Решение задач по теме «Первый признак равенства треугольников»
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать ситуации применения первого признака равенства треугольников и решать не менее трёх практических задач с обоснованием равенства треугольников и соответствующих элементов.
- Закрепить формулировку первого признака равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними.
- Научиться выделять на чертеже две стороны и угол между ними, составлять краткую запись условия и записывать доказательство решения.
- Развивать умение выбирать способ решения, аргументировать его в паре и проверять правильность рассуждения по критериям.
- Воспитывать ответственность за собственный результат, уважение к мнению партнёра и готовность корректно исправлять математические ошибки.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют устойчивый интерес к решению геометрических задач через игровой практический формат.
- Осознают ценность точного чертежа, последовательного рассуждения и доказательства для учебной и будущей профессиональной деятельности.
- Принимают право партнёра на иной способ рассуждения и дают обратную связь без снисходительных оценок.
- Оценивают собственный прогресс и определяют, какой этап решения требует дополнительной тренировки.
Метапредметные
- Извлекают из условия задачи данные о сторонах и углах, переводят текстовую информацию в математическую запись и чертёж.
- Сравнивают известные элементы двух треугольников, устанавливают соответствие и делают вывод о возможности применения первого признака.
- Планируют решение, контролируют последовательность доказательства и корректируют ошибочный шаг.
- Работают в паре: распределяют роли, задают уточняющие вопросы, аргументируют ответ и согласуют общий вариант решения.
Предметные
- Знать формулировку первого признака равенства треугольников и понимать значение выражения «угол между двумя сторонами».
- Уметь находить на чертеже две равные стороны и равный угол между ними.
- Уметь доказывать равенство треугольников по первому признаку, используя запись соответствующих равных элементов.
- Уметь находить неизвестные стороны и углы равных треугольников.
- Уметь распознавать ошибки в доказательстве и исправлять их.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на практическую часть урока и соотносят её с результатом.
- Проявляют познавательную инициативу при выборе карточки базового или повышенного уровня.
- Формируют ответственное отношение к точности записи геометрического доказательства.
- Осознают, что ошибка является основанием для коррекции способа действия, а не причиной отказа от решения.
Регулятивные УУД
- Формулируют план решения: выделить данные, найти угол между сторонами, применить признак, сделать вывод.
- Распределяют время между этапами работы с карточкой и сверяют результат с критериями.
- Осуществляют самопроверку по эталону и взаимопроверку в паре.
- Вносят исправления в чертёж, краткую запись или доказательство после обнаружения ошибки.
Познавательные УУД
- Классифицируют данные задачи по видам: сторона, угол, равенство, искомый элемент.
- Моделируют условие задачи с помощью чертежа и обозначений.
- Устанавливают логическую связь между равенством двух сторон и угла между ними и равенством треугольников.
- Анализируют готовое доказательство, находят пропущенное условие или неверный вывод.
Коммуникативные УУД
- Распределяют в паре роли чертёжника, докладчика и проверяющего, меняя их при выполнении следующего задания.
- Формулируют вопросы: «Какие две стороны сравниваются?», «Какой угол является углом между ними?».
- Объясняют решение, используя математические термины и полные причинно-следственные высказывания.
- Согласуют общий ответ и корректно предлагают исправление при расхождении решений.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или презентацию с формулировкой первого признака, схемой «две стороны и угол между ними» и алгоритмом решения задачи.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика и дополнительные карточки для выбора, всего по числу учащихся плюс 5 запасных.
- Подготовить игровые жетоны или стикеры трёх цветов для команд «Чертёжники», «Логики» и «Эксперты».
- Разложить на каждую парту лист взаимопроверки с критериями: чертёж, выделение равных элементов, ссылка на признак, вывод.
- Подготовить карточки с ошибочными доказательствами для этапа «Найди ошибку» — по одной на пару.
- Вывести на доску памятку: 1) выпиши данные; 2) найди угол между сторонами; 3) сравни два треугольника; 4) назови признак; 5) сделай вывод.
- Подготовить линейки, карандаши и тетради; проверить наличие учебника или электронного текста темы у каждого ученика.
- Организовать таймер на 3–5 минут для игровых раундов и включить его на экране.
- Заранее записать на доске обозначения для тренировочной задачи: $AB=CD$, $BC=DA$, $\angle ABC=\angle CDA$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и игровая мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать рабочий настрой и включить учащихся в практическую деятельность через игровую ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не будем долго слушать теорию: вы станете экспертами, которые проверяют, можно ли доказать равенство треугольников. На столах лежат линейки и карточки, поэтому сразу проверьте готовность к работе." | Проверяют наличие тетради, учебника, линейки и ручки; записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает три игровых жетона и говорит: "В течение урока вы будете получать баллы за точный чертёж, логичное доказательство и внимательную проверку решения партнёра. Выберите в паре роли: один начинает как чертёжник, другой — как эксперт; в следующем раунде роли поменяются." | Распределяют роли в паре, выбирают название команды и формулируют личную цель: «научиться доказывать», «не путать угол между сторонами», «находить ошибки». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня победит не тот, кто быстрее перепишет решение, а тот, кто сможет объяснить каждый шаг. Начнём с проверки знаний, которые понадобятся для работы."
Этап 2. Актуализация знаний. Разминка «Геометрический светофор» (5 мин)
Цель этапа: восстановить формулировку признака равенства треугольников и умение распознавать соответствующие элементы.
Время | Действие учителя | Действие учеников | Колонка 4 |
|---|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске три утверждения и говорит: "Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, красную — если неверно. Первое: равные треугольники имеют равные соответствующие стороны и углы. Второе: для первого признака достаточно знать любые две стороны и любой угол. Третье: угол между двумя сторонами имеет вершину в общей для этих сторон точке. Объясните ответ на второе и третье утверждения." | Поднимают карточки; отвечают: «Первое утверждение верно», «Второе неверно: нужен угол именно между данными сторонами», «Третье верно: вершина угла должна быть общей точкой сторон». | |
3 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд самостоятельно вспомните формулировку первого признака. Затем обсудите её в паре и сформулируйте одним предложением. После этого две пары озвучат варианты, а класс проверит, все ли обязательные элементы названы." | Записывают или проговаривают формулировку; обсуждают в паре; предлагают: «Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны». | |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что важны не просто две стороны и угол, а именно угол между этими сторонами. Теперь проверим, как по условию задачи быстро увидеть эту конструкцию."
Этап 3. Постановка практической задачи и алгоритма (4 мин)
Цель этапа: сформировать единый алгоритм решения задач по первому признаку равенства треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует на доске задачу: "Даны треугольники $ABC$ и $CDA$. Известно, что $AB=CD$, $BC=DA$, а углы $ABC$ и $CDA$ равны. Докажите, что треугольники $ABC$ и $CDA$ равны. Внимательно посмотрите на чертёж и ответьте: какие две стороны и какой угол нужно сопоставить?" | Находят пары элементов: $AB$ и $CD$, $BC$ и $DA$, $\angle ABC$ и $\angle CDA$; уточняют, что каждый названный угол расположен между соответствующими сторонами. |
2 мин | Учитель фиксирует памятку: "Первый шаг — выписать равные элементы. Второй — проверить, что угол находится между названными сторонами. Третий — записать ссылку на первый признак. Четвёртый — сделать вывод о равенстве треугольников и соответствующих элементов. Этой памяткой пользуемся во всех раундах." | Переписывают алгоритм в тетрадь; задают уточняющие вопросы, если неясно, какие вершины являются соответствующими. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Алгоритм решения: 1) выделить данные; 2) установить соответствие сторон и угла; 3) проверить, что угол между сторонами; 4) применить первый признак; 5) записать вывод».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм у нас есть. Теперь вы примените его сначала вместе со мной, а затем самостоятельно в игровом практикуме."
Этап 4. Практикум в парах «Собери доказательство» (8 мин)
Цель этапа: отработать распознавание равных элементов и построение краткого доказательства в паре.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с заданием: "На рисунке изображены треугольники $MNP$ и $QRS$. Дано: $MN=QR$, $NP=RS$, $\angle MNP=\angle QRS$. Расставьте карточки-фрагменты в правильном порядке: равные стороны, равные углы, название признака, итоговый вывод. Обсудите, почему выбранный угол является углом между сторонами." | Читают условие, находят соответствующие элементы, раскладывают фрагменты доказательства, объясняют партнёру положение угла. |
3 мин | Учитель предлагает приём «Собери доказательство»: "Сначала чертёжник отмечает равные элементы на рисунке, затем эксперт проверяет, не перепутан ли угол. После этого вместе составьте четыре предложения доказательства. Не ограничивайтесь фразой «треугольники равны»: назовите основание вывода." | Строят или рассматривают чертёж, отмечают $MN=QR$, $NP=RS$, $\angle MNP=\angle QRS$; составляют доказательство: «$MN=QR$, $NP=RS$, углы между ними равны, значит, $\triangle MNP=\triangle QRS$ по первому признаку». |
3 мин | Учитель приглашает одну пару к доске и спрашивает класс: "Проверьте решение по трём вопросам: все ли равные элементы названы, является ли угол углом между сторонами, есть ли ссылка на признак? За каждое подтверждение команда получает жетон." | Сверяют решение выступающей пары с памяткой; называют сильную сторону и одно возможное уточнение; получают жетон за аргументированную проверку. |
Эталон решения
$MN=QR$, $NP=RS$, $\angle MNP=\angle QRS$. Угол $\angle MNP$ заключён между сторонами $MN$ и $NP$, а угол $\angle QRS$ — между сторонами $QR$ и $RS$. Следовательно, $\triangle MNP=\triangle QRS$ по первому признаку равенства треугольников.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что доказательство строится не на догадке по внешнему виду чертежа, а на сопоставлении трёх элементов. Теперь в следующем раунде добавится неизвестная величина, которую нужно найти после доказательства равенства."
Этап 5. Игровой раунд «Детектив неизвестного» (8 мин)
Цель этапа: применить первый признак для доказательства равенства треугольников и нахождения неизвестных сторон или углов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки базового и повышенного уровня: "Выберите уровень сами. Базовая карточка: в треугольниках $ABC$ и $DEF$ известно, что $AB=DE=7$ см, $BC=EF=5$ см, $\angle ABC=\angle DEF$. Найдите сторону $AC$, если $DF=9$ см. Повышенная карточка: объясните, какие ещё элементы равны после доказательства. Работайте по алгоритму, время — три минуты." | Выбирают уровень; записывают данные, доказывают $\triangle ABC=\triangle DEF$ по первому признаку; делают вывод $AC=DF=9$ см. |
3 мин | Учитель напоминает: "Не начинайте с поиска числа. Сначала докажите равенство треугольников и установите соответствие вершин. Только затем переносите известную длину на соответствующую сторону. Проверьте, совпадает ли порядок букв в записи треугольников." | Проверяют порядок соответствующих вершин; сравнивают $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$; находят $AC=DF=9$ см. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Поставьте один плюс за корректный чертёж или краткую запись, второй — за применение признака, третий — за правильное соответствие и ответ. Если чего-то не хватает, напишите партнёру конкретный совет, а не просто слово «ошибка»." | Проверяют работу партнёра по трём критериям; пишут совет: «Укажи, что угол находится между сторонами» или «Запиши соответствие сторон после равенства треугольников». |
Эталон решения
$AB=DE$, $BC=EF$, $\angle ABC=\angle DEF$, причём углы заключены между соответствующими сторонами. Поэтому $\triangle ABC=\triangle DEF$ по первому признаку равенства треугольников. Соответствующие стороны равны, значит, $AC=DF=9$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь вы умеете не только доказать равенство треугольников, но и использовать его следствие для нахождения длины. Осталось проверить, умеете ли вы распознавать неверное доказательство и исправлять его."
Этап 6. Самостоятельная работа «Найди ошибку» (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное умение анализировать доказательство и самостоятельно решать задачу с опорой на учебник.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Откройте учебник на теме, посвящённой первому признаку равенства треугольников, и самостоятельно выберите задачу, в которой требуется доказать равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними. Можно выбрать задачу обычного или повышенного уровня. Запишите условие, выполните чертёж и решение полностью." | Находят в учебнике подходящую задачу без использования конкретного номера, переписывают только необходимые данные, выполняют чертёж и выделяют равные элементы. |
3 мин | Учитель раздаёт карточку с ошибочным рассуждением: "Прочитайте: «В треугольниках $ABC$ и $DEF$ равны стороны $AB$ и $DE$, $BC$ и $EF$, а углы $ACB$ и $DFE$ равны. Следовательно, треугольники равны по первому признаку». Найдите ошибку и исправьте вывод. Подсказка: сравните вершины углов с концами названных сторон." | Анализируют рассуждение; устанавливают, что угол $ACB$ не является углом между сторонами $AB$ и $BC$, а угол $DFE$ не является углом между $DE$ и $EF$; формулируют: «По данным нельзя применить первый признак без дополнительных сведений». |
3 мин | Учитель предлагает самопроверку по эталону: "Проверьте четыре позиции: данные переписаны без искажения, угол действительно заключён между сторонами, ссылка на первый признак записана после перечисления равенств, вывод соответствует порядку вершин. Исправьте работу зелёной ручкой." | Сверяют решение с алгоритмом, исправляют найденные ошибки, отмечают в листе самооценки: «могу сам», «нужна подсказка», «пока затрудняюсь». |
Эталон решения
В ошибочном рассуждении известны $AB=DE$ и $BC=EF$, но угол $\angle ACB$ расположен между сторонами $AC$ и $BC$, а угол $\angle DFE$ — между сторонами $DF$ и $FE$. Поэтому названные углы не являются углами между двумя данными равными сторонами. Первый признак по этим сведениям применить нельзя.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главное затруднение возникает не в самой формулировке признака, а в точном определении угла между сторонами. Зафиксируем результат и назовём следующий шаг для закрепления."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенный способ решения, оценить собственный результат и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Лестница успеха»: "Поставьте в тетради один из трёх символов. Первый: я могу найти угол между двумя сторонами. Второй: я могу доказать равенство треугольников по первому признаку. Третий: я могу найти неизвестный элемент после доказательства. Рядом запишите, какой шаг нужно потренировать." | Отмечают освоенные умения, записывают личную трудность: «путаю соответствующие вершины», «забываю ссылку на признак», «уверенно нахожу неизвестную сторону». |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Что обязательно должно быть известно для первого признака? Как проверить, что угол является углом между сторонами? Что можно найти после доказательства равенства треугольников?" | Отвечают: «Две стороны и угол между ними», «проверить общую вершину угла и стороны», «соответствующие стороны и углы». |
3 мин | Учитель объясняет домашний выбор: "Выберите уровень не по желанию получить лёгкую отметку, а по честной оценке готовности. Обязательный уровень выполняют все; повышающий и дополнительный можно выбрать для тренировки и дополнительных баллов. Не забывайте: каждый ответ должен иметь обоснование." | Записывают выбранный уровень домашнего задания, уточняют условие и критерии проверки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы работали как эксперты: строили чертежи, доказывали, проверяли и исправляли. Важно, что равенство треугольников устанавливается не по внешнему виду, а по точным данным. На следующем уроке мы продолжим применять признаки равенства при решении более сложных задач и доказательстве свойств фигур."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены задания практикума и самостоятельной работы, корректно построены или использованы чертежи, названы две стороны и угол между ними, записана ссылка на первый признак и правильно установлены соответствующие элементы.
- «4» — основное решение верно, но допущена одна неточность в оформлении чертежа, записи соответствия или формулировке вывода, не нарушающая ход рассуждения.
- «3» — распознаны не менее двух равных элементов и в целом выбран первый признак, но есть существенная ошибка в определении угла между сторонами или в установлении соответствия, требующая исправления по подсказке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что обязательно нужно проверить перед применением первого признака равенства треугольников? | Выявление понимания условия применимости признака и роли угла между сторонами. |
На каком шаге решения вы сегодня испытывали затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме: чтение условия, чертёж, соответствие или вывод. |
Как вы поняли, что ошибка в готовом доказательстве существенная? | Проверка умения анализировать математическое рассуждение, а не только получать ответ. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Формирование адекватной самооценки и осознанного выбора сложности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы закрепили первый признак равенства треугольников на практике: находили две стороны, угол между ними, доказывали равенство и использовали его для нахождения неизвестных элементов. Самая частая ошибка — назвать равными две стороны и угол, который не находится между ними, поэтому всегда проверяйте общую вершину угла. Вы показали, что умеете не только решать, но и проверять математическое доказательство. На следующем уроке мы продолжим работу с признаками равенства и перейдём к более сложным цепочкам рассуждений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на доказательство равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними; в каждой задаче выполнить чертёж, выписать равные элементы и сформулировать вывод. | Закрепляет алгоритм применения первого признака; при проверке смотреть на правильность угла между сторонами и полноту доказательства. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи: 2 задачи на доказательство равенства треугольников и 2 задачи на нахождение неизвестной стороны или угла после установления равенства. | Развивает умение устанавливать соответствие вершин и применять следствия равенства треугольников; проверять порядок букв и единицы измерения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу с чертежом, в которой равенство двух треугольников доказывается по первому признаку, а затем решить её и подготовить одно ошибочное доказательство для взаимной проверки на следующем уроке. | Формирует навык создания математической задачи, анализа условий применимости признака и критической проверки рассуждения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие три элемента позволяют применить первый признак? Почему важно, чтобы угол был заключён между сторонами? Какой вывод можно сделать о соответствующих сторонах и углах равных треугольников?»
