Перпендикуляр к прямой
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать перпендикулярные прямые, формулировать определение перпендикуляра и строить перпендикуляр к заданной прямой с помощью чертёжных инструментов, выполняя не менее 3 из 4 практических заданий без существенных ошибок.
- Сформировать представление о перпендикуляре к прямой и обозначении прямого угла.
- Научить строить перпендикуляр к прямой с помощью линейки и угольника, проверять правильность построения.
- Развивать умение наблюдать, сравнивать, выдвигать гипотезу и аргументировать вывод в парной работе.
- Показать практическое применение перпендикулярных линий в архитектуре, строительстве, картографии и инженерии.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к геометрии через исследование объектов окружающего мира.
- Осознают значение точности и аккуратности геометрического построения для практической деятельности человека.
- Принимают ответственность за собственный результат и уважают обоснованное мнение партнёра.
- Проявляют готовность выбирать уровень задания в соответствии со своими возможностями и учебной целью.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и цель исследования на основе наблюдения за геометрическими фигурами.
- Извлекают информацию из чертежа, сравнивают углы и фиксируют результаты наблюдений в таблице.
- Планируют последовательность построения, осуществляют самопроверку и корректируют чертёж.
- Сотрудничают в паре, распределяют роли, задают вопросы и аргументируют вывод.
- Устанавливают межпредметную связь геометрии с черчением, технологией, архитектурой и картографией.
Предметные
- Знать определение перпендикулярных прямых и перпендикуляра к прямой.
- Уметь распознавать прямой угол на чертеже и обозначать его символом $\perp$.
- Уметь строить перпендикуляр к прямой с помощью линейки и угольника.
- Уметь проверять перпендикулярность прямых измерением или наложением угольника.
- Понимать, что через точку, лежащую на прямой или вне её, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения перпендикуляра через его применение в строительстве и черчении.
- Осознают необходимость точности, аккуратности и соблюдения правил работы с инструментами.
- Развивают уверенность в самостоятельном поиске способа решения геометрической задачи.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и принимают конструктивную обратную связь.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока: научиться распознавать и строить перпендикуляр.
- Планируют действия при построении прямого угла по алгоритму.
- Сверяют результат с условием и эталоном, находят неточности в положении угольника.
- Осуществляют самооценку по критериям и формулируют способ исправления ошибки.
- Выбирают базовое или повышенное задание с учётом собственной готовности.
Познавательные УУД
- Выделяют существенный признак перпендикулярных прямых — образование четырёх прямых углов.
- Сравнивают изображения пересекающихся прямых и классифицируют их по величине углов.
- Моделируют построение перпендикуляра с помощью чертёжных инструментов.
- Формулируют определение на основе наблюдения и проверяют гипотезу измерением.
- Применяют математическую модель прямого угла к объектам черчения и окружающей среды.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: исполнитель построения и контролёр по алгоритму.
- Формулируют уточняющие вопросы о положении линейки и угольника.
- Объясняют партнёру, почему две прямые являются или не являются перпендикулярными.
- Согласовывают общий вывод и представляют его классу.
- Корректно выражают несогласие, опираясь на измерение или свойство прямого угла.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения строительного уровня, оконной рамы, перекрёстка улиц, координатной сетки и чертежа с перпендикулярными прямыми.
- Разместить на доске карточки с обозначениями прямого угла и символом $\perp$, а также незаполненный алгоритм построения.
- Распечатать по одной карточке на парту с четырьмя чертежами для классификации углов и двумя заданиями на поиск ошибки.
- Распечатать по одному индивидуальному листу на каждого ученика с заданиями трёх уровней.
- Подготовить на каждую парту линейку, угольник, карандаш, ластик и чистый лист для построений.
- Подготовить карточки ролей «исполнитель» и «контролёр» для парной работы.
- Вывести на экран таблицу наблюдений: «Что видим? Как измеряем? Какой вывод делаем?».
- Подготовить эталонный чертёж прямой $a$ и перпендикуляра $b$ с обозначенным прямым углом.
- Предусмотреть таймер на 2–4 минуты для этапов парной и самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование и показать практическую значимость перпендикулярных линий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, линейки, угольника и карандаша. Сегодня мы будем не только слушать объяснение, но и сами открывать геометрическое свойство через наблюдение и построение. Выберите рабочее место так, чтобы вам было удобно чертить и обсуждать результат с соседом." | Проверяют принадлежности, готовят инструменты, садятся парами и определяют, кто первым будет выполнять построение. |
3 мин | Учитель показывает изображения строительного уровня, оконной рамы и пересечения стен: "Посмотрите на изображения. Что общего у вертикальной стены и горизонтального пола, у сторон оконной рамы и у отметок на строительном уровне? Как строители проверяют, что элементы расположены точно? Сегодня мы выясним, какое геометрическое понятие описывает такую взаимную ориентацию линий." Учитель фиксирует ответы на доске и формулирует проблемный вопрос: "Как построить через данную точку линию, образующую с данной прямой прямой угол?" | Рассматривают изображения, называют вертикальное и горизонтальное направления, предполагают: "Линии пересекаются под прямым углом", "нужен угольник". Записывают проблемный вопрос в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что прямой угол нужен не только на чертеже, но и в строительстве, черчении и технике. Теперь вспомним, как распознать прямой угол и чем его можно проверить."
Этап 2. Актуализация знаний и работа в парах (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о прямом угле, пересекающихся прямых и измерении углов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с четырьмя чертежами: две пересекающиеся прямые, угол $90^\circ$, угол $60^\circ$ и угол $120^\circ$. "Работаем приёмом «Подумай — обсуди в паре — поделись». Сначала каждый самостоятельно отмечает фигуры, где есть прямой угол, затем одну минуту сравнивает решение с партнёром. Объясните, по какому признаку вы сделали выбор." | Индивидуально отмечают чертежи с прямым углом, затем обсуждают в паре и формулируют признак: "Прямой угол равен $90^\circ$". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как называется фигура, образованная двумя лучами с общим началом? Каким инструментом измеряют угол? Что происходит с прямыми, если они пересекаются?" При необходимости показывает транспортир и угольник. | Отвечают: "Угол", "транспортиром", "у пересекающихся прямых есть общая точка". Сравнивают транспортир и угольник по назначению. |
2 мин | Учитель предлагает паре сформулировать промежуточный вывод: "Если две линии пересекаются и один из углов равен $90^\circ$, какие ещё углы возникают? Проверьте ответ на карточке." | Обсуждают, что при пересечении прямых образуются четыре угла; предполагают: "Если один угол прямой, то все четыре угла прямые". Записывают гипотезу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили прямой угол и предположили, что особое пересечение прямых образует четыре прямых угла. Но пока у нас нет точного названия и определения. Сформулируем проблему урока и найдём математический способ её решить."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и критерии успешного построения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель чертит прямую $a$ и отмечает на ней точку $O$: "Попробуйте мысленно провести через точку $O$ другую прямую так, чтобы образовался прямой угол. Как можно проверить результат? Какие инструменты понадобятся?" Учитель принимает несколько вариантов без немедленной оценки. | Высказывают способы: "Провести линию на глаз", "приложить угольник", "измерить транспортиром". Обсуждают, почему построение «на глаз» недостаточно точно. |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите один шаг будущего алгоритма, затем объединитесь в пары и составьте последовательность. В конце назовём критерии хорошего чертежа." Учитель фиксирует на доске: данная прямая, точка, совмещение угольника, проведение линии, проверка. | Формулируют цель: "Научиться строить перпендикуляр к прямой". В парах составляют алгоритм и называют критерии: прямая проходит через заданную точку, угол равен $90^\circ$, линии обозначены, чертёж аккуратный. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: сегодня мы откроем понятие перпендикуляра, научимся его обозначать и построим его через заданную точку. Проверять себя будем не по впечатлению, а по конкретным признакам."
Этап 4. Открытие нового знания и построение (10 мин)
Цель этапа: вывести определение перпендикулярных прямых и освоить алгоритм построения перпендикуляра через точку на прямой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выполняет на доске чертёж: "Рассмотрите прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $O$. Я отмечаю один угол как прямой. Что можно сказать об остальных углах? Углы с общей стороной в сумме дают $180^\circ$, значит каждый соседний с прямым угол также равен $90^\circ$. Следовательно, все четыре угла прямые. Такие прямые называются перпендикулярными. Записываем определение: две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла. Обозначение: $a \perp b$." | Следят за чертежом, отвечают: "Соседние углы тоже прямые, потому что $180^\circ-90^\circ=90^\circ$". Записывают определение и обозначение $a \perp b$. |
4 мин | Учитель показывает построение через точку $O$ на прямой $a$: "Первый шаг — проводим данную прямую $a$ и отмечаем на ней точку $O$. Второй — совмещаем одну сторону угольника с прямой $a$, а вершину его прямого угла — с точкой $O$. Третий — проводим через вторую сторону угольника прямую $b$. Четвёртый — ставим знак прямого угла и записываем $a \perp b$. Не сдвигайте угольник во время проведения линии." | Наблюдают за демонстрацией, называют шаги алгоритма, затем выполняют построение в тетради через точку на прямой. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Поменяйтесь ролями: контролёр проверяет четыре признака — точка принадлежит обеим прямым, угольник совмещён с прямой, угол обозначен, запись выполнена. Если нашли ошибку, не исправляйте молча, а объясните партнёру, какой шаг нужно повторить." | Проверяют построение партнёра по четырём критериям, указывают на неточности, исправляют чертёж и проговаривают алгоритм. |
Запись в тетрадях
- Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.
- Обозначение: $a \perp b$.
- Алгоритм: провести данную прямую; отметить точку; совместить сторону угольника с прямой, а вершину прямого угла — с точкой; провести вторую прямую; обозначить прямой угол.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили точное определение и построили перпендикуляр через точку, лежащую на прямой. Теперь проверим, сможете ли вы применить это правило к готовым чертежам и объяснить свой выбор."
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: применить определение перпендикулярных прямых к чертежам и связать геометрическое понятие с черчением и технологией.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на экране три ситуации: координатная сетка, угол здания и схема дороги с пересекающей её улицей. "В парах определите, где линии перпендикулярны. В каждом случае назовите признак и запишите обозначение. Например, если горизонтальная линия обозначена $a$, а вертикальная — $b$, запись будет $a \perp b$." | В парах рассматривают изображения, находят прямые углы, записывают обозначения и готовят объяснение: "Линии перпендикулярны, потому что образуют прямой угол". |
2 мин | Учитель предлагает вопрос из области черчения: "Почему при построении рамки чертёжник не проводит вторую сторону на глаз, а использует угольник? Что произойдёт, если угол окажется $88^\circ$?" | Обсуждают и отвечают: "Рамка будет перекошена", "детали не совпадут", "нарушится точность чертежа". |
2 мин | Учитель проводит мини-проверку «Верно — неверно»: "Если две прямые не пересекаются, они перпендикулярны. Если один из углов при пересечении прямых равен $90^\circ$, прямые перпендикулярны. Перпендикуляр можно проверить только транспортиром." Просит обосновать ответы. | Поднимают карточки «верно» или «неверно» и объясняют: первое утверждение неверно, второе верно, третье неверно, поскольку можно использовать угольник. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Перпендикулярность узнаётся по прямому углу, а точность построения важна и в геометрии, и в черчении. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли он строить и проверять перпендикуляр."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение определения и алгоритма построения, организовать самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы: "Выберите базовый или повышенный вариант. Базовый вариант обязателен для всех, повышенный можно выбрать, если базовое задание выполняется уверенно. Сначала прочитайте критерии: правильность угла, прохождение через точку, обозначение и аккуратность." | Выбирают вариант, знакомятся с критериями, готовят лист и инструменты. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый вариант: 1) определить, какие пары прямых перпендикулярны; 2) построить через точку $M$, лежащую на прямой $c$, прямую $d$, перпендикулярную $c$; 3) записать обозначение. Повышенный вариант: построить два перпендикуляра к прямой через точки $M$ и $N$, сравнить их и объяснить, почему они не пересекаются. Учитель напоминает: "Работайте самостоятельно, вопросы формулируйте письменно на полях." | Выполняют задания индивидуально. Строят перпендикуляр через точку $M$, обозначают прямой угол, записывают $c \perp d$. Выбранные ученики выполняют повышенное построение и формулируют вывод о параллельности построенных прямых. |
3 мин | Учитель открывает эталон на экране: "Сравните не только ответ, но и каждый шаг. Отметьте плюсами выполненные критерии, одной звездочкой — место, которое требует исправления. Ошибку исправьте другим цветом." | Проверяют работу по эталону, находят и исправляют ошибки, подсчитывают выполненные критерии. |
Эталон решения
Для базового построения: 1) провести прямую $c$ и отметить на ней точку $M$; 2) совместить одну сторону угольника с прямой $c$, вершину прямого угла — с точкой $M$; 3) провести через вторую сторону угольника прямую $d$; 4) обозначить прямой угол; 5) записать $c \perp d$. Для повышенного задания: построенные прямые проходят через разные точки и перпендикулярны одной и той же прямой, поэтому имеют одинаковое направление и не пересекаются; они параллельны.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Если ошибка возникла, важно увидеть её причину: неверно поставлен угольник, не отмечена точка или забыто обозначение. Завершим урок проверкой главного вывода и личной рефлексией."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, оценить степень достижения цели и определить дальнейшую практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутная бумага»: "За одну минуту закончите три фразы: «Перпендикулярные прямые — это...», «Чтобы построить перпендикуляр, сначала...», «Мне нужно потренировать...». Пишите кратко, но математически точно." | Индивидуально дописывают три фразы. Формулируют: "Перпендикулярные прямые образуют четыре прямых угла"; называют первый шаг алгоритма и личное затруднение. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Зелёная карточка означает, что вы можете определить и построить перпендикуляр; жёлтая — определение понятно, но построение требует тренировки; красная — нужен разбор с учителем. Поднимите карточку и назовите один конкретный вопрос, если выбрали жёлтую или красную." | Поднимают карточки, называют затруднения: "Не всегда точно совмещаю вершину угольника с точкой", "забываю знак прямого угла". Формулируют способ коррекции. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень после самооценки. В каждом варианте важно выполнить чертежи аккуратно и подписать используемое свойство. Перед выходом ответьте на контрольный вопрос: чем перпендикуляр отличается от любой пересекающейся прямой?" | Записывают выбранный уровень домашнего задания, отвечают: "Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом и образуют четыре прямых угла". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного варианта, перпендикуляр построен через заданную точку, угол обозначен, запись $a \perp b$ выполнена, объяснение опирается на определение.
- «4» — правильно выполнены основные построения и распознавание перпендикулярных прямых, но допущена одна неточность в обозначении, объяснении или аккуратности, исправленная при самопроверке.
- «3» — распознана хотя бы одна пара перпендикулярных прямых и выполнена попытка построения по алгоритму, но допущены ошибки в совмещении угольника или в обозначении, требующие помощи учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о перпендикулярных прямых? | Выявление осознания определения и признака перпендикулярности. |
Какой шаг построения перпендикуляра оказался самым ответственным? | Выявление точек затруднения в алгоритме работы с угольником. |
Как вы проверяли, что построенная прямая перпендикулярна данной? | Проверка понимания критерия прямого угла и навыка самоконтроля. |
Где в жизни или будущей профессии может понадобиться перпендикуляр? | Осмысление межпредметной и практической значимости изученного. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом и образуют четыре прямых угла. Вы научились строить перпендикуляр через точку с помощью угольника и проверять себя по понятным критериям. Помните, что самая частая ошибка — смещение вершины угольника или неполное совмещение его стороны с данной прямой. На следующем уроке мы продолжим строить перпендикуляры и рассмотрим расстояние от точки до прямой."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 задания: распознать перпендикулярные пары прямых на готовых чертежах; построить перпендикуляр к прямой через точку на этой прямой; записать определение и обозначение перпендикулярных прямых. | Закрепляет определение, символ $\perp$ и базовый алгоритм построения; при проверке обратить внимание на прямой угол и прохождение через заданную точку. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания на построение перпендикуляров через точки, лежащие на прямой и вне прямой, с обязательной проверкой угольником и кратким объяснением каждого шага. | Развивает перенос алгоритма на новые условия; при проверке смотреть на последовательность построения, точность и аргументацию. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить небольшой чертёж реального объекта: окна, двери, перекрёстка, координатной сетки или детали механизма; выделить на нём две пары перпендикулярных линий, обозначить их и объяснить практическую роль прямых углов. | Формирует функциональную и межпредметную грамотность; при проверке оценить корректность геометрических обозначений и связь объяснения с выбранным объектом. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что означает запись $a \perp b$?», «Сколько прямых углов образуют две перпендикулярные прямые?», «Какие части угольника нужно совместить при построении перпендикуляра?», «Как проверить правильность построения?»
