Параллельные прямые и сумма углов треугольника
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать пары углов при пересечении параллельных прямых секущей, применять их свойства и признаки, а также вычислять неизвестные углы треугольника и его внешний угол, решив не менее 4 заданий рабочего листа с обоснованием.
- Установить свойства накрест лежащих, соответственных и односторонних углов при параллельных прямых и научиться выбирать нужное свойство для решения задачи.
- Познакомиться с признаком параллельности прямых через равенство соответственных углов и с признаком параллельности через равенство расстояний от двух точек одной прямой до другой прямой.
- Вывести и применять сумму углов треугольника и свойство внешнего угла треугольника.
- Развивать умение строить параллельные и перпендикулярные прямые, записывать краткое доказательство и проверять правильность вычислений.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность геометрических свойств для точных построений, проектирования и технических профессий.
- Проявляют интерес к поиску нескольких способов обоснования одного результата.
- Принимают необходимость аккуратной записи чертежа, обозначений и единиц измерения углов.
- Оценивают собственный вклад в парную и индивидуальную работу.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа, выделяют условие, требование и основание каждого шага решения.
- Планируют последовательность построения и вычислений, сверяют результат с геометрическим смыслом задачи.
- Формулируют гипотезу, проверяют её на чертеже и аргументируют вывод с использованием математической речи.
- Работают с рабочим листом, выбирают уровень задания и осуществляют взаимопроверку по критериям.
Предметные
- Знать определения параллельных прямых, секущей, накрест лежащих, соответственных и односторонних углов.
- Уметь применять равенство накрест лежащих и соответственных углов, а также сумму односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.
- Уметь доказывать параллельность прямых по равенству соответственных углов и по равенству расстояний от двух точек одной прямой до другой.
- Уметь вычислять неизвестный угол треугольника и внешний угол через два внутренних угла.
- Уметь выполнять построения параллельной прямой и секущей с заданной величиной угла.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат урока: научиться видеть связь между чертежом и формулой.
- Проявляют ответственное отношение к точности построений и доказательств.
- Осознают значение сотрудничества и уважительного обсуждения разных способов решения.
- Оценивают готовность применять свойства углов в новой задаче.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы по проблемному чертежу.
- Планируют алгоритм вычисления угла и последовательность геометрического построения.
- Выполняют самопроверку по эталону, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают результат по критериям: правильность, обоснованность, аккуратность.
Познавательные УУД
- Классифицируют пары углов по их расположению относительно секущей и параллельных прямых.
- Устанавливают логическую связь между равенством углов и параллельностью прямых.
- Моделируют условие задачи на чертеже и переводят его в числовое выражение.
- Сравнивают способы нахождения угла через свойства параллельных прямых и сумму углов треугольника.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему выбранная пара углов является накрест лежащей, соответственной или односторонней.
- Задают уточняющие вопросы к условию и чертежу.
- Аргументируют каждый шаг решения полной фразой: «так как ..., то ...».
- Проводят взаимопроверку без замены обоснования простым сообщением ответа.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист с заданиями 1–16 по одному экземпляру на каждого ученика и подготовить 3 дополнительных экземпляра.
- Подготовить карточки для парной работы с чертежами параллельных прямых и секущей — по одной карточке на пару.
- Подготовить линейки, угольники и карандаши; проверить наличие инструментов у всех учеников.
- Подготовить слайд или запись на доске с обозначениями: накрест лежащие углы — равны, соответственные углы — равны, односторонние углы в сумме дают $180^\circ$.
- Вывести на экран чертёж двух параллельных прямых, пересечённых секущей, с незаполненными обозначениями углов.
- Подготовить карточки трёх уровней для самостоятельной работы: базовый — вычисление, средний — уравнение, повышенный — доказательство и построение.
- Распечатать мини-эталон самопроверки: «назови вид углов — запиши свойство — составь выражение — вычисли — укажи единицу».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и листы для краткого билета на выход.
- Подготовить доску с полями: «Условие», «Свойство», «Вычисление», «Ответ».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и показать, что один чертёж позволяет решать разные задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске чертёж двух параллельных прямых, пересечённых секущей: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать как геометры-исследователи. Перед вами один чертёж, но на нём можно вычислять углы, доказывать параллельность и строить новые прямые. Проверьте, что на столе есть тетрадь, рабочий лист, линейка и карандаш." | Проверяют материалы, рассматривают чертёж, готовят рабочий лист и инструменты. |
2 мин | Учитель применяет приём «Проблемный вопрос»: "Предположим, один угол на чертеже равен $47^\circ$. Можно ли, не измеряя остальные углы транспортиром, найти их величины? А если две прямые ещё не названы параллельными, как это доказать? Запишите в верхней части листа один вопрос, на который хотите получить ответ." | Отвечают: «Да, используя свойства углов», «нужно сравнить соответственные или накрест лежащие углы». Записывают личный вопрос урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы не будем просто измерять углы. Мы выясним, какие свойства позволяют получать точный ответ по одному известному углу, и применим их к заданиям рабочего листа."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить свойства смежных и вертикальных углов и подготовить вычислительный аппарат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает пересечение двух прямых и говорит: "Начнём с опорных фактов. Какие углы называются вертикальными? Как связаны их величины? Какие углы называются смежными? Что можно сказать об их сумме? На доске записываю две опоры: вертикальные углы равны; смежные углы в сумме дают $180^\circ$." | Называют пары вертикальных и смежных углов, формулируют: «вертикальные углы равны», «сумма смежных углов равна $180^\circ$». |
3 мин | Учитель раздаёт карточку с четырьмя выражениями из задания 4 и предлагает «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд решите самостоятельно, затем одну минуту сравните ответы с соседом. Обязательно проговорите, какое свойство использовали. Вычислите $180^\circ-73^\circ$, $2\cdot41^\circ+18^\circ$, $180^\circ-(4\cdot19^\circ+5^\circ)$ и $360^\circ-2\cdot125^\circ$." | Решают выражения: $107^\circ$, $100^\circ$, $99^\circ$, $110^\circ$. Сверяют вычисления в парах и объясняют выбор свойства. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили вертикальные и смежные углы и убедились, что аккуратная запись выражения помогает избежать ошибки. Теперь выясним, какие новые пары углов возникают, когда две прямые пересекает секущая."
Этап 3. Выявление проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: различить виды углов при секущей и сформулировать план открытия свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран чертёж двух прямых $a$ и $b$, пересечённых секущей $c$, и предлагает приём «Толстые и тонкие вопросы»: "Посмотрите на восемь углов. Какие вопросы можно задать по факту расположения углов? Где находятся углы внутри полосы между прямыми? Какие пары лежат по одну сторону секущей, а какие — по разные стороны?" | Показывают на чертеже внутреннюю область, называют пары, формулируют вопросы: «какие углы равны?», «какие в сумме дают $180^\circ$?». |
2 мин | Учитель фиксирует на доске план: "Чтобы решить задачи листа, нам нужно научиться делать четыре действия: распознавать пару углов, применять её свойство, находить неизвестное через уравнение или сумму, а затем обосновывать вывод. Какую цель поставим?" | Формулируют цель: «научиться находить углы при параллельных прямых и доказывать параллельность»; записывают план действий. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: одного рисунка недостаточно, нужно установить закономерности. Сейчас мы откроем их на модели и сразу свяжем с заданиями 2, 5, 13 и 14 рабочего листа."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести свойства углов при параллельных прямых, признак параллельности по углам и признак по равенству расстояний.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает модель и объясняет через эвристическую беседу: "Если $a\parallel b$, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а односторонние внутренние углы в сумме дают $180^\circ$. Посмотрите на чертёж и назовите одну пару каждого вида. Почему накрест лежащие углы можно связать с вертикальными и соответственными?" Учитель выделяет пары дугами и записывает свойства. | Находят и называют пары: «накрест лежащие», «соответственные», «односторонние». Формулируют: «накрест лежащие и соответственные углы равны; односторонние в сумме дают $180^\circ$». |
3 мин | Учитель записывает на доске: "Работает и обратное утверждение: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие или соответственные углы равны, то прямые параллельны; если односторонние внутренние углы в сумме дают $180^\circ$, то прямые параллельны. Рассмотрим задание 5: $4x+8^\circ$ и $6x-32^\circ$, $x=20$. Что получаем?" | Подставляют $x=20$: $4\cdot20+8=88^\circ$, $6\cdot20-32=88^\circ$. Делают вывод: соответственные углы равны, значит, $a\parallel b$. |
3 мин | Учитель демонстрирует заготовку с прямой $l$ и точками $A$, $B$: "Проведём из $A$ и $B$ перпендикуляры к искомой прямой $m$. Если расстояния от $A$ и $B$ до $m$ равны, то точки находятся на одной стороне на одинаковой высоте относительно $l$, поэтому $m\parallel l$. Это идея задания 12. Важно: расстояние измеряется по перпендикуляру, а не наклонным отрезком." | Рассматривают построение, проговаривают: «расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра». Формулируют признак: «если две точки одной прямой равноудалены от второй прямой, то прямые параллельны». |
Запись в тетрадях
Записать: «При $a\parallel b$ накрест лежащие углы равны; соответственные углы равны; односторонние внутренние углы в сумме дают $180^\circ$. Если выполняется одно из этих условий, то прямые параллельны. Если расстояния от двух точек одной прямой до второй прямой равны, то прямые параллельны».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не только свойства параллельных прямых, но и признаки, по которым параллельность можно доказать. Теперь применим их к вычислениям и построениям из рабочего листа."
Этап 5. Сумма углов треугольника и внешний угол (7 мин)
Цель этапа: вывести формулы для внутреннего и внешнего угла треугольника и подготовить задания 7–11 и 16.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает треугольник $ABC$ и проводит через вершину $A$ прямую, параллельную $BC$: "Посмотрите, как свойства параллельных прямых переносят углы треугольника к вершине $A$. Один угол переносится как накрест лежащий, второй — как соответственный. На прямой сумма трёх получившихся углов равна $180^\circ$. Какой вывод получаем?" | Наблюдают построение и формулируют: «сумма углов треугольника равна $180^\circ$». |
2 мин | Учитель продлевает сторону $BC$ за точку $C$: "Получившийся внешний угол и внутренний угол при $C$ смежные. Поэтому внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Запишем: $\angle\text{внешний}=\angle A+\angle B$." | Записывают формулу, объясняют её через сумму углов треугольника и смежные углы. |
2 мин | Учитель разбирает задание 11: "Внешний угол равен $5x+10^\circ$, два удалённых внутренних угла равны $2x+15^\circ$ и $x+35^\circ$. Составьте уравнение и найдите все углы." | Составляют $5x+10=2x+15+x+35$, получают $x=20$. Находят внешний угол $110^\circ$, углы $55^\circ$ и $55^\circ$, внутренний угол при $C$ равен $70^\circ$. |
Эталон решения
$5x+10=2x+15+x+35$; $5x+10=3x+50$; $2x=40$; $x=20$. Тогда удалённые внутренние углы равны $2\cdot20+15=55^\circ$ и $20+35=55^\circ$. Внешний угол равен $5\cdot20+10=110^\circ$. Внутренний угол при $C$ смежный с ним: $180^\circ-110^\circ=70^\circ$. Проверка: $55^\circ+55^\circ+70^\circ=180^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сумма углов треугольника и свойство внешнего угла позволяют решать выражения и уравнения без измерений. Теперь каждый проверит, умеет ли он выбрать нужное свойство самостоятельно."
Этап 6. Первичное закрепление и самостоятельная работа (12 мин)
Цель этапа: применить новые свойства к вычислительным, доказательным и конструктивным заданиям рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель организует парную работу: "Выполните задания 1 и 7 рабочего листа. В задании 1 используйте свойства углов при параллельных прямых, в задании 7 — сумму углов треугольника. В каждой строке сначала назовите правило, затем выполните вычисление. Сравните одну строку с партнёром." | Решают: $180^\circ-47^\circ=133^\circ$; $180^\circ-2\cdot38^\circ=104^\circ$; $3\cdot52^\circ-60^\circ=96^\circ$; $180^\circ-(27^\circ+68^\circ)=85^\circ$. Для задания 7 получают $65^\circ$, $106^\circ$, $63^\circ$, $45^\circ$. |
4 мин | Учитель предлагает выбрать одно из заданий 2, 5, 13 или 14: "Выберите задачу по готовности. Запишите чертёж или используйте данный, определите вид углов, составьте уравнение и обязательно добавьте обоснование. Я проверю не только число, но и связку «свойство — уравнение — вывод»." | Индивидуально решают выбранное задание. Для задания 2 составляют $3x+10=5x-30$, получают $x=20$, угол $70^\circ$. Для задания 14 составляют $(2x+20)+(4x-20)=180$, получают $x=30$, углы $80^\circ$ и $100^\circ$. |
4 мин | Учитель раздаёт линейки и угольники: "Выберите одно построение: задание 3 — провести через $P$ прямую, параллельную $a$, или задание 12 — построить прямую, равноудалённую от $A$ и $B$. Покажите на чертеже угольником перпендикуляры и подпишите, какое свойство подтверждает построение." | Выполняют построение. В задании 3 проводят через $P$ прямую с равным соответственным углом. В задании 12 строят перпендикуляры из $A$ и $B$, откладывают равные расстояния и проводят через полученные точки прямую $m$, подписывают $m\parallel l$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы использовали три разных типа действий: вычисление, доказательство и построение. Осталось проверить себя в новой комбинации, где свойства параллельных прямых соединяются с треугольником."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенные способы действий, выявить затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёный стикер, если можете по чертежу назвать вид пары углов и применить свойство; жёлтый — если вычисление получается, но трудно объяснить; красный — если нужна помощь с построением или признаком параллельности. На листе допишите одно предложение: «Теперь я умею...»" | Поднимают стикеры, записывают индивидуальный результат: «Теперь я умею находить угол по равенству соответственных углов» или формулируют затруднение. |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Ответьте письменно на два вопроса: 1) чему равна сумма односторонних внутренних углов при параллельных прямых; 2) как найти внешний угол треугольника через два удалённых внутренних угла? Затем запишите домашнее задание по выбранному уровню." | Пишут ответы: «$180^\circ$»; «внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним». Записывают домашнее задание. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены не менее 5 заданий рабочего листа, среди них хотя бы одно задание на доказательство или построение; правильно названы свойства, вычисления записаны с обозначением градусной меры, чертёж аккуратен.
- «4» — верно выполнены 4 задания, включая хотя бы одно задание на применение свойства параллельных прямых или суммы углов треугольника; допущена не более одной вычислительной или оформительской ошибки.
- «3» — верно выполнены 3 задания базового уровня на вычисление углов, при этом понятен выбор формулы или свойства; возможны ошибки в обосновании или построении.
- Ниже базового уровня — требуется повторить виды углов, свойства смежных и вертикальных углов и выполнить исправление одного задания по образцу.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как по расположению на чертеже отличить накрест лежащие, соответственные и односторонние углы? | Проверка понимания классификации пар углов. |
Какое свойство вы используете, если углы равны, а нужно доказать параллельность прямых? | Выявление осознанного выбора признака параллельности. |
Что было труднее: составить уравнение, выполнить построение или записать доказательство? | Выявление точки затруднения для последующей коррекции. |
Как проверить, что найденные углы треугольника не противоречат условию? | Проверка умения использовать сумму углов треугольника и оценивать результат. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы связали свойства параллельных прямых с вычислением углов, доказательством параллельности и суммой углов треугольника. Запомните главный алгоритм: определите вид углов, назовите свойство, составьте выражение или уравнение и только затем запишите ответ. Самая частая ошибка — перепутать односторонние углы с накрест лежащими и сразу поставить знак равенства. На следующем уроке мы продолжим решать задачи, где несколько таких свойств работают последовательно в одном чертеже."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 вычислительных задания: два на свойства углов при параллельных прямых и два на сумму углов треугольника или внешний угол. В каждом решении записать используемое свойство и величину угла с обозначением градусной меры. | Закрепляет базовые формулы и правильную математическую запись; при проверке смотреть на выбор свойства и вычисления. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с переменной по образцу заданий 2, 13 и 14: одну на равенство углов, одну на односторонние углы и одну на внешний угол треугольника. Для каждой задачи выполнить проверку найденного значения. | Формирует умение переводить геометрическое условие в уравнение и проверять ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Выполнить одно построение параллельной прямой через данную точку или прямой, равноудалённой от двух точек, и решить задачу, аналогичную заданию 8 или 11, где используются одновременно параллельные прямые и сумма углов треугольника. Составить краткое доказательство. | Развивает конструктивное и доказательное мышление; при проверке смотреть на точность построения, обозначения и логическую последовательность рассуждения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие углы при параллельных прямых равны? Какова сумма односторонних внутренних углов? Как доказать параллельность по равенству расстояний? Чему равна сумма углов треугольника? Как выразить внешний угол через два внутренних?»
