Решение задач на вычисление длин отрезков и градусных мер углов
Цели и задачи
- Цель по SMART: за 45 минут научиться применять свойства смежных и вертикальных углов, признаки равенства отрезков и соотношения между частями отрезка для решения не менее четырёх практических задач, объясняя каждый шаг и проверяя полученный результат.
- Закрепить умение находить неизвестную длину отрезка по условию задачи и составлять краткую математическую модель.
- Закрепить умение вычислять градусные меры смежных и вертикальных углов, обосновывая выбор свойства.
- Развивать навыки анализа чертежа, выделения известных и неизвестных величин, самоконтроля и взаимопроверки.
- Формировать ответственное отношение к точности геометрических построений и готовность аргументированно выбирать уровень сложности задания.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к решению геометрических задач, связанных с практическими измерениями.
- Осознают значение точности, последовательности и проверки результата в математической деятельности.
- Принимают ответственность за выбранный уровень задания и объективно оценивают собственный результат.
- Уважительно относятся к мнению одноклассников при обсуждении разных способов решения.
Метапредметные
- Анализируют условие и чертёж, выделяют данные, неизвестные величины и связи между ними.
- Планируют последовательность решения, контролируют промежуточные действия и корректируют ошибки.
- Формулируют рассуждение полными предложениями, используют математические термины и знаки.
- Сопоставляют решение с условием, оценивают правдоподобие ответа и объясняют выбор свойства.
Предметные
- Знать определения и свойства смежных и вертикальных углов, а также основные отношения между частями отрезка.
- Уметь находить неизвестный угол по градусной мере смежного или вертикального угла.
- Уметь вычислять длину части отрезка или всего отрезка по данным условия задачи.
- Уметь оформлять решение с краткой записью, формулой, вычислениями и ответом.
- Владеть навыком проверки результата по чертежу и геометрическому смыслу величин.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу на практикуме и выбирают посильный уровень сложности.
- Осознают необходимость аккуратного чертежа и точной записи как условия достоверного результата.
- Проявляют настойчивость при поиске ошибки и готовность принимать помощь одноклассника.
Регулятивные УУД
- Формулируют план решения: прочитать условие, изучить чертёж, выбрать свойство, выполнить вычисления, проверить ответ.
- Распределяют время между заданиями и используют критерии для самооценки.
- Сравнивают решение с эталоном, находят причину ошибки и исправляют её.
- Оценивают достижение цели урока по числу правильно решённых задач и качеству обоснования.
Познавательные УУД
- Моделируют условие задачи с помощью чертежа, обозначений и краткой записи.
- Устанавливают логические связи между величинами и выбирают подходящее геометрическое свойство.
- Сравнивают способы решения задач на отрезки и углы, выделяют общий алгоритм.
- Извлекают информацию из текста, рисунка, таблицы и математической записи.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах, распределяя роли решающего и проверяющего.
- Задают уточняющие вопросы о данных задачи и объясняют ход рассуждения.
- Аргументированно защищают выбранный способ решения.
- Корректно формулируют замечания по работе партнёра и предлагают способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске с памяткой: «Смежные углы в сумме дают $180^30$; вертикальные углы равны; длина всего отрезка равна сумме длин его частей».
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учеников класса.
- Подготовить четыре увеличенных чертежа для работы у доски: два на углы и два на отрезки.
- Распечатать лист самооценки с критериями: верно определил свойство, выполнил вычисления, оформил ответ, проверил результат — по одному на ученика.
- Подготовить карточки с буквами «Угол» и «Отрезок» для распределения пар или станций.
- Подготовить эталоны решений для самостоятельной проверки и закрыть их до нужного момента.
- Подготовить линейки, транспортиры, карандаши и ластики; проверить наличие инструментов у учащихся.
- Организовать таймер на экране: 4 минуты для каждого короткого задания и 7 минут для самостоятельной работы.
- На доске оставить место для алгоритма решения и таблицы типичных ошибок.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и настрой на практикум (3 мин)
Цель этапа: проверить готовность класса, сообщить формат практикума и создать ситуацию выбора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не будем просто повторять свойства углов и отрезков — мы проверим, умеем ли применять их в конкретной задаче. На столе должны быть тетрадь, ручка, линейка, транспортир и карандаш. Быстро проверьте готовность и положите инструменты перед собой." | Проверяют наличие принадлежностей, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель объявляет приём "Выбор уровня": "Сегодня у вас будет обязательная часть и возможность выбрать повышенный или дополнительный уровень. Важно не угадать ответ, а показать рассуждение. Ошибка — это сигнал, где нужно остановиться и проверить шаг." | Записывают тему урока, выбирают рабочее место в паре и готовятся к практической работе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Инструменты готовы, формат работы понятен. Теперь быстро восстановим свойства, без которых практические задания решить нельзя."
Этап 2. Актуализация знаний и инструктаж по алгоритму (5 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства смежных и вертикальных углов, а также правило сложения частей отрезка.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске два пересекающихся луча и спрашивает: "Посмотрите на рисунок. Какие углы называются смежными? Какое равенство мы используем? А какие углы называются вертикальными?" После ответов фиксирует на доске: $\angle 1+\angle 2=180°$ и $\angle 1=\angle 3$. | Формулируют определения и отвечают: "Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями друг друга"; "Вертикальные углы равны". Записывают свойства. |
2 мин | Учитель показывает отрезок $AB$ с точкой $C$ внутри: "Если точка C лежит между A и B, как выразить длину всего отрезка? Теперь обратите внимание на запись $AB=AC+CB$. Как найти неизвестную часть?" | Отвечают: "$AB=AC+CB$"; объясняют, что неизвестную часть находят вычитанием известной части из всего отрезка. |
1 мин | Учитель проводит мини-проверку "Светофор": "Покажите зелёную карточку, если можете объяснить оба свойства, жёлтую — если нужна подсказка, красную — если пока не готовы." Кратко уточняет затруднения. | Показывают карточку, формулируют индивидуальное затруднение и записывают рядом с темой знак вопроса, если требуется помощь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили четыре опоры: смежные углы дополняют друг друга до $180°$, вертикальные равны, а части отрезка складываются в целый отрезок. Теперь применим эти правила к чертежам, где нужно не только посчитать, но и объяснить выбор свойства."
Этап 3. Инструктаж по решению задач и разбор образца (5 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: сформировать единый алгоритм решения и показать образец оформления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает алгоритм: "Первый шаг — прочитайте условие и назовите, что известно. Второй — найдите на чертеже связь между величинами. Третий — выберите свойство и запишите равенство. Четвёртый — выполните вычисление. Пятый — проверьте результат по смыслу. Не начинайте с операции, пока не назвали основание." | Переписывают алгоритм в тетрадь, подчёркивают слова «свойство» и «проверка». |
2 мин | Учитель разбирает задачу: "Один из смежных углов равен $68°$. Найдите второй угол. Что известно? Какое свойство применяем?" Учитель показывает оформление: $x+68°=180°$, $x=112°$. | Отвечают: "Известна мера одного из смежных углов — $68°$"; "Сумма смежных углов равна $180°$". Записывают краткое решение и ответ: "$112°$". |
Эталон решения
1. Обозначить неизвестный угол через $x$. 2. Использовать свойство смежных углов: $x+68°=180°$. 3. Вычислить: $x=180°-68°=112°$. 4. Проверить: $68°+112°=180°$, следовательно, ответ верен.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Обратите внимание: правильный ответ начинается не с вычисления, а с определения свойства. Сейчас вы попробуете применить этот алгоритм сначала вместе с партнёром, а затем самостоятельно."
Этап 4. Практикум в парах: задачи на углы и отрезки (10 мин)
Цель этапа: отработать применение свойств в стандартных задачах с взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточку А: "Выполните две задачи. Первая: один из смежных углов равен $47°$, найдите второй. Вторая: вертикальные углы равны, один из них имеет меру $126°$, найдите второй. Работайте по алгоритму и обязательно подпишите свойство." | В парах решают задачи, записывают: $180°-47°=133°$; для вертикальных углов — $126°$. Один ученик выполняет вычисления, второй проверяет основание решения. |
4 мин | Учитель раздаёт карточку Б: "На отрезке $AB$ точка $C$ лежит между точками A и B. Известно, что $AC=7$ см, $CB=5$ см. Найдите $AB$. В следующей задаче $AB=18$ см, $AC=11$ см. Найдите $CB$. Покажите, какое равенство отрезков используете." | Составляют равенства $AB=AC+CB$; получают $AB=12$ см и $CB=7$ см. Проверяют, что часть отрезка меньше целого. |
2 мин | Учитель организует приём "Две звезды и пожелание": "Обменяйтесь тетрадями. Отметьте две сильные стороны решения и одно пожелание: например, добавить свойство, подписать единицы или выполнить проверку." | Обмениваются тетрадями, записывают две положительные отметки и одно конкретное пожелание, возвращают работу автору. |
Эталон решения
Задача на смежные углы: $x=180°-47°=133°$. Проверка: $47°+133°=180°$. Задача на вертикальные углы: $x=126°$, так как вертикальные углы равны. Для отрезков: $AB=7+5=12$ см; $CB=18-11=7$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что одна и та же схема работает для разных рисунков: сначала связь, затем свойство, вычисление и проверка. Теперь перейдём к задачам, где потребуется самостоятельно определить, какая связь скрыта в условии."
Этап 5. Практикум с выбором уровня сложности (10 мин)
Цель этапа: применить знания в задачах с усложнённым условием и предоставить учащимся право выбора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор: "Выберите карточку самостоятельно. Базовая содержит задачи на прямое применение свойства, повышающая — задачу с несколькими действиями, дополнительная — задачу на составление уравнения. Можно начать с базовой и перейти выше, если останется время." | Выбирают карточку, записывают в тетради её уровень и планируют время выполнения. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: "Смежный угол на $28°$ больше другого. Найдите оба угла"; "Две части отрезка равны $9$ см и $14$ см. Найдите длину целого отрезка". Повышающий уровень: "Один из вертикальных углов на $36°$ меньше смежного с ним угла. Найдите меры всех четырёх углов". | Решают выбранные задачи. Для базовой задачи составляют $x+(x+28°)=180°$ и находят $76°$ и $104°$; для отрезка получают $23$ см. В повышенной задаче составляют $x+(x+36°)=180°$, получают $x=72°$ и смежный угол $108°$. |
3 мин | Учитель предлагает взаимную проверку по критериям: "Проверьте не только число в ответе. Есть ли обозначение неизвестного? Записано ли свойство? Есть ли единицы измерения и проверка?" | Сверяют решение с критериями, выделяют цветом место, где указано свойство, и исправляют одну найденную неточность. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы выбрали разный уровень, но общий способ остался тем же. Сейчас проверим, насколько уверенно каждый из вас может пройти весь алгоритм без подсказки и оформить решение полностью."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение способов решения и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальный вариант: "Решите три задачи. 1) Один из смежных углов равен $119°$. Найдите второй. 2) Отрезок $MN$ разделён точкой K на части $MK=8$ см и $KN=13$ см. Найдите $MN$. 3) Один угол в четыре раза больше смежного с ним угла. Найдите оба угла. Записывайте решение с обоснованием." | Индивидуально решают задачи: $61°$, $21$ см; в третьей задаче составляют $x+4x=180°$, получают $x=36°$ и $144°$. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске: "Проверьте каждое задание по трём позициям: свойство, вычисление, ответ. Ошибку не стирайте сразу — подчеркните место, где изменился ход решения." | Сравнивают записи с эталоном, отмечают верные решения, находят и исправляют ошибки, подсчитывают количество выполненных заданий. |
1 мин | Учитель просит заполнить мини-лист: "Поставьте плюс напротив умения, которое уже выполняете без помощи, и вопрос напротив того, что требует повторения." | Заполняют лист самооценки и формулируют личное затруднение одним предложением. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала не только количество правильных ответов, но и качество рассуждения. Осталось обсудить типичные ошибки и зафиксировать, что нужно переносить в новые задачи."
Этап 7. Анализ ошибок, рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: обобщить способы решения, назвать типичные ошибки и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель показывает таблицу типичных ошибок: "Первая ошибка — перепутать вертикальные и смежные углы. Вторая — сложить части отрезка, когда нужно найти одну часть. Третья — получить ответ без единиц или без проверки. Какую ошибку вы сегодня предупреждали лично?" | Называют собственную ошибку или отвечают: "Я проверял, что смежные углы в сумме дают $180°$"; "Я сравнивал часть и целый отрезок". |
1 мин | Учитель проводит приём "Билет на выход": "Запишите два предложения: какое свойство вы применяли увереннее всего и какой шаг алгоритма будете контролировать особенно внимательно." | Записывают билет на выход и сдают его при выходе. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте один повышающий или дополнительный. Перед уходом ответьте: почему нельзя определить смежный угол, просто скопировав меру данного угла?" | Отвечают: "Потому что смежные углы в общем случае не равны, а дополняют друг друга до $180°$". Записывают домашнее задание. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три задания самостоятельной работы или две задачи выбранного повышенного уровня, корректно указаны свойства, выполнены вычисления, записаны единицы измерения и проведена проверка.
- «4» — верно решены не менее двух заданий, ход решения в основном обоснован, допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не повлиявшая на выбранный способ.
- «3» — верно решено одно задание и частично выполнено второе, ученик понимает нужное свойство, но допускает ошибки в составлении равенства или вычислениях.
- Ниже «3» — не выбрано соответствующее условию свойство или отсутствует связное решение; работа требует повторного разбора с учителем.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство — смежных углов, вертикальных углов или отрезков — вы применяете увереннее всего? | Выявление степени осознания изученных связей. |
На каком шаге алгоритма возникло затруднение: анализ чертежа, выбор свойства, вычисление или проверка? | Выявление точек затруднения в процессе решения. |
Как вы проверяли, что полученный ответ имеет геометрический смысл? | Проверка сформированности навыка самоконтроля. |
Какой уровень задания вы готовы выбрать на следующем уроке и почему? | Развитие адекватной самооценки и учебной автономии. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы тренировались не просто выполнять вычисления, а связывать каждое действие с геометрическим свойством. Самая частая ошибка — начинать считать, не разобравшись, какие углы или части отрезка связаны между собой. Если вы нашли ошибку, это не неудача, а возможность точнее выстроить алгоритм. На следующем уроке мы продолжим решать задачи по чертежам и будем уделять больше внимания составлению краткого условия и доказательному объяснению."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на нахождение смежного или вертикального угла и две на вычисление длины целого отрезка или его части. В каждом решении указать свойство и выполнить проверку. | Закрепляет прямое применение свойств; при проверке обратить внимание на выбор свойства, вычисления и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с составлением уравнения: одна на два смежных угла, отличающихся на заданное число градусов, и две на части отрезка, заданные через неизвестную величину. | Развивает умение переводить текстовое условие в математическую модель; проверить обозначение неизвестного и соответствие ответа условию. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на вычисление градусных мер углов или длин отрезков, выполнить к ней чертёж и записать подробное решение с проверкой. | Формирует умение создавать математическую модель и объяснять решение; при проверке оценить корректность условия, чертежа и единственность ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти смежный угол, если известен один из них? Почему вертикальные углы равны? Как выразить длину целого отрезка через его части? Какой обязательный элемент должен быть в записи решения кроме вычислений?»
