Понятие многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют определение многоугольника, научатся распознавать его элементы и классифицировать изображённые многоугольники как выпуклые или невыпуклые, обосновывая ответ не менее чем в 4 из 5 предложенных случаев.
- Сформировать представление о многоугольнике как геометрической фигуре, состоящей из замкнутой ломаной и ограниченной ею области.
- Научить находить и называть вершины, стороны и углы многоугольника, устанавливать связь между числом вершин и числом сторон.
- Сформировать способ проверки выпуклости многоугольника через расположение отрезка, соединяющего любые две его точки.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, проверять её по рисунку и аргументировать математическое суждение; воспитывать аккуратность построений и уважение к мнению одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к геометрическим объектам, встречающимся в архитектуре, дизайне и инженерии.
- Осознают ценность точности, последовательности и доказательности при работе с чертежом.
- Принимают возможность разных гипотез и корректируют собственное мнение после проверки.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору уровня задания и ответственному отношению к результату.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки многоугольника и отделяют их от несущественных особенностей рисунка.
- Используют экранную модель, чертёж и словесное описание для представления одного геометрического объекта.
- Сотрудничают в паре, формулируют вопрос, приводят аргумент и корректно оценивают ответ партнёра.
- Планируют последовательность проверки выпуклости и осуществляют самоконтроль по предложенному алгоритму.
Предметные
- Знать определения ломаной, многоугольника, его вершины, стороны и угла.
- Уметь распознавать многоугольники и называть их по числу сторон.
- Уметь изображать треугольник, четырёхугольник и пятиугольник, обозначать вершины и стороны.
- Знать различие между выпуклым и невыпуклым многоугольником.
- Уметь обосновывать выпуклость или невыпуклость фигуры с помощью отрезка, соединяющего две точки многоугольника.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный интерес к теме через связь геометрических фигур с архитектурой и конструированием.
- Осознают необходимость проверять утверждение чертежом, а не полагаться только на внешнее впечатление.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и готовность объяснять математическую мысль.
Регулятивные УУД
- Совместно с учителем формулируют цель урока и план её достижения.
- Выбирают алгоритм проверки фигуры и соблюдают его последовательность.
- Сверяют решение с эталоном, находят ошибку в классификации и исправляют её.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и рефлексивных вопросов.
Познавательные УУД
- Сравнивают изображения, выделяют общие признаки и классифицируют фигуры.
- Моделируют многоугольники из отрезков и представляют их в виде схемы «вершины — стороны — углы».
- Применяют критерий выпуклости к новым рисункам, включая фигуры с необычной формой.
- Извлекают информацию из интерактивной модели, чертежа и краткого определения.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полные ответы с использованием геометрических терминов.
- Работают в парах по правилу «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Задают уточняющие вопросы и аргументированно возражают, не оценивая личность собеседника.
- Распределяют роли при выполнении задания и представляют общий вывод класса.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную модель с замкнутыми и незамкнутыми ломаными, выпуклыми и невыпуклыми многоугольниками, а также подвижными точками для проверки отрезков.
- Подготовить проектор, ноутбук и интерактивную доску; заранее проверить демонстрацию изображений и работу интерактивной модели без подключения к интернету.
- Распечатать карточки с изображениями 8 фигур трёх уровней сложности — по одной карточке на пару, всего 15–16 экземпляров.
- Распечатать лист самооценки и мини-задание для самостоятельной работы — по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры или карандаши: красные для вершин, синие для сторон, зелёные для отрезков, соединяющих точки фигуры.
- Вывести на доску или первый экран урока тему, проблемный вопрос «Как доказать, что многоугольник выпуклый?» и пустую схему «многоугольник → ...».
- Подготовить на отдельном экране памятку: «1. Выбери две точки фигуры. 2. Соедини их отрезком. 3. Проверь, лежит ли весь отрезок внутри фигуры».
- Разложить на парты линейки, простые карандаши и карточки для классификации; подготовить магнитные изображения фигур для доски.
- Подготовить три варианта домашнего задания: обязательный, повышающий и дополнительный, без привязки к номерам и страницам учебника.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к различию геометрических фигур.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, линейка, карандаш должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не только рассматривать фигуры, но и проверять их свойства. На экране появятся изображения, а ваша задача — не угадывать, а доказывать." | Проверяют готовность рабочего места, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель демонстрирует на экране контуры окна, дорожного знака, детали мозаики и фигуры с вогнутым углублением: "Посмотрите на изображения. Что общего у этих объектов? Какие из них можно описать с помощью отрезков? Какой вопрос возникает, если часть контура направлена внутрь?" Учитель принимает разные гипотезы и фиксирует ключевые слова: «замкнутая линия», «стороны», «углубление». | Рассматривают изображения, предлагают ответы: "У фигур есть прямые стороны", "Контур замыкается", "Одна фигура имеет выемку". Формулируют предположение: "Фигуры могут отличаться тем, направлены ли все части наружу". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одного внешнего сходства недостаточно. Сегодня нам предстоит выяснить, что именно называется многоугольником и как доказать, что он выпуклый или невыпуклый."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о точке, отрезке, ломаной и замкнутой линии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске три изображения: незамкнутую ломаную, замкнутую ломаную и линию с пересечением: "Вспомните, чем отличается ломаная от произвольной линии. Что называют звеном ломаной? Какие точки являются вершинами?" Учитель просит одного ученика показать элементы на рисунке. | Отвечают: "Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков", "Звенья — это отрезки", "Вершины — точки соединения звеньев". Показывают на рисунке звенья и вершины. |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "В течение 30 секунд определите, какие из трёх линий можно назвать замкнутой ломаной. Затем обсудите ответ с соседом и сформулируйте признак." После обсуждения учитель уточняет: "Достаточно ли, чтобы линия просто была замкнутой? Что ещё нужно проверить?" | Сначала выбирают ответ индивидуально, затем обсуждают в парах. Формулируют: "Замкнутая ломаная должна состоять из отрезков, соединённых последовательно, и её конец должен совпадать с началом". Замечают, что пересечение звеньев может нарушать обычное представление о многоугольнике. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили признаки замкнутой ломаной. Теперь проверим, как из неё получается новая геометрическая фигура и какие элементы у неё появляются."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при классификации фигур и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две замкнутые ломаные: обычный пятиугольник и пятиугольник с углублением: "Обе фигуры образованы замкнутыми ломаными. Можно ли назвать их одинаковыми с точки зрения нового свойства? Попробуйте соединить отрезком две точки внутри каждой фигуры. Что меняется?" Учитель не сообщает термин заранее. | Проводят воображаемый или экранный отрезок, сравнивают изображения. Предполагают: "В первой фигуре отрезок остаётся внутри, а во второй может выйти за границу". |
2 мин | Учитель записывает проблемный вопрос: «Как по чертежу доказать, что многоугольник выпуклый или невыпуклый?» и предлагает закончить фразу: "Сегодня я научусь..." Затем сообщает: "Наша цель — вывести признак, научиться называть элементы и применять признак к новым фигурам." | Записывают тему и цель в тетрадь. Формулируют личные задачи: "научиться отличать выпуклые фигуры", "правильно называть стороны и вершины", "объяснять ответ, а не только выбирать рисунок". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение обнаружено: по одному внешнему виду решение не всегда очевидно. Дальше мы построим точное определение и проверим его на интерактивной модели."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (10 мин)
Цель этапа: сформировать определения многоугольника, его элементов, а также выпуклого и невыпуклого многоугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует на интерактивной доске замкнутую ломаную и постепенно выделяет её элементы: "Посмотрите на экран. Замкнутая ломаная ограничивает часть плоскости. Эту часть плоскости вместе с границей называют многоугольником. Красными точками обозначим вершины, синими отрезками — стороны. Углы образованы двумя соседними сторонами. Сколько вершин, сторон и углов у показанного пятиугольника?" | Наблюдают за моделью, называют элементы: "Пять вершин, пять сторон и пять углов". Переносят схему в тетрадь, обозначают вершины буквами A, B, C, D, E. |
3 мин | Учитель изменяет положение точек модели: "Теперь выберем любые две точки многоугольника и соединим их отрезком. Для выпуклого многоугольника любой такой отрезок целиком лежит внутри многоугольника. Если найдётся хотя бы одна пара точек, для которой часть отрезка выходит наружу, многоугольник невыпуклый. Обратите внимание: достаточно одного контрпримера." | Выбирают на рисунке пары точек, мысленно или на экране соединяют их отрезками. Формулируют: "В выпуклом многоугольнике отрезок между любыми двумя его точками не выходит за границу"; "Для невыпуклого можно найти отрезок, часть которого лежит вне фигуры". |
3 мин | Учитель показывает четыре фигуры и просит провести быструю проверку: "Работаем методом прогнозирования. Для каждой фигуры сначала поднимите зелёную карточку, если считаете её выпуклой, и жёлтую — если нужна проверка. Затем выберите две точки и объясните решение. Не называйте ответ без аргумента." | Поднимают карточки, выбирают точки на фигурах, формулируют выводы: "Фигура выпуклая, потому что проверенный отрезок остаётся внутри" или "Фигура невыпуклая: отрезок между точками проходит вне области". |
Запись в тетрадях
- Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.
- Вершины многоугольника — вершины ограничивающей его ломаной; стороны — звенья этой ломаной; углы многоугольника образованы соседними сторонами.
- Выпуклый многоугольник: отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком лежит в многоугольнике.
- Невыпуклый многоугольник: существует отрезок, соединяющий две его точки, который частично проходит вне многоугольника.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не только названия, но и проверяемый признак. Теперь применим его сначала вместе, проговаривая каждый шаг алгоритма, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить определения и алгоритм классификации при работе в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с шестью фигурами: "Работаем по алгоритму. Сначала определите, является ли фигура многоугольником. Затем обозначьте вершины одной фигуры, назовите число сторон и только после этого установите выпуклость. На карточке разрешено делать цветные пометки." | В парах выделяют замкнутые ломаные, зачёркивают фигуру с незамкнутым контуром, подписывают вершины и стороны выбранного многоугольника. |
3 мин | Учитель предлагает приём «Математический комментатор»: "Один ученик в паре выполняет построение, второй вслух комментирует шаги: «Выбираю две точки; соединяю их; проверяю, лежит ли отрезок внутри». Затем поменяйтесь ролями." Учитель подходит к парам и задаёт уточняющие вопросы: "Почему одного отрезка недостаточно, если вы доказываете выпуклость?" | Один ученик проводит отрезки и делает пометки, второй объясняет алгоритм. Затем меняются ролями. Отвечают: "Для выпуклости нужно, чтобы свойство выполнялось для любых двух точек; на рисунке мы проверяем несколько характерных пар". |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Сравните решение с эталоном на экране. Поставьте партнёру две звезды за правильное определение и верную аргументацию, а в пожелании укажите, что нужно уточнить." | Сверяют классификацию, отмечают две сильные стороны и одно исправление. Исправляют подписи или обоснование. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете распознавать фигуру и объяснять её свойство в паре. Теперь проверим, можете ли вы выполнить тот же алгоритм самостоятельно, без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание определений и умение применять критерий выпуклости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт листы трёх уровней: "Выберите уровень, который соответствует вашей уверенности. Базовый вариант обязателен для всех; повышенный можно выбрать, если базовый выполнен уверенно. В каждом ответе важна причина, а не только буква." | Выбирают вариант, подписывают лист и знакомятся с критериями. |
5 мин | Учитель предлагает задания: "В базовом варианте определите, какие из пяти контуров являются многоугольниками, назовите число сторон у двух фигур и классифицируйте три фигуры. В повышенном варианте дополнительно объясните, почему фигура с выемкой невыпуклая, и найдите ошибку в утверждении: «Если многоугольник имеет равные стороны, он обязательно выпуклый»." Учитель наблюдает, не подсказывая ответ. | Индивидуально выполняют задания, рисуют проверочный отрезок, записывают объяснения. Для ошибочного утверждения формулируют контрпример: "Равенство сторон само по себе не исключает выемку, поэтому фигура может быть невыпуклой". |
3 мин | Учитель выводит на экран эталон: "Проверьте себя по шагам. За каждый правильно распознанный многоугольник — один балл; за верное определение выпуклости с объяснением — два балла; за исправление ошибочного утверждения — один дополнительный балл. Отметьте зелёным то, что выполнено, и жёлтым то, что требует повторения." | Сверяют ответы с эталоном, подсчитывают баллы, выделяют место затруднения. Заполняют строку самооценки: «Я могу определить...», «Мне нужно повторить...». |
Эталон решения
Для проверки выпуклости выбираем две точки внутри многоугольника и мысленно соединяем их отрезком. Если любой проверенный отрезок остаётся внутри фигуры, делаем вывод о выпуклости по определению. Если найден хотя бы один отрезок, часть которого выходит за границу, многоугольник невыпуклый. Утверждение о равных сторонах неверно: длины сторон не определяют выпуклость; решающим является расположение отрезков между точками фигуры.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главный шаг — не назвать фигуру на глаз, а применить критерий. Осталось связать новое знание с окружающими объектами и проверить, насколько уверенно каждый из вас может сформулировать вывод."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить способы действия, оценить достижение цели и дать дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите цвет: зелёный — я могу объяснить определения и классифицировать фигуры; жёлтый — понимаю идею, но ошибаюсь в аргументации; красный — нужна помощь. Теперь завершите фразы: «Сегодня я узнал...», «Самым полезным был шаг...», «Мне нужно повторить...»." | Поднимают карточку соответствующего цвета, записывают две завершённые фразы и называют конкретный результат: "Я научился находить отрезок, доказывающий невыпуклость". |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Как доказать, что многоугольник выпуклый или невыпуклый? Сформулируйте ответ одним предложением. Почему для невыпуклости достаточно одного найденного отрезка, а для выпуклости требуется общее свойство?" | Формулируют: "Для выпуклости отрезок между любыми двумя точками должен лежать внутри, а для невыпуклости достаточно найти один отрезок, выходящий наружу". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите один из трёх уровней. В тетради обязательно используйте термины «вершина», «сторона», «многоугольник», «выпуклый», «невыпуклый». Дополнительное задание выбирают те, кому интересно связать геометрию с дизайном или архитектурой." | Записывают выбранный уровень и уточняют требования. Перед выходом отвечают на контрольный вопрос: "Как отличить многоугольник от незамкнутой ломаной?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы перешли от узнавания фигур к доказательству их свойств. Проверьте дома не только правильность рисунка, но и точность объяснения. На следующем уроке мы продолжим исследовать свойства многоугольников и научимся использовать их элементы для решения геометрических задач."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно распознаны все предложенные многоугольники, правильно названы вершины и стороны, выпуклость или невыпуклость каждой фигуры обоснована через отрезок между точками; работа выполнена аккуратно.
- «4» — правильно выполнено большинство классификаций, допущена одна неточность в обозначении вершины, стороны или формулировке признака, но общий способ рассуждения сохранён.
- «3» — распознаны основные многоугольники и указана хотя бы часть их элементов, однако объяснение выпуклости неполное или допущены две существенные ошибки, требующие коррекции.
- Ниже базового уровня — ученик смешивает понятия ломаной и многоугольника, не использует критерий отрезка и нуждается в повторном разборе по памятке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о многоугольнике и его элементах? | Выявление осознания определения, различения вершин, сторон и углов. |
Какой шаг алгоритма проверки выпуклости оказался самым важным? | Проверка понимания способа действия, а не механического запоминания термина. |
Как вы докажете, что многоугольник невыпуклый? | Выявление умения использовать контрпример и точную математическую формулировку. |
Что в самостоятельной работе потребовало исправления? | Диагностика личных затруднений и планирование последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что многоугольник — это не просто любой рисунок с прямыми сторонами, а фигура, ограниченная замкнутой ломаной. Мы научились находить вершины, стороны и углы, а также проверять выпуклость с помощью отрезков между точками фигуры. Помните о типичной ошибке: нельзя делать вывод только по внешнему впечатлению или по равенству сторон. На следующем уроке мы продолжим работу с многоугольниками и будем применять их свойства при решении задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на распознавание многоугольников среди изображений замкнутых и незамкнутых линий; для двух выбранных фигур подписать вершины и стороны; классифицировать 3 фигуры как выпуклые или невыпуклые с кратким объяснением. | Закрепляет определения и базовый алгоритм. При проверке обратить внимание на замкнутость контура, соответствие числа вершин числу сторон и наличие аргумента. |
Средний (повышающий) | Построить в тетради треугольник, выпуклый пятиугольник и невыпуклый шестиугольник; обозначить вершины, стороны и углы, а для каждой фигуры провести по одному отрезку между двумя точками и описать результат проверки. | Развивает навык построения, обозначения элементов и применения критерия выпуклости. Проверить аккуратность чертежа и точность терминов. |
Продвинутый (дополнительный) | Найти в окружающей среде или цифровом изображении 3 объекта, форма которых связана с многоугольниками. Зарисовать контуры, классифицировать их и написать, какие преимущества или ограничения даёт выпуклая либо невыпуклая форма в архитектуре, дизайне или инженерии. | Формирует функциональную и пространственную грамотность, умение переносить геометрическое понятие в реальный контекст. При проверке оценить обоснованность классификации, а не художественное качество рисунка. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется многоугольником? Как связаны число вершин и число сторон? Как доказать выпуклость? Какой признак позволяет доказать невыпуклость одним контрпримером?»
