Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы при пересечении параллельных прямых секущей
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать пары накрест лежащих, соответственных и односторонних углов на чертеже с параллельными прямыми и секущей, формулировать их свойства и применять их при решении не менее двух практических задач.
- Сформировать представление о трёх видах углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, и научить находить их на чертеже.
- Научить объяснять, почему соответственные и накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^\circ$.
- Развивать умение анализировать чертёж, выделять элементы геометрической конфигурации, работать в паре, аргументировать ответ и проверять его по эталону.
- Воспитывать аккуратность построений, ответственное отношение к совместной работе и интерес к применению геометрии в архитектуре, инженерии и компьютерной графике.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точного чертежа и логического рассуждения для решения практических задач.
- Проявляют готовность уважать мнение партнёра, распределять роли и принимать совместное решение.
- Оценивают собственный прогресс и выбирают уровень домашнего задания с учётом своих возможностей.
- Понимают связь геометрических знаний с профессиями архитектора, конструктора, инженера и дизайнера.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа, условных обозначений и цифровой модели.
- Сравнивают положение углов, классифицируют их по взаимному расположению и формулируют закономерность.
- Планируют решение задачи, используют критерии проверки и корректируют ошибочный ответ.
- Строят устное математическое высказывание с опорой на свойство параллельных прямых и секущей.
Предметные
- Знать определения накрест лежащих, соответственных и односторонних углов.
- Уметь находить на чертеже пары углов каждого вида при пересечении параллельных прямых секущей.
- Знать, что накрест лежащие и соответственные углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^\circ$.
- Уметь находить неизвестные углы по величине данного угла и объяснять последовательность решения.
- Владеть математической записью равенства углов и записи суммы односторонних углов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе задания базового или повышенного уровня.
- Формируют смысл учения через понимание практической роли геометрических закономерностей.
- Оценивают вклад каждого участника парной работы и соблюдают нормы математического диалога.
- Осознают необходимость точности, последовательности и доказательности рассуждений.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемного чертежа.
- Планируют алгоритм определения вида углов и выбора нужного свойства.
- Осуществляют самопроверку по эталону, находят и исправляют ошибки.
- Оценивают результат по критериям и определяют, какой вопрос требует повторения.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки взаимного расположения углов.
- Сравнивают пары углов по положению относительно секущей и параллельных прямых.
- Моделируют геометрическую ситуацию на бумаге и в интерактивной среде.
- Устанавливают связь между вертикальными, смежными и углами при параллельных прямых.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: чертёжник и объясняющий, затем меняются ролями.
- Формулируют уточняющие вопросы: «Где находятся внутренние углы?» и «Почему эти углы соответственные?».
- Аргументируют ответ с использованием геометрических терминов.
- Сверяют решения, корректно указывают на ошибку и предлагают способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображением двух параллельных прямых, секущей, обозначенными углами и динамической моделью, в которой секущая перемещается.
- Начертить на доске или вывести на экран две параллельные прямые $a$ и $b$ и секущую $c$, точки пересечения обозначить $A$ и $B$.
- Распечатать карточки трёх уровней: классификация пар углов, вычисление углов и задача с обоснованием — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить по одному листу с чертежом на парту для парной работы и цветные карандаши трёх цветов.
- Вывести на экран памятку: «накрест лежащие — внутри, по разные стороны; соответственные — в одинаковом положении; односторонние — внутри, по одну сторону».
- Подготовить слайд с заданиями для самопроверки и эталоном решения, открываемым после выполнения.
- Подготовить таймер на 2, 3 и 4 минуты, проектор, компьютер и интерактивную доску.
- Подготовить карточки для рефлексии «Светофор» и небольшой лист «Билет на выход» каждому ученику.
- Освободить безопасное пространство перед партами для двухминутной физкультминутки с движениями, обозначающими направления прямых и секущей.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к проблеме классификации углов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, линейка, карандаш и карточка на парте. Сегодня нам понадобится точный взгляд на чертёж и умение объяснять не только ответ, но и его причину. На экране вы видите две прямые и линию, которая их пересекает. Как вы думаете, можно ли по положению углов определить, какие из них связаны между собой?" | Проверяют принадлежности, рассматривают чертёж, высказывают предположения: "Да, по их расположению" и "Нужно сравнить углы около двух точек пересечения". |
2 мин | Учитель показывает на экране динамическую модель и применяет приём «Проблемный вопрос»: "Секущая немного меняет наклон, но прямые остаются параллельными. Какие пары углов сохраняют одинаковое соотношение? Почему одни углы равны, а другие в сумме дают развернутый угол? Сегодня мы найдём ответ и научимся видеть эти пары без измерения транспортиром." | Наблюдают за моделью, обсуждают вопрос с соседом 30 секунд, формулируют версии: "Некоторые углы равны", "Внутренние углы с одной стороны дополняют друг друга до $180^\circ$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что положение углов на чертеже несёт важную информацию. Теперь вспомним опорные знания, которые помогут нам описывать это положение точно."
Этап 2. Актуализация знаний и физкультминутка (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о видах углов, вертикальных и смежных углах и подготовить зрительную схему к новой теме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит чертёж двух пересекающихся прямых и спрашивает: "Назовите пары углов, которые мы уже умеем распознавать. Что можно сказать о вертикальных углах? Какова сумма смежных углов?" Затем просит одну пару объяснить ответ у доски. | Отвечают: "Вертикальные углы равны", "Сумма смежных углов равна $180^\circ$". На чертеже дугами отмечают одну пару вертикальных и одну пару смежных углов. |
2 мин | Учитель проводит физкультминутку «Живой чертёж»: "Встаньте рядом с партой. Два ученика показывают параллельные прямые, вытянув руки в одном направлении, третий ученик показывает секущую под наклоном. По моей команде назовите: вертикальные, смежные, внутренние. Движения выполняем спокойно, не касаясь друг друга." | Встают, изображают направления прямых и секущей, по команде показывают руками внутреннюю область между прямыми и называют известные виды углов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили равенство вертикальных углов и свойство смежных углов. Теперь используем эти знания, чтобы установить названия и свойства пар, возникающих сразу в двух точках пересечения."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель и план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре чертёж с параллельными прямыми $a$ и $b$ и секущей $c$: "На рисунке отмечены восемь углов, но названия не указаны. Попробуйте за минуту найти две пары, которые выглядят одинаково расположенными, и две пары внутри полосы между прямыми. Запишите, по какому признаку вы объединяли углы." | В парах отмечают углы цветом, сравнивают их положение, записывают признаки: "внутри и по разные стороны секущей", "в одинаковом положении около пересечений", "внутри и с одной стороны". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Достаточно ли сказать «эти углы похожи»? Какое точное математическое описание нам нужно получить? Сформулируйте цель урока и план действий." Учитель фиксирует на доске ответы учащихся. | Формулируют цель: "Научиться различать три вида пар углов и применять их свойства". Предлагают план: определить положение, дать названия, установить свойства, решить задачи. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение понятно: мы видим пары, но пока не умеем точно назвать их и обосновать связь. Дальше откроем определения через работу с чертежом и проверим гипотезы."
Этап 4. Открытие нового знания в парах и с использованием ИКТ (10 мин)
Цель этапа: сформировать определения трёх видов углов и вывести их свойства на основе известных свойств углов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает на интерактивной доске чертёж и говорит: "Сначала найдём накрест лежащие углы. Они расположены внутри двух прямых и по разные стороны секущей. На экране выделены углы $1$ и $5$. Проверьте признак по двум вопросам: находятся ли они между прямыми и лежат ли по разные стороны секущей? Теперь найдите вторую пару и сформулируйте определение." | Работают в парах с цветным листом, выделяют накрест лежащие пары, отвечают: "Да, оба угла внутренние и лежат по разные стороны секущей". Формулируют: "Накрест лежащие углы — внутренние углы по разные стороны секущей". |
3 мин | Учитель меняет цвет выделения: "Теперь посмотрите на углы $1$ и $5$ в одинаковом положении у двух пересечений. Такие углы называются соответственными. Сравните положение одного угла относительно секущей и параллельных прямых. Почему название связано со словом «соответствуют»?" | Сравнивают положение углов, находят соответственные пары, объясняют: "Они занимают одинаковое положение около каждой точки пересечения: оба сверху и справа, либо оба снизу и слева". |
3 мин | Учитель выделяет внутренние углы по одну сторону секущей: "Последняя пара — односторонние углы. Они находятся внутри параллельных прямых и по одну сторону секущей. Предскажите их связь. Используйте вертикальные и смежные углы, чтобы объяснить, почему их сумма равна $180^\circ$." Учитель фиксирует на доске три свойства. | Делают вывод: накрест лежащие углы равны; соответственные углы равны; односторонние углы в сумме дают $180^\circ$. Объясняют, что односторонние углы связаны со смежными через равенство соответствующих или вертикальных углов. |
Запись в тетрадях
- Накрест лежащие углы — внутренние углы, расположенные по разные стороны секущей.
- Соответственные углы — углы, расположенные в одинаковом положении относительно двух прямых и секущей.
- Односторонние углы — внутренние углы, расположенные по одну сторону секущей.
- При параллельных прямых накрест лежащие и соответственные углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили определения и свойства. Теперь не просто назовём пары, а потренируемся применять свойства в конкретных вычислениях и каждый ответ будем подтверждать признаком."
Этап 5. Первичное закрепление: «Подумай — обсуди в паре — поделись» (7 мин)
Цель этапа: научить применять определения и свойства при классификации углов и вычислении неизвестных величин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Прямые $a$ и $b$ параллельны, секущая $c$ образует угол $1=68^\circ$. Угол $5$ расположен соответственным углу $1$, угол $4$ — накрест лежащим с углом $1$, а угол $6$ — односторонним с углом $1$. Найдите $\angle5$, $\angle4$ и $\angle6$. Сначала решите самостоятельно 30 секунд, затем обсудите в паре." | Записывают решение: $\angle5=68^\circ$, $\angle4=68^\circ$, $\angle6=180^\circ-68^\circ=112^\circ$. В паре проверяют, правильно ли определён вид каждой пары. |
2 мин | Учитель приглашает две пары поделиться: "Назовите не только число, но и основание. Каким свойством вы воспользовались для каждого угла?" При необходимости уточняет: "Почему для угла $6$ нельзя сразу написать равенство?" | Объясняют: "Угол $5$ соответственный, поэтому равен $68^\circ$; угол $4$ накрест лежащий, поэтому равен $68^\circ$; угол $6$ односторонний, поэтому его сумма с углом $1$ равна $180^\circ$". |
2 мин | Учитель показывает на экране три мини-чертежа без подписей: "В каждом чертеже выберите пару накрест лежащих, соответственных или односторонних углов. Обсудите, какие признаки использовали. Ошибочный ответ исправляйте формулой «Я считаю иначе, потому что…»." | Показывают выбранные пары, формулируют аргументы, используют математические термины. Одна пара объясняет решение, другая задаёт уточняющий вопрос. |
Эталон решения
Дано: $a\parallel b$, $\angle1=68^\circ$. Так как $\angle5$ и $\angle1$ — соответственные, то $\angle5=68^\circ$. Так как $\angle4$ и $\angle1$ — накрест лежащие, то $\angle4=68^\circ$. Так как $\angle6$ и $\angle1$ — односторонние, то $\angle6+\angle1=180^\circ$, поэтому $\angle6=180^\circ-68^\circ=112^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете переходить от положения углов к нужному свойству. Сейчас каждый проверит себя самостоятельно, а затем сверит решение с эталоном."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение распознавать пары углов и применять их свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень самостоятельно. Уровень 1 — определить пары, уровень 2 — найти неизвестные углы, уровень 3 — объяснить решение в развёрнутом виде. Выбор уровня — это ответственность за собственное продвижение, а не соревнование." | Выбирают карточку, подписывают фамилию и уровень, читают критерии выполнения. |
4 мин | Учитель напоминает алгоритм: "Сначала найдите две точки пересечения, затем определите, внутренние углы или внешние, сравните стороны секущей и только после этого применяйте свойство. Не измеряйте углы линейкой: работайте по условию и признакам." | Индивидуально выполняют карточку. На базовом уровне называют три пары; на среднем вычисляют углы при данном угле $72^\circ$; на повышенном объясняют, почему сумма односторонних углов равна $180^\circ$. |
3 мин | Учитель открывает на экране эталон: "Проверьте каждую строку по трём критериям: правильно названа пара, выбрано свойство, вычисление записано без ошибки. Зеленым отметьте верное, жёлтым — требующее исправления. Если есть ошибка, рядом запишите её причину." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки, ставят количество правильных ответов и формулируют личный вывод: "Мне нужно повторить различие между ...". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что алгоритм работает, если не торопиться с названием пары. Осталось связать новое знание с реальными объектами и убедиться, что геометрия описывает не только рисунок в тетради."
Этап 7. Межпредметная связь и включение знаний в систему (5 мин)
Цель этапа: показать практическое применение свойств параллельных прямых и секущей в архитектуре, черчении и компьютерной графике.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует фотографию дорожной разметки и схему фасада здания: "Параллельные линии встречаются в разметке дорог, оконных переплётах, чертежах и координатной графике. Если секущая линия пересекает параллельные элементы конструкции под углом $65^\circ$, как конструктор может определить остальные углы без повторного измерения?" | Рассматривают изображение, называют соответственные и накрест лежащие углы, делают вывод: "Равные углы можно перенести на другую часть чертежа, а односторонние найти вычитанием из $180^\circ$". |
3 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите один контекст — дорожная разметка или оконная рама. Составьте короткое объяснение для специалиста: какие углы можно определить, если один угол равен $65^\circ$, и какое свойство используется. Запишите два вычисления." | В парах выбирают контекст, составляют объяснение и записывают: равные углы $65^\circ$, односторонние углы $115^\circ$. Две пары представляют ответы классу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодняшние определения помогают читать реальные чертежи и проверять точность конструкций. Перед завершением зафиксируем, что каждый из вас теперь умеет делать уверенно, а что ещё требует тренировки."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и дать посильное домашнее задание с выбором уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Запишите одним предложением, чем отличаются накрест лежащие и односторонние углы. Затем решите: если один из односторонних углов равен $117^\circ$, чему равен второй? Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить все три вида углов, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если требуется повторное объяснение." | Заполняют билет: "Накрест лежащие находятся внутри и по разные стороны секущей, а односторонние — внутри и по одну сторону"; вычисляют $63^\circ$; показывают карточку самооценки. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по результату сегодняшней самопроверки. Обязательно выполните базовый уровень; повышенный и дополнительный выбирайте, если готовы объяснять рассуждение. Перед выходом проверьте, записаны ли в тетради три определения и три свойства." | Записывают выбранное задание, сверяют наличие определений и свойств, сдают билеты на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно определены все пары углов в карточке, верно применены свойства, вычисления записаны последовательно, приведено обоснование хотя бы одного ответа.
- «4» — правильно выполнено не менее 75% заданий, допущена одна неточность в названии пары или вычислении, общий ход рассуждения сохранён.
- «3» — правильно выполнено не менее половины заданий, распознаны хотя бы две пары углов, но требуется помощь в выборе свойства или оформлении обоснования.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о трёх видах пар углов? | Выявление осознания определений и различий между видами углов. |
Какой признак помог отличить накрест лежащие углы от односторонних? | Проверка понимания положения углов относительно секущей. |
Почему для односторонних углов мы используем сумму $180^\circ$, а не равенство? | Выявление понимания выбора свойства и предупреждение типичной ошибки. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно, а где нужна тренировка? | Субъективная оценка освоения темы и планирование дальнейшей поддержки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились читать расположение углов при пересечении параллельных прямых секущей. Запомните три опоры: накрест лежащие и соответственные углы равны, а односторонние в сумме дают $180^\circ$. Самая частая ошибка — назвать углы только по внешнему сходству, не проверить, находятся ли они внутри и по какую сторону секущей. На следующем уроке мы продолжим применять эти свойства в доказательствах и более сложных задачах. Если сегодня вы выбрали жёлтую или красную карточку, это не ошибка, а ориентир для дальнейшей работы."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на распознавание накрест лежащих, соответственных и односторонних углов по готовым чертежам; к каждому указать признак. Решить 2 задачи на нахождение неизвестного угла при данном угле $65^\circ$ или $115^\circ$. | Закрепляет определения и выбор свойства; при проверке смотреть на точность названия пары и запись вычислений. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи на вычисление углов при параллельных прямых и секущей, включая задачи, где требуется найти несколько углов по одному данному; оформить краткое обоснование каждого шага. | Развивает применение и анализ; при проверке обращать внимание на связь между видом пары и формулой $\angle_1+\angle_2=180^\circ$. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный чертёж с двумя параллельными прямыми и секущей, обозначить по одной паре каждого вида, задать один угол и вывести значения пяти остальных углов с пояснениями. | Развивает создание математической модели и доказательное рассуждение; при проверке оценивать корректность чертежа, полноту классификации и аргументацию. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие углы называются накрест лежащими?», «В каком случае углы являются соответственными?», «Какую сумму имеют односторонние углы при параллельных прямых?», «Какое свойство вы примените, если один угол равен $72^\circ$, а второй расположен с ним соответственным образом?»
