Касательная к окружности. Хорда и диаметр: свойства
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют и применят свойства касательной, хорды и диаметра, решив не менее трёх геометрических задач и обосновав каждый используемый шаг.
- Сформировать представление о касательной, хорде и диаметре как элементах окружности, установить их взаимосвязи.
- Научить распознавать касательную и применять свойство: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
- Научить использовать свойства хорды и диаметра при нахождении углов, отрезков и доказательстве геометрических утверждений.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, проверять их построением и измерением, аргументировать решение и оценивать собственный результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к исследованию геометрических объектов через практические примеры из техники, архитектуры и естественных наук.
- Осознают ценность точности измерений, доказательности и последовательности рассуждений.
- Принимают право одноклассника на иной способ построения или объяснения при условии его математического обоснования.
- Развивают самостоятельность при выборе уровня задания и способа представления решения.
Метапредметные
- Формулируют проблему и план исследования, выделяют известные и неизвестные элементы чертежа.
- Извлекают информацию из чертежа, текста условия и результатов измерений, представляют её в виде схемы.
- Сотрудничают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют выводы математическими утверждениями.
- Проводят самопроверку по эталону, находят причину ошибки и корректируют решение.
Предметные
- Знать определения окружности, хорды, диаметра, касательной и точки касания.
- Уметь отличать хорду от диаметра и секущую от касательной на чертеже.
- Знать и применять свойство касательной: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
- Уметь использовать равенство радиусов, перпендикулярность и свойства диаметра при решении задач.
- Владеть навыком построения окружности, хорды, диаметра и касательной с помощью циркуля и линейки.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к применению свойств окружности.
- Формируют смыслообразование через понимание практической роли точных геометрических построений.
- Осознают ответственность за достоверность чертежа и обоснование вывода.
- Проявляют готовность принять интеллектуальное затруднение как этап поиска решения.
Регулятивные УУД
- Совместно с учителем формулируют цель и последовательность исследования.
- Планируют построение и решение задачи, распределяют время между этапами.
- Сверяют результат с условием, эталоном и геометрическими свойствами.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки и намечают коррекцию.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки касательной, хорды и диаметра.
- Сравнивают объекты и классифицируют отрезки и прямые относительно окружности.
- Строят логическую цепочку: радиус — точка касания — перпендикулярность — вывод.
- Моделируют геометрическую ситуацию на чертеже и используют измерения для выдвижения гипотезы.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: выполняющий построение, проверяющий и докладчик.
- Формулируют вопросы к решению одноклассника и отвечают на них с опорой на чертёж.
- Аргументируют выводы, используя определения и свойства, а не только результат измерения.
- Корректно сопоставляют разные способы решения и приходят к общему выводу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями окружности колеса, круглого окна, касания шины с дорогой и геометрическими схемами.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить лист исследования на каждую пару: окружность, центр, радиусы, хорды, диаметр, касательная и вопросы для вывода.
- Приготовить циркули, линейки, карандаши и угольники по одному комплекту на пару.
- Вывести на доску или экран тему урока, условные обозначения, определения и пустую схему для совместного заполнения.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить демонстрационную модель: круг из картона, нить или линейку для изображения касательной и радиус к точке касания.
- Организовать на доске место для эталона решения и таблицы «Знаю — Хочу узнать — Узнал».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и связать тему с практической ситуацией.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает изображение колеса, соприкасающегося с дорогой: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто повторять определения, а исследуем, почему колесо касается дороги в одной точке и какие свойства помогают это описать. Проверьте, что на столе есть тетрадь, линейка, циркуль и карандаш." | Проверяют готовность, рассматривают изображение, формулируют предположение: "Колесо касается дороги в одной точке". |
2 мин | Учитель использует приём «Проблемный вопрос»: "Представьте окружность и прямую, которая имеет с ней только одну общую точку. Как можно доказать, что радиус к этой точке образует прямой угол с прямой? Какие ещё отрезки можно провести внутри окружности? Сегодня мы проверим предположения построением и доказательством." | Высказывают гипотезы: "Нужно измерить угол", "Можно провести радиус и сравнить расстояния", «Внутри окружности можно провести хорду и диаметр». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели практическую ситуацию касания и поставили вопрос о её геометрическом описании. Сначала вспомним элементы окружности, которые понадобятся для исследования."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить определения радиуса, окружности, хорды и диаметра и выявить готовность к открытию нового свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует круг с отмеченным центром O и точками A, B, C: "Посмотрите на чертёж. Как называется отрезок OA? Какой признак позволяет это утверждать? Что можно сказать об отрезках OA, OB и OC?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Показывают радиусы и отвечают: "OA, OB и OC — радиусы, потому что соединяют центр окружности с точками окружности. Они равны". |
3 мин | Учитель раздаёт карточку «Верно — неверно»: "Отметьте утверждения, с которыми согласны, и исправьте ошибочные: диаметр проходит через центр; всякая хорда является диаметром; диаметр равен двум радиусам; хорда может соединять любые две точки окружности. Обсудите ответы в парах одну минуту." | Отмечают верные утверждения, исправляют ошибку «всякая хорда является диаметром», формулируют: "Диаметр — это хорда, проходящая через центр". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что диаметр является особой хордой и равен двум радиусам. Теперь выясним, что происходит с прямой, которая касается окружности только в одной точке."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему, цель и план исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает окружность с центром O и прямую l, имеющую с окружностью общую точку A: "Сколько общих точек у прямой l и окружности? Как назовём такую прямую? Что нужно исследовать, чтобы установить положение радиуса OA относительно l?" | Рассматривают чертёж и отвечают: "Одна общая точка; это касательная; нужно исследовать угол между OA и l". |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите, что хотите узнать, затем обсудите с соседом и сформулируйте общий план. В плане должны быть определения, построение, проверка измерением и решение задачи." | Индивидуально записывают вопросы, обсуждают в парах, формулируют цель: "Узнать свойство касательной и научиться применять свойства хорды и диаметра". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема определена: нужно установить связь касательной и радиуса. План принят: построить, измерить, сформулировать свойство, применить его в задачах. Переходим к исследованию."
Этап 4. Открытие нового знания и межпредметная связь (10 мин)
Цель этапа: через построение и практический контекст вывести свойства касательной, хорды и диаметра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт лист исследования: "Постройте окружность с центром O, отметьте точку A, проведите радиус OA. Через A проведите прямую l так, чтобы она имела с окружностью только одну общую точку. Измерьте угол между OA и l. Сравните результат в разных парах. Измерение подсказывает гипотезу, но окончательный вывод мы формулируем как геометрическое свойство." | Строят окружность и касательную, проводят OA, измеряют угол транспортиром, получают примерно $90^\circ$, записывают гипотезу: "Радиус к точке касания перпендикулярен касательной". |
3 мин | Учитель формулирует и записывает на доске: "Теорема: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Обратите внимание: точка касания обязательна. Если радиус OA проведён в точку A, то $OA \perp l$. Теперь проведите хорды AB и CD, а затем диаметр EF. Чем диаметр отличается от обычной хорды?" | Записывают теорему, чертят хорды AB и CD и диаметр EF, отвечают: "Диаметр проходит через центр, поэтому является самой длинной хордой". |
3 мин | Учитель устанавливает межпредметную связь с физикой и технологией: "В механике колесо касается поверхности в точке, а радиус к точке контакта перпендикулярен поверхности при ровной дороге. В архитектуре и инженерном деле дуги и круглые элементы строят по радиусам и диаметрам. Почему ошибка в прямом угле может повлиять на модель?" | Обсуждают в парах, приводят примеры колеса, круглого окна, арки, высказывают вывод: "Неточный угол изменит положение конструкции или модели". |
Запись в тетрадях
Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки O. Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр; $d=2r$. Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $OA\perp l$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не просто результат измерения, а свойство, которое можно применять в любой подобной ситуации. Теперь проверим его на конкретных чертежах и научимся объяснять каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить применять свойства касательной, хорды и диаметра с проговариванием основания каждого действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "К окружности с центром O в точке A проведена касательная l. Радиус OA равен 6 см. Чему равен угол между OA и l? Обоснуйте ответ." Учитель просит одну пару оформить решение на доске. | Решают: "Угол равен $90^\circ$, потому что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной". Записывают условие и обоснование. |
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Диаметр окружности равен 14 см. Найдите радиус и объясните, почему выбранное действие связано со свойством диаметра." | Выполняют вычисление $r=14:2=7$ см, формулируют: "Диаметр равен двум радиусам". |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку по приёму «Две звезды и пожелание»: "Проверьте наличие чертежа, формулы или свойства и ответа с единицами измерения. Запишите две сильные стороны решения и один совет." | Сверяют решения в парах, отмечают корректное применение свойств и указывают конкретную неточность, если она есть. |
Эталон решения
1) Так как l — касательная в точке A, радиус OA перпендикулярен l. 2) Следовательно, угол между OA и l равен $90^\circ$. Для диаметра: $d=2r$, поэтому $r=d:2=14:2=7$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили два ключевых свойства: перпендикулярность радиуса касательной и связь диаметра с радиусом. Следующий шаг — самостоятельная проверка, где каждый выберет посильный уровень и покажет, что может действовать без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание темы и сформировать навык выбора способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Обязательный минимум выполняют все; затем можно выбрать базовое или повышенное задание. Сначала внимательно прочитайте условие, сделайте чертёж, назовите свойство, только потом вычисляйте." | Выбирают уровень, подписывают карточку и готовят чертёж. |
6 мин | Учитель раздаёт задания. Минимум: "Назовите элементы окружности на чертеже и определите, какие отрезки являются хордами и какие — диаметром." Базовый: "Касательная в точке A образует с радиусом OA угол $90^\circ$. Найдите угол между касательной и лучом, противоположным OA." Повышенный: "Из точки A к окружности проведены две касательные, касающиеся её в точках B и C. Сравните отрезки AB и AC и объясните ответ." Учитель консультирует вопросами: "Какое свойство применимо? Что на чертеже является точкой касания?" | Индивидуально выполняют выбранное задание: подписывают элементы, находят угол $90^\circ$ или $90^\circ$, доказывают равенство касательных отрезков построением радиусов и сравнением прямоугольных треугольников. |
3 мин | Учитель выводит эталон на экран: "Сверьте не только ответ, но и ход рассуждения. Если обнаружили ошибку, зачеркните неверный шаг одной линией и рядом запишите корректное основание." | Проводят самопроверку, исправляют решение, отмечают в листе самооценки: «могу определить», «могу применить», «могу объяснить». |
Эталон решения
Для базового задания: радиус OA перпендикулярен касательной, поэтому угол между ними равен $90^\circ$. Луч, противоположный OA, образует с касательной также прямой угол, то есть $90^\circ$. Для повышенного задания: $OB\perp AB$ и $OC\perp AC$; $OB=OC$ как радиусы, $OA$ — общая гипотенуза. Прямоугольные треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету, следовательно, $AB=AC$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что свойство нужно не только помнить, но и видеть на чертеже. Ошибка чаще всего возникает, когда точку касания путают с произвольной точкой окружности. Завершим урок рефлексией и проверим, какой вывод каждый уносит с собой."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить результат, выявить затруднения и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Ответьте кратко на три вопроса: что такое касательная; какое свойство связывает её с радиусом; чем диаметр отличается от хорды. Допишите один пример из техники или архитектуры." | Индивидуально записывают определения, свойство, отличие диаметра от хорды и пример применения. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если уверенно применяете свойство касательной; жёлтую — если нужна ещё практика; красную — если требуется разбор определения. Поднимите руку и назовите конкретный затрудняющий шаг." | Показывают карточки, формулируют затруднения: "Мне трудно определить точку касания", "Я забываю обосновать перпендикулярность", или сообщают: "Могу построить и доказать". |
2 мин | Учитель сообщает критерии и домашнее задание: "Оценка учитывает не только число правильных ответов, но и чертёж, запись свойства и объяснение. Запишите выбранный уровень домашней работы и контрольные вопросы." | Сверяют результат с критериями, записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы исследовали окружность как геометрическую модель, открыли свойство касательной и применили свойства хорды и диаметра. На следующем уроке мы продолжим решать задачи, где эти свойства будут объединяться в одну цепочку рассуждений."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнено выбранное задание, построение аккуратное, правильно названы элементы окружности, свойство касательной записано и применено с полным обоснованием.
- «4» — решение в основном верное, но допущена одна неточность в оформлении чертежа, обозначениях или формулировке вывода, не повлиявшая на основной результат.
- «3» — распознаны основные элементы окружности и получен частично верный результат, но свойство применено без достаточного обоснования либо допущена одна существенная вычислительная ошибка.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое касательная и сколько общих точек она имеет с окружностью? | Проверка осознания определения и отличия касательной от секущей. |
Какое свойство связывает радиус и касательную? | Выявление понимания ключевой теоремы урока. |
Как вы определили, что хорда является диаметром? | Проверка умения использовать признак прохождения через центр. |
Какой шаг решения оказался самым сложным и какая помощь нужна? | Выявление индивидуальных точек затруднения и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, а диаметр является особой хордой и равен двум радиусам. Важно не угадывать ответ по рисунку, а называть свойство, которое его подтверждает. Типичная ошибка — считать любую хорду диаметром или проводить радиус не в точку касания. На следующем уроке мы будем использовать эти свойства в более сложных доказательствах и задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задачи: определить на чертежах хорду, диаметр и касательную; найти радиус по диаметру в двух случаях; определить угол между радиусом и касательной. | Закрепляет определения и формулы $d=2r$, проверяет правильность обозначений и наличие обоснования. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на применение свойства касательной и диаметра: найти угол, длину радиуса или диаметр по данным чертежа; к каждой задаче выполнить аккуратный рисунок. | Формирует перенос свойства в новую ситуацию; при проверке смотреть на выбор точки касания и последовательность рассуждений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу о касательной, хорде или диаметре в контексте колеса, круглого окна или инженерной конструкции; добавить чертёж и краткое доказательство. | Развивает создание математической модели, аргументацию и межпредметное применение геометрии. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какая прямая называется касательной?», «Как расположен радиус к точке касания?», «Чем диаметр отличается от хорды?», «Какое равенство связывает диаметр и радиус?»
