Повторение площадей и периметров фигур. Первый признак равенства треугольников
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся повторят способы нахождения периметра и площади фигур, составленных из прямоугольников, актуализируют понятие равных треугольников и сформулируют, распознают и применят первый признак равенства треугольников при решении геометрических задач.
- Образовательная задача: закрепить умения разбивать составную фигуру на прямоугольники, вычислять её периметр и площадь, а также устанавливать равенство треугольников по соответствующим элементам.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать чертёж, выделять известные данные, строить логическую цепочку рассуждений и аргументировать геометрическое утверждение.
- Коммуникативная задача: формировать навыки сотрудничества при работе в парах, точной формулировки ответа и корректного обсуждения решения.
- Воспитательная задача: воспитывать ответственность за результат, аккуратность геометрических построений и готовность проверять собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точного чертежа и последовательного рассуждения для получения достоверного результата.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе способа разбиения составной фигуры и проверке решения.
- Понимают ценность сотрудничества и уважительного отношения к обоснованным ответам одноклассников.
- Формируют положительную мотивацию к изучению геометрии через решение практических и логических задач.
Метапредметные
- Выделяют существенные данные на чертеже и структурируют условие геометрической задачи.
- Сравнивают фигуры и треугольники по заданным элементам, устанавливают сходство и различия.
- Планируют решение, выполняют самопроверку по образцу и корректируют найденные ошибки.
- Формулируют выводы устно и письменно, используют математическую речь и обозначения.
Предметные
- Знать формулы периметра и площади прямоугольника, способы вычисления площади и периметра фигуры, составленной из прямоугольников.
- Уметь разбивать составную фигуру на прямоугольники и учитывать общие границы при нахождении её периметра.
- Знать понятие равных треугольников и соответствующих элементов.
- Формулировать первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
- Применять первый признак равенства треугольников для доказательства равенства треугольников и нахождения неизвестных элементов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознавать личную ответственность за точность вычислений и доказательства.
- Проявлять интерес к поиску нескольких способов решения геометрической задачи.
- Оценивать собственную готовность применять новый признак равенства треугольников.
- Соблюдать нормы конструктивного обсуждения решения в паре и классе.
Регулятивные УУД
- Принимать и удерживать цель урока: от повторения известных способов перейти к открытию нового признака.
- Планировать последовательность действий при вычислении площади и доказательстве равенства треугольников.
- Проверять соответствие решения условию и чертежу.
- Находить ошибку в рассуждении и вносить необходимую коррекцию.
Познавательные УУД
- Использовать формулы площади и периметра прямоугольника в новой конфигурации.
- Моделировать составную фигуру с помощью нескольких прямоугольников.
- Выделять пары соответствующих сторон и углов на чертеже.
- Строить логическое доказательство на основе определения равных треугольников и первого признака.
Коммуникативные УУД
- Работать в паре, распределяя действия при анализе чертежа.
- Задавать уточняющие вопросы о соответствии сторон и углов.
- Аргументированно представлять решение у доски.
- Сравнивать разные решения без перехода на оценку личности одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения двух составных фигур из прямоугольников с указанными длинами сторон и один чертёж пары треугольников.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе; предусмотреть базовый и повышенный варианты.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы с двумя заданиями: на вычисление площади и периметра и на применение первого признака равенства треугольников.
- Вывести на доску или экран формулы $P=2(a+b)$ и $S=ab$, а также памятку: «две стороны и угол между ними».
- Подготовить цветные маркеры или мел для выделения соответствующих сторон и углов.
- Распечатать мини-листы для рефлексии и билеты на выход — по одному на каждого ученика.
- Подготовить линейки, карандаши и циркули для выполнения аккуратных чертежей.
- Организовать на доске место для записи темы, алгоритма применения признака и критериев самопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс, обозначить связь повторяемого материала с новой темой и включить учащихся в учебную деятельность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и карандаша. Сегодня нам понадобятся вычисления, чертежи и внимательное рассуждение. Сначала мы восстановим уже известные способы работы с фигурами, а затем используем их как опору для открытия нового геометрического признака." | Готовят тетради и инструменты, записывают дату, проверяют готовность рабочего места. |
2 мин | Учитель показывает на экране составную фигуру, напоминающую план небольшой комнаты, и говорит: "Представьте, что нужно рассчитать количество напольного покрытия и длину плинтуса. Какие величины придётся найти? Почему одной формулы недостаточно? Сегодня мы увидим, что геометрия помогает решать такие практические задачи и одновременно доказывать равенство фигур." | Рассматривают чертёж, предполагают: "Нужно найти площадь и периметр", объясняют, что фигура состоит из нескольких прямоугольников. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили практический смысл сегодняшней работы. Сначала проверим, насколько уверенно умеем находить площадь и периметр составных фигур, а затем перейдём к треугольникам и выясним, какие данные позволяют доказать их равенство."
Этап 2. Повторение: площадь и периметр составных фигур (8 мин)
Цель этапа: актуализировать алгоритм разбиения составной фигуры на прямоугольники и вычисления её площади и периметра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает фигуру Г-образной формы: внешний прямоугольник имеет размеры 10 см и 8 см, из его правого нижнего угла вырезан прямоугольник 4 см на 3 см. "Подумайте самостоятельно, как можно найти площадь этой фигуры. Запишите два возможных способа: сложить площади частей или вычесть площадь выреза из площади большого прямоугольника." | Индивидуально делают схему и записывают: $S=10\cdot8-4\cdot3=68$ см$^2$ либо разбивают фигуру на два прямоугольника. |
3 мин | Учитель предлагает обсудить решение в парах: "Сравните способы. Проверьте, одинаковый ли результат получили. Теперь объясните, почему при вычислении площади общие внутренние границы не учитываются." | В парах сравнивают решения, формулируют вывод: "Внутренняя граница разделяет части, но не входит во внешний контур, поэтому для площади она не прибавляется." |
3 мин | Учитель задаёт задачу на периметр: "У фигуры внешний контур имеет стороны 10 см, 5 см, 4 см, 3 см, 6 см и 8 см. Найдите периметр. Перед вычислением обведите только внешний контур." Учитель просит одного ученика объяснить способ. | Обводят внешний контур и вычисляют $P=10+5+4+3+6+8=36$ см. Объясняют, что в периметр входят только стороны внешней границы. |
Эталон решения
Площадь: $S_{большого}=10\cdot8=80$ см$^2$; площадь выреза $S_{выреза}=4\cdot3=12$ см$^2$; $S=80-12=68$ см$^2$. Периметр находят сложением только внешних сторон: $P=10+5+4+3+6+8=36$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили важное различие: площадь можно находить через разбиение или вычитание, а периметр — только по внешней границе. Теперь проверим, как мы понимаем равенство треугольников и какие элементы необходимо сопоставлять."
Этап 3. Повторение понятия равных треугольников (5 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: восстановить определение равных треугольников и понятие соответствующих элементов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует два треугольника разного положения и спрашивает: "Можно ли считать эти треугольники равными, если один повернуть или перевернуть? Что должно совпасть при наложении?" Затем просит назвать соответствующие вершины и стороны на чертеже. | Отвечают: "Положение на плоскости не имеет значения; при наложении фигуры совпадают всеми точками". Показывают соответствующие вершины, стороны и углы. |
3 мин | Учитель проводит приём «Верно — неверно»: "Отметьте, верны ли утверждения: 1) равные треугольники имеют равные площади; 2) если у двух треугольников равны две стороны, то треугольники обязательно равны; 3) у равных треугольников соответствующие углы равны. Обоснуйте один выбранный ответ." | Отмечают: «верно», «неверно», «верно». Объясняют, что равенство двух сторон само по себе недостаточно, а у равных треугольников совпадают все соответствующие элементы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что равенство треугольников означает полное совпадение при наложении, но пока не назвали достаточный набор данных для такого вывода. Сейчас поставим вопрос: какие именно элементы нужно знать, чтобы не выполнять фактическое наложение?"
Этап 4. Постановка проблемы и открытие первого признака (12 мин)
Цель этапа: сформулировать и осмыслить первый признак равенства треугольников через анализ двух сторон и угла между ними.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, на которых отмечены $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$ и $\angle A=\angle A_1$. "Какие элементы уже совпадают? Где расположен данный угол? Достаточно ли это похоже на конструкцию, которую можно однозначно восстановить?" | Выделяют две пары сторон и углы между ними, отвечают: "Угол находится между известными сторонами"; предполагают, что треугольники могут быть однозначно определены. |
4 мин | Учитель организует «Сократовский диалог»: "Если взять один отрезок, сколько вариантов его положения возможно? Если добавить второй отрезок с общей вершиной и зафиксировать угол между ними, что произойдёт? Можно ли построить другой треугольник с теми же двумя сторонами и углом между ними, но другой формы?" Учитель выполняет на доске схематическое построение. | Рассуждают, что после задания двух сторон и угла между ними положение третьей вершины определяется однозначно. Формулируют: "Другой треугольник с такими же данными получить нельзя, кроме положения, симметричного относительно общей стороны". |
3 мин | Учитель формулирует правило и записывает его на доске: "Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Это первый признак равенства треугольников. Обратите внимание: важно, что угол именно между данными сторонами." | Записывают формулировку признака, подчёркивают слова «две стороны» и «угол между ними», связывают соответствующие элементы стрелками. |
2 мин | Учитель разбирает краткую запись: "В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $\angle A=\angle A_1$. Следовательно, $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников." | Повторяют алгоритм по цепочке, формулируют вывод: «две стороны и угол между ними — достаточные данные для равенства треугольников». |
Запись в тетрадях
Первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Схема: $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $\angle A=\angle A_1 \Rightarrow \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили, что не обязательно сравнивать все элементы треугольников. Достаточно правильно выделить две стороны и угол между ними. Теперь применим признак к конкретным чертежам и научимся записывать доказательство кратко и последовательно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: научить применять первый признак равенства треугольников по готовому чертежу и объяснять соответствие элементов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки и объясняет: "На карточке изображены треугольники $ABC$ и $DEF$. Указано, что $AB=DE$, $AC=DF$, $\angle A=\angle D$. За две минуты запишите, равны ли треугольники, и составьте доказательство из трёх шагов: назвать равные элементы, указать признак, сделать вывод." | В парах выделяют соответствующие элементы и записывают доказательство: $AB=DE$, $AC=DF$, $\angle A=\angle D$, значит, $\triangle ABC=\triangle DEF$ по первому признаку. |
3 мин | Учитель предлагает вторую ситуацию: "В треугольниках $MNP$ и $RST$ известно $MN=RS$, $NP=ST$, $\angle N=\angle S$. Проверьте, является ли угол углом между указанными сторонами. Если да, докажите равенство." Учитель просит пару представить решение. | Определяют, что $\angle N$ заключён между $MN$ и $NP$, а $\angle S$ — между $RS$ и $ST$. Записывают вывод о равенстве треугольников по первому признаку и объясняют соответствие вершин. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку по памятке: "Проверьте у соседа три пункта: две ли стороны указаны, является ли угол заключённым между ними, есть ли итоговый вывод. Поставьте знак плюс напротив выполненного пункта и одно пожелание, если чего-то не хватает." | Проверяют работу соседа по трём критериям, исправляют обозначения или дописывают обоснование. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы увидели, что главная ошибка — перепутать угол между сторонами с другим углом. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли применять признак без подсказки товарища."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение вычислительными умениями и первым признаком равенства треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы: "Выполните два задания. 1) Составная фигура состоит из прямоугольника $8$ см на $5$ см и прямоугольника $3$ см на $2$ см, приставленного к его стороне без перекрытия. По чертежу найдите площадь фигуры. 2) В треугольниках $ABC$ и $KLM$ $AB=KL$, $AC=KM$, $\angle A=\angle K$. Докажите равенство треугольников. Записывайте не только ответ, но и обоснование." | Индивидуально выполняют вычисление площади по своему чертежу и записывают доказательство равенства треугольников по первому признаку. |
2 мин | Учитель выводит эталон на доску: "Сначала сравните ответы с эталоном, затем отметьте, на каком шаге возникло затруднение. Ошибку не стирайте полностью — исправьте её и подпишите причину." | Сверяют работу с эталоном, отмечают ошибки и исправляют их. Возможный ответ по задаче 1 при отсутствии перекрытия: $S=8\cdot5+3\cdot2=46$ см$^2$. |
1 мин | Учитель проводит быструю диагностику «Светофор»: "Зелёная карточка — могу применить признак сам; жёлтая — путаю соответствие элементов; красная — нужна дополнительная отработка." | Поднимают карточку соответствующего цвета и фиксируют в тетради вопрос или затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без опоры на готовое решение. На следующем шаге обобщим, что именно мы повторили и какое новое правило добавили в систему знаний."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать результаты урока, выявить оставшиеся затруднения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт билеты на выход: "Закончите две фразы: «Сегодня я повторил…» и «Чтобы доказать равенство треугольников по первому признаку, нужно…». Дополнительно напишите один вопрос, который пока вызывает затруднение." | Письменно завершают фразы: «повторил нахождение площади и периметра», «нужно сравнить две стороны и угол между ними». Указывают вопрос при наличии. |
1 мин | Учитель обращается к классу: "Назовите главный признак ошибки в задаче на периметр составной фигуры и главный признак ошибки в доказательстве треугольников." | Формулируют: «В периметр включают внутреннюю границу»; «берут не угол между данными сторонами или неправильно сопоставляют вершины». |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии его выполнения: "Выберите уровень, который соответствует вашей сегодняшней уверенности. В каждой задаче записывайте формулу, ход решения и вывод." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы по объёму и способу оформления. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены оба задания самостоятельной работы, площадь вычислена с правильным разбиением фигуры, доказательство содержит все три равенства или соответствия, правильно назван первый признак и сделан итоговый вывод.
- «4» — верно выполнено основное содержание обоих заданий, но допущена одна неточность в записи обозначений, вычислениях или формулировке вывода, не повлиявшая на ход рассуждения.
- «3» — правильно выполнено хотя бы одно задание и частично раскрыт алгоритм применения первого признака, однако есть существенная ошибка в вычислении площади или в определении угла между сторонами.
- «2» — отсутствует обоснование равенства треугольников и не выполнено вычислительное задание либо решение не связано с условием.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о достаточном наборе элементов для равенства треугольников? | Выявление осознания формулировки первого признака. |
Как определить, что данный угол является углом между двумя сторонами? | Проверка понимания ключевого условия признака. |
Какая ошибка возможна при нахождении периметра составной фигуры? | Диагностика сохранности повторённого алгоритма. |
Какое задание оказалось самым трудным и почему? | Выявление субъективных точек затруднения и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы повторили, как находить площадь и периметр фигур, составленных из прямоугольников, и вспомнили смысл равенства треугольников. Затем открыли первый признак равенства: две стороны и угол между ними должны быть соответственно равны. Особенно внимательно проверяйте, что угол действительно заключён между указанными сторонами. На следующем уроке мы продолжим применять признаки равенства треугольников в доказательствах и задачах на построение."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи: две задачи на нахождение площади и периметра фигур, составленных из прямоугольников, и одну задачу на распознавание первого признака равенства треугольников по готовому чертежу. В каждом решении записать формулу или равенства элементов. | Закрепляет базовые вычислительные навыки и распознавание двух равных сторон и угла между ними; при проверке обратить внимание на внешний контур и точность обозначений. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи: две на площадь и периметр составных фигур с недостающими длинами, одну на доказательство равенства треугольников по первому признаку и одну на нахождение неизвестного элемента после доказанного равенства. | Формирует перенос алгоритма в изменённую ситуацию; при проверке смотреть на восстановление недостающих размеров и последовательность доказательства. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу с чертежом двух треугольников, для которых применим первый признак равенства, записать полное доказательство и придумать пример, где две равные стороны без угла между ними не обеспечивают равенство треугольников. | Развивает создание математической модели и понимание границ применения признака; при проверке оценивать корректность чертежа, условия и обоснования. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие элементы сравнивают по первому признаку равенства треугольников? Где должен находиться данный угол? Какие стороны входят в периметр составной фигуры? Чем площадь отличается от периметра при работе с внутренними границами?»
