Линейная функция: зависимость величин и её график
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют определение линейной функции, определят коэффициенты $k$ и $b$ в записи $y=kx+b$, построят её график по двум точкам и объяснят влияние коэффициентов на положение прямой.
- Сформировать представление о линейной функции как математической модели зависимости двух величин и установить связь между формулой, таблицей значений и графиком.
- Научить выбирать удобные значения аргумента, вычислять значения функции и строить график линейной функции на координатной плоскости.
- Развивать умения анализировать данные, выдвигать гипотезы, проверять их с помощью цифрового графика и аргументировать выводы в паре.
- Воспитывать ответственное отношение к совместной работе, интерес к применению математических моделей в естественных науках и повседневной жизни.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию зависимостей между величинами.
- Осознают практическую значимость математической модели при описании движения, стоимости покупки и других процессов.
- Принимают право одноклассника на самостоятельное мнение и аргументированно оценивают собственный результат.
- Проявляют готовность выбирать уровень задания и отвечать за качество выполненной работы.
Метапредметные
- Устанавливают соответствие между формулой, таблицей значений и графиком функции.
- Планируют последовательность построения графика и проверяют результат по заданным критериям.
- Извлекают информацию из текста учебника, таблицы, координатной плоскости и цифровой модели.
- Формулируют гипотезу о влиянии коэффициентов $k$ и $b$, обсуждают её в паре и подтверждают примерами.
- Используют цифровой инструмент для построения и анализа графика, соблюдая инструкцию.
Предметные
- Знать определение линейной функции и общий вид $y=kx+b$, где $k$ и $b$ — заданные числа.
- Уметь находить значение линейной функции по формуле и составлять таблицу значений.
- Уметь строить график линейной функции по двум точкам на координатной плоскости.
- Уметь определять угловой коэффициент и свободный член по формуле и описывать их роль в построении графика.
- Уметь решать практические задачи на зависимость величин, заданную линейной функцией.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения функций через связь с реальными процессами и будущими профессиями.
- Осознают необходимость точности вычислений и аккуратности графического изображения.
- Оценивают собственную готовность перейти от таблицы к формуле и графику.
- Выбирают посильный, но развивающий уровень задания.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования линейной зависимости.
- Составляют алгоритм построения графика по двум точкам.
- Осуществляют самопроверку вычислений и положения точек.
- Находят ошибку в построении и корректируют решение по эталону.
- Оценивают достижение цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки линейной функции.
- Сравнивают формулу, таблицу и график как разные способы задания зависимости.
- Анализируют изменение значений функции при увеличении аргумента.
- Строят математическую модель практической ситуации.
- Используют цифровой график для проверки гипотезы.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям: вычислитель и проверяющий.
- Формулируют вопрос и уточняют способ построения графика.
- Аргументируют вывод о влиянии коэффициентов $k$ и $b$.
- Сопоставляют результаты с решением другой пары.
- Корректно принимают замечания и предлагают способ исправления ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с координатной плоскостью, таблицей зависимости стоимости поездки от расстояния и графиками нескольких линейных функций.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать лист самооценки и мини-билет на выход для каждого ученика.
- Подготовить на каждую парту линейку, карандаш, ластик и лист с координатной плоскостью.
- Вывести на доску или экран памятку: «1. Выбери два значения $x$. 2. Вычисли $y$. 3. Отметь точки. 4. Проведи прямую».
- Подготовить компьютер учителя, проектор и интерактивную доску; открыть цифровой графический инструмент для построения графиков.
- Раздать каждой паре фрагмент текста учебника с определением линейной функции и примером построения графика.
- Подготовить практический контекст: стоимость поездки складывается из фиксированной платы 80 рублей и 25 рублей за каждый километр.
- Заранее проверить, что на экране видны оси координат, единичный отрезок и подписи $x$ и $y$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование практической зависимости и создать положительную учебную мотивацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и учебника. Сегодня нам понадобится не только вычислять, но и исследовать, как одна величина меняется вместе с другой." | Проверяют готовность, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране условие: "Поездка на такси стоит 80 рублей за посадку и ещё 25 рублей за каждый километр. Как изменится стоимость поездки на 1, 2, 3 и 5 километров? Можно ли представить эту зависимость формулой и графиком?" Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Сначала записывают несколько значений индивидуально, затем обсуждают в парах и формулируют предположение: "Стоимость увеличивается на 25 рублей с каждым километром". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели зависимость двух величин в реальной ситуации. Теперь выясним, как такую зависимость записывают в математике и как изображают на координатной плоскости."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о координатной плоскости, функции и вычислении значения выражения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает координатную плоскость и спрашивает: "Как называются горизонтальная и вертикальная оси? Как записывают координаты точки? Где находится точка $A(2;3)$?" Затем просит отметить её на демонстрационной плоскости. | Отвечают: "Ось абсцисс и ось ординат; сначала записывают $x$, затем $y$". Отмечают точку $A(2;3)$ на координатной плоскости. |
2 мин | Учитель записывает $y=3x+1$ и говорит: "Вычислите значение $y$ при $x=0$ и при $x=2$. Объясните, какие действия вы выполнили." | Индивидуально вычисляют: при $x=0$, $y=1$; при $x=2$, $y=7$. Объясняют подстановку значения аргумента в формулу. |
1 мин | Учитель предлагает сравнить таблицы для формул $y=2x+1$ и $y=2x+4$: "Что в них изменяется одинаково, а что различается?" | В парах сравнивают таблицы и предполагают: "При одинаковом изменении $x$ значения $y$ увеличиваются на 2, но вторые значения выше на 3". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили координаты точки и способ вычисления значения функции. Но пока не назвали общий вид зависимости и не объяснили, почему её график получается прямой. Зафиксируем это затруднение и поставим цель."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить недостающие знания и совместно сформулировать учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает три записи: таблицу, формулу $y=25x+80$ и координатную плоскость с несколькими точками. Говорит: "Все три изображения описывают одну поездку. Как доказать, что они связаны? Что нужно уметь, чтобы перейти от формулы к графику?" | Формулируют затруднение: "Нужно уметь составлять таблицу, находить координаты точек и правильно соединять их". |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите цель урока одним предложением, затем объединитесь в пары и выберите наиболее точную формулировку." Помогает уточнить цель: "Сегодня мы научимся исследовать функцию вида..." | Записывают и обсуждают цель, предлагают формулировку: "Научиться находить значения линейной функции и строить её график по двум точкам". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: от формулы мы должны прийти к таблице и графику, а затем объяснить роль коэффициентов. Начнём с текста учебника и самостоятельно выделим признаки новой функции."
Этап 4. Открытие нового знания и межпредметная связь (10 мин)
Цель этапа: вывести определение линейной функции, алгоритм построения графика и связать их с практической моделью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам фрагмент учебника: "Прочитайте определение линейной функции и пример её задания. Используйте приём чтения с пометками: отметьте знаком «+» новое, знаком «?» непонятное. Найдите общий вид формулы." | Читают фрагмент, выделяют запись $y=kx+b$, выписывают слова «аргумент», «значение функции», «коэффициенты». |
3 мин | Учитель обсуждает текст: "Линейной функцией называется функция, заданная формулой $y=kx+b$, где $x$ — аргумент, $k$ и $b$ — заданные числа. Посмотрите на формулу стоимости поездки $y=25x+80$. Что означает число 25? Что означает 80?" | Отвечают: "25 рублей — стоимость одного километра, 80 рублей — фиксированная плата за посадку". Записывают определение и обозначения в тетрадь. |
2 мин | Учитель демонстрирует алгоритм: "Возьмём $y=2x+1$. Выберем $x=0$ и $x=2$, получим точки $(0;1)$ и $(2;5)$. Отметим их и проведём через них прямую. Почему достаточно двух точек?" | Составляют таблицу: при $x=0$, $y=1$; при $x=2$, $y=5$. Отмечают точки, отвечают: "Две различные точки однозначно задают прямую". |
2 мин | Учитель открывает цифровой графический инструмент: "Введите по очереди $y=2x+1$, $y=2x+4$ и $y=-x+1$. Следите, что меняется при изменении $b$, а что — при изменении $k$. Это пример использования математики и цифрового моделирования в инженерии и физике." | Наблюдают за графиками, формулируют вывод: "При изменении $b$ прямая сдвигается вверх или вниз, а знак и величина $k$ влияют на наклон и направление". |
Запись в тетрадях
Линейная функция имеет вид $y=kx+b$. Для построения графика достаточно найти координаты двух точек: выбрать два значения $x$, вычислить соответствующие значения $y$, отметить точки на координатной плоскости и провести через них прямую. Если $k>0$, функция возрастает; если $k<0$, функция убывает; если $k=0$, график — горизонтальная прямая.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили определение и алгоритм построения графика. Теперь проверим новый способ на общем примере, проговаривая каждый шаг, чтобы не потерять связь между формулой, таблицей и точками."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм построения графика и научиться объяснять решение вслух.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задание: "Постройте график функции $y=-2x+4$. Работайте в парах. Один ученик вычисляет значения, второй проверяет. Выберите $x=0$ и $x=2$, затем поменяйтесь ролями." | Составляют таблицу: при $x=0$, $y=4$; при $x=2$, $y=0$. Получают точки $(0;4)$ и $(2;0)$, отмечают их и проводят прямую. |
3 мин | Учитель вызывает ученика к доске и просит проговорить алгоритм: "Почему вы выбрали именно эти значения? Как проверите, что точка принадлежит графику?" Корректирует ошибку, если точка отмечена неверно. | Ученик объясняет выбор значений и подстановку. Остальные сверяют свой чертёж, проверяют точку подстановкой и исправляют неточности. |
2 мин | Учитель раздаёт мини-карточку: "Для функции $y=3x-2$ назовите коэффициенты $k$ и $b$, вычислите значение при $x=1$ и определите, возрастает или убывает функция." | Записывают: $k=3$, $b=-2$, $y=1$, функция возрастает, потому что $k>0$. |
Эталон решения
Для $y=-2x+4$: при $x=0$ получаем $y=4$, точка $A(0;4)$; при $x=2$ получаем $y=0$, точка $B(2;0)$. Отмечаем $A$ и $B$ на координатной плоскости и проводим через них прямую. Так как $k=-2<0$, функция убывает.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм сработал: две вычисленные точки позволили построить прямую, а знак коэффициента помог определить направление изменения функции. Теперь каждый проверит себя самостоятельно и выберет подходящий уровень сложности."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение определения, вычисления значений и построения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Обязательный уровень выполняют все. Затем можно выбрать повышенный или дополнительный. Сначала внимательно прочитайте критерии: правильная формула, вычисления, две точки, аккуратный график и вывод." | Выбирают карточку, записывают фамилию и планируют порядок выполнения. |
5 мин | Учитель раздаёт карточки. Базовый уровень: "Для $y=2x-3$ найдите $y$ при $x=0$ и $x=2$, постройте график и укажите направление изменения. Повышенный уровень: "Составьте формулу линейной функции, проходящей через точки $(0;4)$ и $(2;8)$, затем постройте график". Дополнительный уровень: "Опишите линейной функцией стоимость поездки с фиксированной платой 60 рублей и оплатой 30 рублей за километр; найдите стоимость поездки длиной 4 км и изобразите зависимость." | Индивидуально выполняют выбранные задания. Базовый результат: точки $(0;-3)$ и $(2;1)$, функция возрастает. Для повышенного уровня получают $k=2$, $b=4$, формулу $y=2x+4$. Для дополнительного уровня получают $y=30x+60$ и $y=180$ при $x=4$. |
2 мин | Учитель выводит эталон на экран и говорит: "Проверьте каждую строку: формулу, вычисления, координаты, направление графика. Ошибку не стирайте сразу — обведите её и рядом запишите исправление." | Сверяют решение с эталоном, отмечают совпадения и исправляют одну обнаруженную ошибку. |
2 мин | Учитель проводит самопроверку «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете построить график самостоятельно, жёлтую — если нужна проверка одного шага, красную — если пока не понимаете алгоритм. По цвету выберите дальнейшую помощь." | Показывают карточку, формулируют конкретное затруднение: "Мне трудно выбрать значения $x" или «Я путаю коэффициенты $k$ и $b$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили себя и увидели, какой шаг уже выполняете уверенно. Осталось связать линейную функцию с другими знаниями и убедиться, что формула помогает описывать реальные данные."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить способы задания линейной функции, оценить достижение цели и объяснить дальнейшую работу дома.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране три объекта: формулу $y=3x-1$, таблицу с двумя парами значений и прямую. Спрашивает: "Как доказать, что они описывают одну функцию? Какое значение отвечает за наклон? Какое задаёт пересечение с осью $Oy$?" | Соотносят объекты, отвечают: "$k=3$ отвечает за наклон и возрастание, $b=-1$ задаёт точку пересечения с осью $Oy$". |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Ответьте письменно на два вопроса: 1) Назовите алгоритм построения графика линейной функции. 2) Что произойдёт с графиком $y=2x+1$, если заменить его на $y=2x-3$?" | Записывают алгоритм и отвечают: "Прямая сохранит наклон и опустится на 4 единицы". |
2 мин | Учитель говорит: "Заполните лист самооценки: «Я могу определить $k$ и $b»; «Я могу построить график по двум точкам»; «Я могу объяснить практический смысл коэффициентов». Домашнее задание выбирается по уровню." | Отмечают сформированные умения, записывают выбранный уровень домашнего задания и задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания карточки, корректно определены $k$ и $b$, вычисления записаны без ошибок, график построен по двум точкам и сделан вывод о направлении изменения функции.
- «4» — выполнено основное задание, допущена одна вычислительная или графическая неточность, которая исправлена при самопроверке; смысл коэффициентов объяснён в целом верно.
- «3» — определён общий вид линейной функции и выполнена часть вычислений, но допущены ошибки при выборе точек, построении прямой или определении её направления; требуется помощь учителя.
- Ниже базового уровня — отсутствует связное решение или не установлена связь между формулой и графиком; работа дорабатывается по индивидуальной рекомендации.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о функции вида $y=kx+b$? | Выявление осознания определения и роли коэффициентов. |
Какой шаг построения графика выполняется вами уверенно, а какой требует тренировки? | Диагностика конкретной точки затруднения в алгоритме. |
Почему для построения графика достаточно двух точек? | Проверка понимания геометрического смысла линейной функции. |
Где в реальной жизни можно использовать линейную зависимость? | Формирование функциональной грамотности и осмысление практической ценности темы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что линейная функция задаётся формулой $y=kx+b$, таблицей и прямой на координатной плоскости. Вы научились строить график по двум точкам и увидели, что коэффициенты описывают наклон прямой и её положение. Будьте внимательны к знаку коэффициента $k$: именно он показывает, возрастает функция или убывает. Дома закрепите алгоритм, а на следующем уроке мы будем сравнивать графики линейных функций и решать задачи по их пересечениям."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания по материалу урока: для заданных формул вида $y=kx+b$ определить $k$ и $b$, вычислить значения функции для двух значений $x$ и построить график каждой функции по двум точкам. | Закрепляет определение линейной функции и базовый алгоритм построения; при проверке смотреть на подстановку, координаты точек и направление прямой. |
Средний (повышающий) | Решить 2 практические задачи на линейную зависимость: стоимость поездки с фиксированной платой и расход материала в зависимости от длины изделия; составить формулу, таблицу из трёх значений и график. | Формирует умение переводить жизненную ситуацию в математическую модель; проверять смысл коэффициентов и единицы измерения. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать две функции $y=2x+1$ и $y=2x-4$: построить их графики в тетради или цифровом инструменте, сравнить наклон и точки пересечения с осью $Oy$, сформулировать 3 вывода. | Развивает анализ и использование ИКТ; при проверке смотреть на аргументированное сравнение коэффициентов и графиков. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Каков общий вид линейной функции? Что обозначают $k$ и $b$? Сколько точек нужно для построения её графика? Как по знаку $k$ определить, возрастает функция или убывает?"
