнения способа действия.
- Оценивают личный вклад в парную и групповую работу.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют последовательность решения задачи по предложенному алгоритму.
- Осуществляют самоконтроль с помощью эталона и чертежа.
- Находят ошибку в рассуждении, вносят коррекцию и оценивают результат.
Познавательные УУД
- Классифицируют пары углов по их положению на чертеже.
- Устанавливают связи между вертикальными и смежными углами.
- Моделируют ситуацию с помощью чертежа и буквенных обозначений.
- Применяют анализ и синтез при переходе от условия задачи к уравнению.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с использованием геометрических терминов.
- Работают в паре: распределяют роли чертёжника и объясняющего, затем меняются ролями.
- Задают уточняющие вопросы и аргументированно возражают при разборе решения.
- Согласуют общий вариант классификации углов и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображение двух параллельных прямых, пересечённых секущей, с пронумерованными углами от 1 до 8.
- Вывесить на доске памятку: «вертикальные — равны», «смежные — сумма $180^\circ$», «накрест лежащие — внутри по разные стороны секущей», «односторонние — внутри по одну сторону секущей», «соответственные — в одинаковом положении».
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Распечатать мини-лист самооценки и билет на выход по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить линейки, карандаши и угольники для каждой пары.
- Подготовить цветные маркеры или магниты трёх цветов: для внутренних углов, углов слева и справа от секущей, соответствующих позиций.
- На отдельном листе подготовить эталон решения: $\angle 1=65^\circ$, $\angle 2=115^\circ$, вертикальный к углу 1 угол равен $65^\circ$.
- Проверить работу проектора или интерактивной доски; на экране заранее разместить только проблемный чертёж без подписей свойств.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и создать мотивацию через проблемный чертёж.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, линейка, карандаш и карточка для работы должны лежать на столе. Сегодня вы будете не только решать задачи, но и сами выяснять, какое свойство нужно применить. Это урок-исследование, поэтому ваши гипотезы важны даже тогда, когда их понадобится уточнить." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату, готовят чертёжные принадлежности. |
2 мин | Учитель показывает на экране чертёж двух прямых, пересечённых секущей, без названий углов: "Посмотрите на рисунок. Здесь образовалось восемь углов. Как вы думаете, можно ли быстро определить, какие из них равны, какие в сумме дают $180^\circ$, а какие занимают одинаковое положение? Запишите одну гипотезу и обсудите её с соседом по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Индивидуально формулируют гипотезу, обсуждают её в парах одну минуту, предлагают варианты: «равны вертикальные», «рядом стоящие углы могут дать $180^\circ$», «важно учитывать положение относительно секущей». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одного измерения углов недостаточно: нужно научиться узнавать их положение на чертеже. Сейчас проверим, какие свойства уже умеем применять и где возникает затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения и свойства вертикальных и смежных углов, необходимые для открытия нового способа рассуждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель чертит пересекающиеся прямые и обращается к классу: "Назовите два признака смежных углов. Не ограничивайтесь ответом «рядом»: укажите, что происходит с одной стороной и с двумя другими сторонами. Какую сумму имеют смежные углы?" | Отвечают: «У смежных углов одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой; их сумма равна $180^\circ$». |
2 мин | Учитель выделяет вертикальные углы: "Какие пары на рисунке являются вертикальными? Почему они не имеют общей стороны? Какое свойство используем?" Затем предлагает устно найти угол, смежный с углом $47^\circ$, и вертикальный ему. | Показывают пары противоположных углов, отвечают: «Вертикальные углы имеют общую вершину, но их стороны являются продолжениями сторон друг друга; вертикальные углы равны». Называют смежный угол $133^\circ$ и вертикальный угол $47^\circ$. |
2 мин | Учитель раздаёт мини-карточку с утверждениями: 1) «Вертикальные углы равны»; 2) «Смежные углы равны всегда»; 3) «Сумма смежных углов равна $180^\circ$». Просит отметить верные утверждения и объяснить ошибку во втором. | Отмечают верными первое и третье утверждения, исправляют второе: «Смежные углы равны только в частном случае, если каждый из них равен $90^\circ$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили два надёжных инструмента: равенство вертикальных углов и сумму смежных углов. Теперь посмотрим, как эти знания помогают исследовать сразу две прямые, пересечённые секущей."
Запись в тетрадях
Записать: «Вертикальные углы равны. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.»
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: подвести учащихся к необходимости классифицировать пары углов по их положению относительно двух прямых и секущей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель нумерует восемь углов на чертеже и говорит: "Рассмотрите углы 3 и 5. Они находятся между двумя прямыми или снаружи? По разные стороны секущей или по одну? Теперь сравните углы 3 и 7: они занимают одинаковое положение у разных точек пересечения? Попробуйте дать парам названия, не заглядывая в правило." | Рассматривают чертёж, отвечают: «Углы 3 и 5 — внутренние и находятся по разные стороны секущей; углы 3 и 7 занимают одинаковое положение у разных пересечений». Предполагают названия: «накрест лежащие», «соответственные». |
2 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите, что нужно уметь к концу урока. Затем объединитесь в пары, выберите общую формулировку, а две пары соединятся и составят итоговую цель." Учитель фиксирует формулировку на доске: «Научиться распознавать пары углов и решать задачи, используя их свойства». | Формулируют индивидуальную цель, согласуют её в парах и группах, записывают итоговую цель урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили, что ключ к задаче — не угадывать по внешнему виду, а установить положение углов. Сначала сами выведем удобную классификацию, затем применим её к вычислениям."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать представление о трёх парах углов при пересечении двух прямых секущей и связать их с условиями параллельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает чертёж двух параллельных прямых $a$ и $b$, пересечённых секущей $c$, и выделяет цветом внутреннюю область: "Углы, расположенные между прямыми $a$ и $b$, называются внутренними, а остальные — внешними. Найдите внутренние углы, расположенные по разные стороны секущей. Такая пара называется накрест лежащими. Запишите определение своими словами." | Находят пары внутренних углов по разные стороны секущей, записывают: «Накрест лежащие углы — внутренние углы, расположенные по разные стороны секущей». Называют, например, пары $\angle 3$ и $\angle 5$, $\angle 4$ и $\angle 6$. |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь найдите внутренние углы по одну сторону секущей. Это односторонние углы. Как можно запомнить различие? У накрест лежащих — «крест», то есть разные стороны; у односторонних — одна сторона. При параллельных прямых сумма односторонних углов равна $180^\circ$." | Выделяют пары $\angle 4$ и $\angle 5$, $\angle 3$ и $\angle 6$, формулируют: «Односторонние углы лежат внутри полосы между прямыми по одну сторону секущей». Записывают свойство суммы. |
2 мин | Учитель обводит угол у верхнего пересечения и угол у нижнего пересечения в одинаковом положении: "Эти углы не обязательно лежат внутри полосы и не находятся у одной вершины. Они занимают одинаковое положение относительно секущей и прямых. Это соответственные углы. При параллельных прямых соответственные углы равны." | Находят пары соответственных углов, например $\angle 1$ и $\angle 5$, $\angle 2$ и $\angle 6$, объясняют: «Они расположены в одинаковых угловых позициях при двух пересечениях». |
2 мин | Учитель предлагает сравнить три пары на доске: "Для каждой пары назовите признак: внутренние или внешние, одна сторона секущей или разные, одинаковое положение или нет. Не называйте свойство наугад — сначала опишите положение." | В парах классифицируют три пары и дают полный ответ: «Углы 3 и 5 — накрест лежащие; углы 4 и 5 — односторонние; углы 1 и 5 — соответственные». |
Запись в тетрадях
Записать схему: «При параллельных прямых: накрест лежащие углы равны; соответственные углы равны; сумма односторонних углов равна $180^\circ$.» Ниже записать определения трёх пар углов в кратком виде.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть алгоритм чтения чертежа: определить, где находятся углы, сравнить их положение относительно секущей и только затем выбрать свойство. Проверим этот алгоритм на конкретной задаче."
Этап 5. Первичное закрепление и разбор задачи (7 мин)
Цель этапа: научить применять свойства углов в последовательном решении задачи с объяснением каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает условие: "Прямые $a$ и $b$ параллельны, а прямая $c$ — секущая. Один из накрест лежащих углов равен $65^\circ$. Найдите второй накрест лежащий угол и односторонний с ним угол. Сначала не вычисляйте: назовите свойства, которые понадобятся." | Читают условие, подчёркивают слова «параллельны», «накрест лежащий», «односторонний», отвечают: «Накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^\circ$». |
3 мин | Учитель предлагает решить задачу по алгоритму и проговаривает: "Первый шаг — обозначьте известный угол. Второй — найдите накрест лежащий и примените равенство. Третий — для одностороннего угла составьте сумму $180^\circ$. Запишите не только числа, но и обоснование." | Решают в тетради: второй накрест лежащий угол равен $65^\circ$; односторонний угол равен $180^\circ-65^\circ=115^\circ$. Формулируют: «Ответ: $65^\circ$ и $115^\circ$». |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Проверьте три элемента: указано ли свойство, записана ли формула или равенство, есть ли ответ с градусами. Поставьте две звезды за точные шаги и одно пожелание, если не хватает обоснования." | Проверяют решения по трём критериям, отмечают сильные стороны и формулируют одно конкретное пожелание однокласснику. |
Эталон решения
Так как прямые $a$ и $b$ параллельны, накрест лежащие углы равны: $\angle 2=65^\circ$. Односторонние углы в сумме дают $180^\circ$, поэтому $\angle 3=180^\circ-65^\circ=115^\circ$. Ответ: $65^\circ$ и $115^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В решении важны не только вычисления, но и причина каждого равенства. Сейчас каждый попробует выполнить похожие задания самостоятельно, выбрав базовый или повышенный уровень."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение распознавать пары углов и применять свойства при вычислении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки двух уровней: "Выберите базовую карточку, если хотите закрепить алгоритм, или повышенную, если готовы объяснить несколько шагов. Выбор уровня не является оценкой ваших способностей: он показывает, какой вызов вы готовы принять сегодня." | Выбирают карточку и записывают фамилию, готовят отдельное место для решения. |
5 мин | Учитель напоминает: "В базовой карточке определите вид пар углов и найдите неизвестные углы. В повышенной карточке объясните, почему выбранное свойство применимо. Не измеряйте углы линейкой: используйте условия задачи и свойства." Учитель консультирует, задавая наводящие вопросы. | Индивидуально выполняют задания. Базовый вариант: при параллельных прямых один угол равен $72^\circ$; находят накрест лежащий, соответственный и односторонний с ним углы. Повышенный вариант: составляют уравнение по условию, что односторонние углы равны $3x+10$ и $5x-30$. |
2 мин | Учитель показывает эталон на доске: "Сверьте сначала классификацию пары, затем вычисление. Если получили отрицательное значение или сумму, отличную от $180^\circ$, вернитесь к рисунку и проверьте, не перепутали ли вы накрест лежащие и односторонние углы." | Самостоятельно сверяют работу, подчёркивают место возможной ошибки, исправляют решение другим цветом и ставят отметку в листе самооценки. |
Эталон решения
Для базового варианта: накрест лежащий и соответственный углы равны данному, поэтому каждый равен $72^\circ$. Односторонний угол равен $180^\circ-72^\circ=108^\circ$. Для повышенного варианта: $(3x+10)+(5x-30)=180$; $8x-20=180$; $8x=200$; $x=25$. Тогда углы равны $3\cdot25+10=85^\circ$ и $5\cdot25-30=95^\circ$, их сумма $180^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы уже умеете переходить от положения углов к вычислению. Осталось связать новое знание с ранее изученными вертикальными и смежными углами и увидеть, как один угол помогает найти остальные."
Этап 7. Включение нового знания в систему и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: обобщить свойства углов, применить их в комбинированной задаче и осознать результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает комбинированную задачу: "Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из углов равен $58^\circ$. Найдите все остальные углы, образованные при пересечении. Объясните, какие из них нашли как вертикальные, какие — как смежные, а какие — как соответственные." | Строят схему рассуждения: вертикальные углы равны $58^\circ$, смежные с ними равны $122^\circ$, затем по соответственным углам переносят значения к другому пересечению. Формулируют: «Четыре угла равны $58^\circ$, четыре — $122^\circ$». |
2 мин | Учитель просит заполнить лист самооценки: "Отметьте, что вы сегодня умеете: распознаю вертикальные и смежные углы; различаю три пары при секущей; выбираю свойство; решаю задачу и объясняю каждый шаг. Рядом поставьте знак: уверенно, с помощью, пока трудно." | Заполняют самооценку, отмечают один навык, который освоен лучше всего, и один навык для дальнейшей тренировки. |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: 1) чем накрест лежащие углы отличаются от односторонних; 2) если один из односторонних углов равен $110^\circ$, чему равен второй при параллельных прямых?" | Записывают: «Накрест лежащие лежат по разные стороны секущей, односторонние — по одну сторону; второй угол равен $70^\circ$». Сдают билет при выходе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились читать положение углов, а не просто смотреть на их рисунок. Вы использовали вертикальные и смежные углы как опору и открыли свойства трёх пар углов при параллельных прямых. Дома закрепите алгоритм, а на следующем уроке мы продолжим решать задачи на доказательство параллельности прямых."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно классифицированы все пары углов, решены задания выбранной карточки, записаны свойства и выполнена проверка результата; в повышенном задании уравнение составлено и решено без ошибок.
- «4» — правильно выполнена основная часть заданий, допущена одна неточность в классификации или вычислении, но ход рассуждения и применение свойств обоснованы.
- «3» — распознаны базовые вертикальные и смежные углы и решена хотя бы одна задача с помощью подсказки, однако есть ошибки в различении накрест лежащих, односторонних и соответственных углов.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о расположении углов при пересечении двух прямых секущей? | Выявление осознания различий между накрест лежащими, односторонними и соответственными углами. |
Какое свойство вы применяете первым, если видите вертикальные или смежные углы? | Проверка понимания опорного алгоритма решения. |
Какая часть решения оказалась самой сложной: распознать пару, выбрать свойство или выполнить вычисление? | Выявление точки затруднения для последующей коррекции. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно на следующем уроке? | Оценка субъективной уверенности и готовности к дальнейшему обучению. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились распознавать углы по их положению относительно двух прямых и секущей. Важно не путать накрест лежащие углы, расположенные по разные стороны секущей, с односторонними, расположенными по одну сторону. При решении всегда сначала называйте свойство, а уже потом выполняйте вычисление. На следующем уроке мы рассмотрим задачи, в которых по равенству углов нужно будет доказать параллельность прямых."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задачи на распознавание вертикальных, смежных, накрест лежащих, односторонних и соответственных углов; в двух задачах найти неизвестный угол по его величине и свойству пары. | Закрепляет определения и базовые вычисления; при проверке обратить внимание на правильное название пары и запись единиц измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с чертежами двух параллельных прямых и секущей: найти неизвестные углы, используя равенство накрест лежащих или соответственных углов и сумму односторонних углов; каждое решение сопроводить обоснованием. | Формирует умение выбирать свойство по условию и последовательно оформлять решение. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу, в которой один угол задан выражением $3x+15$, другой односторонний — $5x-15$, решить её и построить корректный чертёж. Дополнительно объяснить, почему полученные углы подходят для параллельных прямых. | Развивает умение создавать математическую модель, решать уравнение и аргументировать обратное применение свойств. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как отличить накрест лежащие углы от односторонних? Какое свойство имеют соответственные углы при параллельных прямых? Чему равен угол, смежный с углом $68^\circ$? Почему вертикальные углы равны?»
