Периметр и площадь составных фигур: повторение и обобщение
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока систематизировать способы нахождения периметра и площади составных фигур и самостоятельно решить не менее 3 из 4 разноуровневых практических заданий, обосновав выбор способа решения.
- Закрепить умение разбивать составную фигуру на прямоугольники, квадраты и другие известные фигуры, составлять план решения и выполнять необходимые измерения.
- Повторить формулы периметра и площади прямоугольника и квадрата, научиться различать линии, входящие в периметр, и отрезки, используемые только для разбиения фигуры.
- Развивать умение моделировать условие задачи с помощью чертежа, схемы, таблицы и математического выражения.
- Формировать ответственное отношение к совместной работе, взаимопроверке и аргументированной оценке выбранного способа решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность вычисления площадей и периметров при планировании ремонта, благоустройства и проектировании помещений.
- Проявляют готовность проверять результат и исправлять ошибки без отказа от решения задачи.
- Принимают необходимость уважительного обсуждения разных способов решения.
- Развивают учебную самостоятельность через выбор уровня сложности задания.
Метапредметные
- Планируют последовательность решения составной задачи и контролируют соответствие результата условию.
- Извлекают данные из текста, чертежа и схемы, переводят их в математическую модель.
- Сравнивают несколько способов разбиения фигуры и аргументируют более рациональный способ.
- Работают в паре и группе, распределяют роли, формулируют вопросы и представляют общий результат.
- Используют самооценку и взаимопроверку по заранее объявленным критериям.
Предметные
- Знать формулы периметра и площади прямоугольника и квадрата.
- Уметь находить недостающие длины по данным чертежа.
- Уметь вычислять периметр составной фигуры по внешнему контуру.
- Уметь находить площадь составной фигуры разбиением на известные фигуры или дополнением до прямоугольника.
- Уметь записывать решение с пояснениями, единицами измерения и проверкой разумности ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель на урок и выбирают посильный, но развивающий уровень задания.
- Осознают значение точности измерений и вычислений в практической деятельности.
- Проявляют самостоятельность при выборе модели составной фигуры.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель решения и составляют пошаговый план действий.
- Проверяют, все ли стороны внешнего контура учтены в периметре.
- Сопоставляют полученный ответ с размерами фигуры и исправляют выявленные ошибки.
- Оценивают результат по критериям и определяют следующий шаг для улучшения.
Познавательные УУД
- Анализируют чертёж, выделяют известные и неизвестные величины.
- Моделируют составную фигуру с помощью разбиения на прямоугольники и квадраты.
- Устанавливают связи между площадью целой фигуры и площадями её частей.
- Сравнивают алгоритмы нахождения площади и периметра.
- Формулируют обобщённый алгоритм решения практической задачи.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: чертёжник, вычислитель, проверяющий, докладчик.
- Задают уточняющие вопросы к условию и способу решения.
- Аргументируют выбор разбиения фигуры и корректно обсуждают ошибки.
- Представляют решение, используя математическую терминологию.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения четырёх составных фигур: Г-образной, ступенчатой, фигуры с вырезом и фигуры для практического контекста.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика и комплект из четырёх карточек на каждую группу.
- Подготовить листы формата А4, линейки, карандаши, цветные маркеры и стикеры для моделирования.
- Разместить на доске или экране шпаргалку-напоминание: $P=2(a+b)$, $P=4a$, $S=ab$, $S=a^2$, а также алгоритм решения составной фигуры.
- Подготовить индивидуальные листы самооценки с пунктами «Я умею находить периметр», «Я умею находить площадь», «Я могу объяснить способ».
- Раздать каждой паре карточку с чертежом Г-образной фигуры и таблицей «Известно — Нужно найти — План».
- Подготовить таймер на 3–5 минут для парной и групповой работы.
- Организовать четыре рабочих места для групп; предусмотреть задания минимального, базового и повышенного уровня.
- Подготовить эталоны решений для самопроверки, закрытые до этапа самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать как инженеры и дизайнеры: нам потребуется определить, сколько материала понадобится для объекта сложной формы. Проверьте, что на парте есть тетрадь, ручка, линейка и карандаш. Выберите рабочий настрой: сегодня можно предложить собственный способ решения и сравнить его со способом одноклассников." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовят линейку и тетрадь. |
2 мин | Учитель показывает на экране план комнаты Г-образной формы и спрашивает: "Представьте, что эту площадку нужно обнести ограждением и замостить плиткой. Какие две величины нужно найти? Чем будет отличаться способ их нахождения? Запишите предположение, затем обсудите его с соседом по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Индивидуально формулируют ответ, обсуждают его в парах 1 минуту, сообщают: «Для ограждения нужен периметр, для плитки — площадь». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одна и та же фигура может требовать двух разных вычислений. Сейчас проверим, какие знания помогут нам решать такие задачи без ошибок."
Этап 2. Актуализация знаний и диагностика затруднений (6 мин)
Цель этапа: восстановить формулы и выявить типичные ошибки при работе с периметром и площадью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует фронтальный устный опрос: "Посмотрите на доску. Заполните пропуски: периметр прямоугольника равен ..., площадь прямоугольника равна ..., площадь квадрата равна ... . Вспомните, какие единицы измерения используются для периметра и площади. Почему отрезок, проведённый внутри фигуры, обычно не входит в её периметр?" | Заполняют формулы в тетради, отвечают: «$P=2(a+b)$», «$S=ab$», «$S=a^2$»; называют единицы длины и площади; объясняют, что периметр — длина внешней границы. |
3 мин | Учитель раздаёт парам карточку с утверждениями и предлагает отметить верные: "Площадь составной фигуры равна сумме площадей частей. Все отрезки на чертеже входят в периметр. Периметр можно найти сложением только внешних сторон. При разбиении фигуры площадь частей не должна перекрываться." После обсуждения учитель просит объяснить один спорный пункт. | В парах отмечают утверждения, исправляют ошибочное: «Не все отрезки чертежа входят в периметр; внутренние линии нужны для вычисления, но не являются границей». |
Запись в тетрадях
Записывают: «Периметр — длина внешней границы фигуры. Площадь составной фигуры можно найти как сумму площадей частей или как разность площади целой фигуры и площади выреза».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулы мы восстановили, а главное различие уже назвали: периметр связан с внешней границей, площадь — с заполнением фигуры. Теперь выясним, как построить модель составной фигуры и не потерять ни одну длину."
Этап 3. Проблемный диалог и постановка цели (5 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм решения задачи о составной фигуре через проблемный диалог.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает Г-образную фигуру: внешний прямоугольник имеет длину 10 см и ширину 8 см, из правого нижнего угла вырезан прямоугольник размером 4 см на 3 см. Учитель спрашивает: "Можно ли сразу применить формулу площади прямоугольника к исходной фигуре? Что мешает? Какие способы вы видите?" | Формулируют: «Фигура не является прямоугольником»; предлагают «разбить на два прямоугольника» или «найти площадь большого прямоугольника и вычесть площадь выреза». |
3 мин | Учитель фиксирует на доске предложения и говорит: "Сравним способы. Для каждого способа нужно определить недостающие длины, записать формулы и проверить, что части не перекрываются. Сформулируйте общую цель урока: чему мы должны научиться к концу занятия?" | Формулируют цель: «Научиться выбирать модель составной фигуры, находить её периметр и площадь и объяснять решение». Записывают цель и план: «чертёж — разбиение — формулы — вычисления — проверка». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема состоит не в запоминании ещё одной формулы, а в правильной модели. Мы будем каждый раз задавать себе два вопроса: какие части образуют фигуру и какие стороны образуют её внешний контур."
Этап 4. Открытие и обобщение способа решения. Метод моделирования (8 мин)
Цель этапа: совместно построить алгоритм нахождения площади и периметра составной фигуры.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель чертит на доске Г-образную фигуру по условию: внешний прямоугольник 10 см на 8 см, вырез 4 см на 3 см. Говорит: "Сначала создаём модель. Обведите внешний прямоугольник синим, вырез — красным. Для площади выберем способ дополнения: площадь большой фигуры минус площадь выреза. Запишем: $S=10\cdot8-4\cdot3=68$ см$^2$. Почему единица измерения квадратная?" | Переносят схему в тетрадь, выделяют части цветом, вычисляют $S=68$ см$^2$, объясняют: «Площадь измеряется количеством квадратных единиц». |
4 мин | Учитель продолжает: "Теперь найдём периметр. Назовите только стороны внешней границы. Недостающие стороны определяем по разности: вертикальная часть равна $8-3=5$ см, горизонтальная часть равна $10-4=6$ см. Поэтому $P=10+5+4+3+6+8=36$ см. Обратите внимание: стороны выреза, которые стали частью внешней границы, учитывать нужно, а внутреннюю линию разбиения — нет." | По чертежу называют шесть внешних сторон, записывают вычисления, проверяют единицы измерения, формулируют вывод: «Для периметра складываем стороны контура, для площади — площади частей или разность». |
Запись в тетрадях
Записывают алгоритм: «1. Внимательно прочитать условие и выполнить чертёж. 2. Выделить известные и найти недостающие длины. 3. Выбрать способ нахождения площади. 4. Для периметра сложить только внешние стороны. 5. Выполнить вычисления с единицами. 6. Проверить ответ по смыслу».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы построили универсальную модель: составную фигуру можно разложить на знакомые части или дополнить до знакомой фигуры. Теперь применим алгоритм сначала вместе, а затем в группах с заданиями разной сложности."
Этап 5. Первичное закрепление в группах и парах (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на задачах разного уровня и развить умение объяснять выбранную модель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на группы по четыре человека и назначает роли: "В каждой группе будут чертёжник, вычислитель, проверяющий и докладчик. Выберите карточку: зелёная — базовый уровень, синяя — повышенный, красная — высокий. Выбор должен быть самостоятельным, но группа обязана объяснить его." | Распределяют роли, выбирают уровень, читают условие и отмечают известные величины. |
4 мин | Учитель сопровождает работу, задаёт вопросы: "Какие стороны являются внешним контуром? Можно ли найти площадь двумя способами? Где на модели находится вырез? Не складываете ли вы одну и ту же часть дважды?" Карточка базового уровня: прямоугольник 12 см на 7 см с вырезом 5 см на 2 см. Повышенный уровень: ступенчатая фигура с горизонтальными отрезками 4 см, 3 см и 5 см и вертикальными 2 см, 4 см и 6 см. Высокий уровень: участок имеет форму прямоугольника 14 м на 9 м, из него вырезана прямоугольная клумба 4 м на 3 м; сравнить два варианта ограждения: по внешнему контуру участка и вокруг клумбы отдельно. | Строят модели, подписывают недостающие длины, выбирают способ нахождения площади, вычисляют периметр и площадь, сверяются с проверяющим. Группа высокого уровня дополнительно объясняет различие между периметром участка и общей длиной ограждения вокруг двух объектов. |
2 мин | Учитель организует мини-защиту: "Докладчик каждой группы за 30 секунд назовёт модель, формулу площади и главный контрольный вопрос при нахождении периметра. Остальные группы показывают зелёный стикер, если согласны, и жёлтый, если видят место для уточнения." | Докладчики представляют решения; остальные сравнивают модели, задают вопросы и отмечают сильную сторону и возможную ошибку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Разные уровни сложности привели нас к одному общему алгоритму. Сейчас каждый проверит, может ли применить его самостоятельно, без подсказки группы."
Этап 6. Самостоятельная разноуровневая работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение способов нахождения периметра и площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет критерии: "Выберите один из трёх вариантов. Минимальный вариант обязателен для всех, базовый рекомендуется большинству, повышенный можно выбрать тем, кто готов обосновать два способа. В решении должны быть чертёж, формулы, вычисления, единицы и ответ." | Выбирают вариант, записывают номер уровня и приступают к работе. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Минимальный уровень: найти площадь и периметр фигуры, составленной из двух прямоугольников 6 см на 4 см и 3 см на 4 см, соединённых сторонами длиной 4 см. Базовый уровень: из прямоугольника 15 см на 10 см вырезан прямоугольник 6 см на 4 см; найти площадь и периметр получившейся фигуры. Повышенный уровень: предложить два разных разбиения ступенчатой фигуры и доказать, что площадь получается одинаковой. | Решают индивидуально, строят модель, подчёркивают в условии данные, проверяют, какие отрезки входят в периметр. |
2 мин | Учитель открывает на доске эталон и говорит: "Сравните не только ответ, но и ход решения. Поставьте плюс за верную модель, формулы и единицы; кружок — возле места, которое нужно исправить. Исправление выполните другим цветом." | Проводят самопроверку по эталону, исправляют ошибки, ставят условный балл и отмечают причину ошибки: модель, длина, формула или вычисление. |
Эталон решения
Для базового задания: площадь большого прямоугольника $15\cdot10=150$ см$^2$, площадь выреза $6\cdot4=24$ см$^2$, поэтому $S=150-24=126$ см$^2$. Для периметра необходимо сложить стороны внешнего контура; недостающие стороны находятся по разностям соответствующих сторон большого прямоугольника. Ответ записывается в сантиметрах. Важно: площадь выреза вычитается, но его стороны могут входить во внешний контур получившейся фигуры.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что ошибка чаще всего возникает не в умножении, а на этапе построения модели. В завершение применим знания к реальному контексту и сформулируем, что теперь умеем делать."
Этап 7. Применение, рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: связать изученный способ с практической задачей, осознать результат и определить индивидуальное продолжение работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает практическую ситуацию: "Дизайнер планирует уложить покрытие на площадку Г-образной формы. Площадь площадки уже найдена как $42$ м$^2$, а длина её внешнего контура равна $28$ м. Что означает каждое число? Если один рулон декоративной ленты имеет длину 5 м, сколько рулонов нужно купить для оформления всего контура?" | Объясняют смысл чисел, вычисляют $28:5=5{,}6$, делают практический вывод: «Нужно купить 6 рулонов, потому что количество предметов округляют вверх». |
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Отметьте один уровень: зелёный — могу решить и объяснить; жёлтый — решаю с проверкой; красный — нужна помощь. Допишите одну фразу: «Теперь я умею...» и один вопрос: «Мне нужно повторить...»." | Заполняют лист самооценки, формулируют личный результат и вопрос для дальнейшей работы. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и контрольные вопросы: "Перед выходом ответьте устно: что входит в периметр? Как найти площадь фигуры с вырезом? Почему единицы площади квадратные? Какие данные нужно проверить по чертежу?" | Отвечают: «Внешние стороны», «вычесть площадь выреза или сложить площади частей», «площадь измеряется квадратными единицами», «нужно проверить все длины и отсутствие перекрытий». Записывают домашнее задание. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнена модель, найдены площадь и периметр, записаны необходимые формулы и единицы измерения; решение содержит обоснование и проверку.
- «4» — способ выбран верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на общий ход решения.
- «3» — выполнена часть задания: правильно записана хотя бы одна формула и начата модель, но есть ошибка в нахождении недостающей длины или в выборе внешних сторон.
- Ниже базового уровня — отсутствует связная модель или не различены понятия площади и периметра; требуется индивидуальная работа по алгоритму.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового или важного вы сегодня поняли о периметре составной фигуры? | Выявление осознания различия между внешним контуром и внутренними линиями разбиения. |
Какой способ нахождения площади вы выбрали и почему? | Проверка умения обосновывать модель и видеть несколько способов решения. |
На каком шаге возникло затруднение: чертёж, недостающие длины, формула или вычисления? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Какое задание вы готовы выбрать на следующем уроке: базовое, повышенное или высокое? | Определение субъективной оценки готовности и уровня учебной самостоятельности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы обобщили способы нахождения периметра и площади составных фигур и увидели, что главным является не механический выбор формулы, а точная математическая модель. Запомните: для периметра мы идём по внешней границе, а для площади складываем части или вычитаем вырез. Типичная ошибка — включить внутренний отрезок в периметр или забыть восстановить недостающую длину. На следующем уроке мы применим этот алгоритм к более сложным практическим задачам и сравним эффективность разных способов решения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на нахождение площади и периметра составных фигур, образованных объединением двух прямоугольников; в каждой задаче выполнить чертёж и указать единицы измерения. | Закрепить базовый алгоритм и проверить, различает ли ученик внешний контур и линии разбиения. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи: две фигуры с прямоугольным вырезом и две ступенчатые фигуры; для одной задачи привести два способа нахождения площади. | Развить умение выбирать модель, находить недостающие длины и сравнивать способы решения. |
Продвинутый (дополнительный) | Спроектировать план клумбы или комнаты Г-образной формы с целыми размерами, вычислить её площадь и длину внешнего контура, а также составить краткое условие собственной задачи. | Развить моделирование, функциональную грамотность и умение создавать математическую задачу. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Чем периметр отличается от площади? Какие стороны складывают при нахождении периметра составной фигуры? Как можно найти площадь фигуры с вырезом? Зачем выполнять чертёж и подписывать недостающие длины?»
