Ломаная. Виды ломаных. Длина ломаной
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся научатся распознавать и классифицировать ломаные, строить простые ломаные по условию и находить их длину как сумму длин звеньев, успешно выполняя не менее 3 из 4 заданий.
- Сформировать представление о ломаной, её вершинах, звеньях и концах, а также различать замкнутые, незамкнутые, простые и самопересекающиеся ломаные.
- Научить применять правило вычисления длины ломаной в учебных и практических задачах, записывая решение с пояснением.
- Развивать умение анализировать чертёж, сравнивать геометрические объекты, работать в паре, аргументировать ответ и проверять результат.
- Воспитывать аккуратность построений, ответственность за общий результат и интерес к применению геометрии в архитектуре, инженерии и цифровом моделировании.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к геометрическим моделям, встречающимся в маршрутах, чертежах и архитектурных конструкциях.
- Осознают значение точности, аккуратности и проверки результата при выполнении геометрических построений.
- Проявляют готовность уважать мнение партнёра и принимать обоснованные способы решения.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки ломаной и классифицируют объекты по заданным основаниям.
- Планируют последовательность построения и вычисления длины ломаной, используют самопроверку по образцу.
- Извлекают информацию из чертежа, таблицы и цифрового изображения.
- Формулируют выводы, задают уточняющие вопросы и аргументируют классификацию объекта.
Предметные
- Знать определения ломаной, звена, вершины, концов ломаной, замкнутой и незамкнутой ломаной.
- Уметь распознавать простые и самопересекающиеся ломаные на чертеже.
- Уметь строить ломаную по заданным точкам и условию.
- Уметь находить длину ломаной как сумму длин всех её звеньев.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в работу пары и оценивают собственную готовность применять новое правило.
- Связывают изучаемое понятие с реальными объектами: маршрутами, контурами деталей и линиями на карте.
- Формируют ответственное отношение к точности построений и математической записи.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют учебную цель на основе проблемной ситуации.
- Планируют построение ломаной и вычисление её длины по шагам.
- Сверяют работу с критериями, находят ошибку и корректируют построение или вычисление.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и «билета на выход».
Познавательные УУД
- Выделяют вершины и звенья на чертеже, устанавливают их количество.
- Сравнивают ломаные по замкнутости, простоте и числу звеньев.
- Моделируют длину ломаной формулой $L=a_1+a_2+...+a_n$.
- Работают с информацией на экране, преобразуя чертёж в математическую запись.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: чертёжник, измеритель, докладчик и проверяющий.
- Формулируют ответ полным предложением и подтверждают его элементами чертежа.
- Задают партнёру вопросы по критериям классификации.
- Корректно обсуждают расхождения и приходят к общему решению.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с изображениями маршрута, дорожной разметки, контура детали и четырёх ломаных разных видов.
- Вывести на доску памятку: «Ломаная состоит из звеньев; соседние звенья имеют общую вершину; длина ломаной равна сумме длин звеньев».
- Распечатать карточки с изображениями ломаных трёх уровней сложности — по одной на пару, всего по числу пар класса.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить линейки, карандаши, ластики и цветные маркеры — по одному набору на пару.
- Подготовить интерактивное задание с перетаскиванием подписей «звено», «вершина», «конец» к изображению ломаной.
- Подготовить карточки для физкультминутки с командами «звено», «вершина», «замкнутая», «незамкнутая».
- Подготовить практическую задачу о длине маршрута робота и схему маршрута на экране.
- Организовать рассадку по парам и заранее открыть на компьютере презентацию и интерактивное задание.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность через связь темы с реальными маршрутами и цифровыми схемами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, линейки, карандаша и ручки. Сегодня нам понадобится точность, потому что геометрия начинается с внимательного чертежа. Работать вы будете в парах, но каждый должен понимать и уметь объяснить решение." | Проверяют принадлежности, готовят тетради и инструменты, садятся по парам. |
2 мин | Учитель показывает на экране схему маршрута робота по точкам и говорит: "Представьте, что робот движется из точки A в точку D не по прямой, а через промежуточные точки B и C. Из каких частей состоит его путь? Как инженеру записать и вычислить длину такого маршрута? Сегодня мы найдём математическую модель этого пути." | Рассматривают схему, предполагают: "Путь состоит из отрезков", "Нужно сложить длины отдельных участков". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что ломаные встречаются в маршрутах и технических схемах. Сейчас проверим, какие элементы такого объекта вы уже умеете распознавать."
Этап 2. Актуализация знаний и работа в парах (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия точки, отрезка, длины отрезка и навыки измерения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с точками A, B, C, D и отрезками AB и BC: "Подумайте каждый самостоятельно, чем отрезок отличается от прямой и как измеряется его длина. Через 30 секунд обсудите ответ с партнёром и выберите точную формулировку." | Сначала записывают ответ индивидуально, затем обсуждают его в паре и формулируют: "Отрезок имеет два конца, а его длину измеряют линейкой". |
3 мин | Учитель просит пары выполнить мини-задание: "Измерьте отрезки AB и BC с точностью до миллиметра. Запишите результаты. Какая операция потребуется, если путь состоит из двух таких участков? Покажите вычисление на карточке." Учитель быстро проверяет записи. | Измеряют отрезки, записывают, например, $AB=4$ см и $BC=3$ см, вычисляют $4+3=7$ см и объясняют: "Чтобы найти общий путь, складываем длины участков". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили отрезок, его концы и измерение длины. Но если несколько отрезков соединены последовательно, у такой фигуры появляются собственные элементы и названия. Найдём их."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при описании соединённых отрезков и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает три изображения: последовательные отрезки без пересечений, фигуру с совпавшими концами и фигуру с пересечением: "Посмотрите на изображения. Можно ли все их назвать одной фигурой? Что в них общего? Чем они различаются? Используйте не бытовые, а геометрические формулировки." | Сравнивают изображения, называют общее: "Отрезки соединены концами"; различия: "У одной фигуры совпадают концы", "У другой линии пересекаются". |
2 мин | Учитель фиксирует затруднения и спрашивает: "Какие слова нам нужны, чтобы точно описать такую фигуру? Что необходимо научиться находить и вычислять? Сформулируйте цель урока в виде результата: к концу занятия я смогу..." | Предлагают цель: "Я смогу распознавать виды ломаных, называть вершины и звенья, строить ломаную и находить её длину". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: нам нужно открыть строение ломаной, научиться различать её виды и вывести правило длины. Переходим к исследованию чертежей."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (9 мин)
Цель этапа: сформировать определения ломаной, её элементов и основных видов через исследование чертежа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран ломаную ABCD и последовательно подсвечивает её части: "Рассмотрите чертёж. Точки A, B, C, D соединены отрезками AB, BC и CD. Каждый из этих отрезков называется звеном ломаной, а точки B и C — её вершинами. Точки A и D — концы ломаной. Повторите, сколько звеньев, вершин и концов вы видите." | Называют элементы: "Три звена AB, BC, CD; две внутренние вершины B и C; два конца A и D". Подписывают элементы на распечатанном чертеже. |
3 мин | Учитель запускает интерактивное задание: "Перетащите подписи к нужным элементам. Затем сравните два чертежа: у первого концы не соединены, у второго совпадают. Как их назвать?" Учитель уточняет: "Если звенья, кроме соседних, не имеют общих точек, такая ломаная называется простой." | Выполняют задание на экране по очереди от пар, формулируют: "Первая ломаная незамкнутая, вторая замкнутая"; отмечают простую ломаную. |
3 мин | Учитель показывает ломаную с пересечением и говорит: "На этом чертеже одно звено пересекает другое не в общей вершине. Такая ломаная не является простой. Сравните её с предыдущей и объясните признак." Затем формулирует правило вместе с классом. | Рассматривают изображение, находят место пересечения, объясняют: "Звенья имеют дополнительную общую точку, поэтому ломаная самопересекающаяся, то есть непростая". Записывают определения. |
Запись в тетрадях
Ломаная — это фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков. Отрезки называются звеньями, точки их соединения — вершинами. Ломаная бывает замкнутой, если её концы совпадают, и незамкнутой, если концы различны. Простая ломаная не имеет самопересечений.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь мы умеем описывать строение и виды ломаных. Осталось установить, как измерить весь путь, если известны длины его отдельных звеньев."
Этап 5. Физкультминутка и межпредметная связь (3 мин)
Цель этапа: снять напряжение, закрепить классификацию ломаных и показать связь геометрии с информатикой и инженерией.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партой. Если я называю звено, вытяните руки вперёд; если вершину — согните руки в локтях; если ломаная замкнутая — соедините ладони в кольцо; если незамкнутая — разведите руки." | Выполняют движения по командам, проговаривают названия элементов. |
2 мин | Учитель связывает задание с информатикой: "В компьютерной графике сложные контуры создаются последовательностью отрезков, а в робототехнике маршрут задаётся точками поворота. Почему программе важно хранить координаты вершин и длины звеньев?" | Отвечают: "По координатам программа строит путь", "По длинам можно рассчитать расстояние и время движения". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что вершины задают направление маршрута, а звенья определяют его отдельные участки. Вернёмся к вопросу о полной длине пути."
Этап 6. Первичное закрепление: длина ломаной (7 мин)
Цель этапа: вывести и применить правило нахождения длины ломаной в совместной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает ломаную ABCD с длинами $AB=3$ см, $BC=4$ см, $CD=5$ см: "Представьте, что это маршрут туриста. Как найти длину всего маршрута? Запишите сначала словами, затем формулой. Почему нельзя взять только самое длинное звено?" | Обсуждают в парах, записывают: "Длина равна сумме длин всех звеньев"; составляют $L=AB+BC+CD=3+4+5=12$ см. |
2 мин | Учитель оформляет эталон на доске: "Проверяем порядок действий: называем звенья, подставляем известные длины, складываем и указываем единицу измерения. Такой алгоритм подходит для любой ломаной." | Сверяют записи, подчёркивают ответ и дополняют алгоритм. |
2 мин | Учитель даёт задание: "Постройте незамкнутую ломаную из четырёх звеньев длиной 2 см, 3 см, 2 см и 4 см. Найдите её длину. Один ученик строит, второй измеряет и проверяет запись, затем поменяйтесь ролями." | Строят ломаную по условию, записывают $L=2+3+2+4=11$ см, взаимно проверяют построение и вычисление. |
Эталон решения
1. В ломаной четыре звена. 2. Записываем их длины: $a_1=2$ см, $a_2=3$ см, $a_3=2$ см, $a_4=4$ см. 3. Находим длину: $L=a_1+a_2+a_3+a_4=2+3+2+4=11$ см. 4. Ответ: длина ломаной равна $11$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели правило и применили его к построенной ломаной. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли распознавать вид ломаной и находить её длину."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение понятий, классификации и алгоритма вычисления длины.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень сами. На базовом уровне подпишите элементы и определите вид двух ломаных. На среднем дополнительно найдите длину ломаной с пятью звеньями. На повышенном объясните, почему фигура с пересечением не является простой. Работайте индивидуально, время — пять минут." | Выбирают карточку, подписывают звенья, вершины и концы, классифицируют ломаные, вычисляют длину или записывают аргумент. |
3 мин | Учитель показывает эталон на экране: "Проверьте работу по трём критериям: все элементы названы, вид определён с признаком, сумма звеньев записана с единицей длины. Ошибку не стирайте полностью — исправьте рядом и подпишите причину." | Сверяют ответы, отмечают ошибки, исправляют вычисления или классификацию, ставят условный знак «+», «±» или «−». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие действия уже выполняются уверенно, а где нужна дополнительная тренировка. Сейчас применим знания в практической ситуации с маршрутом."
Этап 8. Включение знаний в систему и практическая задача (3 мин)
Цель этапа: применить правило длины ломаной в жизненном и межпредметном контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает схему маршрута робота: "Робот движется по трём участкам: 12 м на север, затем 8 м на восток, затем 5 м на север. Найдите длину пройденного маршрута и объясните, почему маршрут является ломаной. Дополнительно обсудите: какие данные понадобились бы роботу, чтобы построить этот путь?" | Записывают $L=12+8+5=25$ м, отвечают: "Маршрут является незамкнутой ломаной из трёх звеньев; роботу нужны координаты вершин или направления и длины участков". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы использовали геометрическое правило для описания реального маршрута. Осталось оценить, что именно стало понятным и какой вопрос требует повторения."
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: организовать осмысление результата, самооценку и понятную фиксацию домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт «билет на выход»: "Закончите три фразы: «Ломаная — это...», «Чтобы найти её длину, нужно...», «Сегодня мне было трудно...». Поставьте в листе самооценки один цвет: зелёный — могу объяснить и решить, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь." | Заполняют билет на выход, формулируют определения и правило, выбирают цвет самооценки, сдают лист при выходе. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите один из трёх уровней. В работе обязательно подпишите элементы ломаных и укажите единицы измерения. Перед уходом ответьте соседу на контрольный вопрос: чем замкнутая ломаная отличается от незамкнутой?" | Записывают выбранный уровень задания, отвечают партнёру: "У замкнутой ломаной концы совпадают, у незамкнутой — различны". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно определены элементы и виды всех ломаных, построение выполнено аккуратно, длина найдена без ошибок, сумма звеньев записана с единицей измерения, объяснение содержит признак классификации.
- «4» — правильно выполнены основные задания, но допущена одна неточность в обозначениях, измерении или объяснении; вычисление длины в целом верно.
- «3» — распознаны основные элементы хотя бы одной ломаной и выполнено вычисление длины с помощью учителя или по эталону, но допущены две-три ошибки в классификации, построении или записи единиц.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое ломаная и из каких элементов она состоит? | Проверка осознания определения и терминов «звено», «вершина», «конец». |
Как отличить замкнутую ломаную от незамкнутой? | Выявление понимания классификационного признака. |
Как найти длину ломаной? Запишите правило словами. | Проверка освоения алгоритма и математической формулировки. |
Какое задание оказалось самым сложным и какую помощь вы выбрали бы? | Выявление точек затруднения и развитие навыка самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть в последовательности отрезков геометрическую фигуру — ломаную. Мы выделяли её звенья, вершины и концы, различали замкнутые, незамкнутые и простые ломаные, а длину находили сложением длин всех звеньев. Обратите внимание на типичную ошибку: нельзя пропускать звено и нельзя забывать единицу измерения. На следующем уроке мы продолжим работать с длинами и сравним свойства ломаной и других геометрических фигур."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: распознать ломаные на чертежах, подписать их звенья, вершины и концы; определить, какие из них замкнутые и незамкнутые; найти длину двух ломаных по данным длинам звеньев. | Закрепляет основные определения и алгоритм сложения длин; при проверке смотреть на полноту обозначений и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Построить две ломаные: простую незамкнутую из четырёх звеньев и замкнутую из пяти звеньев; задать длины звеньев, вычислить длину каждой и письменно объяснить классификацию. | Развивает умение строить, классифицировать и аргументировать; при проверке смотреть на соответствие чертежа условию и правильность суммы. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу о маршруте робота, туриста или курьера, представить его ломаной из 5–6 звеньев, указать длины и направления участков, найти общую длину и добавить пояснение о координатах вершин. | Формирует применение и создание математической модели; при проверке смотреть на реалистичность условия, корректность чертежа, вычисления и объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется звеном ломаной?», «При каком условии ломаная является замкнутой?», «Как вычисляется длина ломаной из четырёх звеньев?»
