Осевая симметрия и её свойства
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут распознавать фигуры, обладающие осевой симметрией, строить симметричные точки и фигуры относительно прямой, а также формулировать и применять свойства осевой симметрии для решения геометрических задач.
- Образовательные задачи: ввести понятия «осевая симметрия», «ось симметрии», «симметричные точки»; экспериментальным путём вывести свойства симметрии; научить алгоритму построения симметричных фигур.
- Развивающие задачи: развивать пространственное воображение, навыки исследовательской деятельности, логическое мышление и умение анализировать визуальную информацию.
- Воспитательные задачи: воспитывать чувство гармонии и эстетики через наблюдение симметрии в природе и искусстве, формировать навыки конструктивного сотрудничества в парах.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие эстетического сознания через освоение художественного наследия и природных форм, обладающих симметрией.
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли, аргументировать свою позицию.
Метапредметные
- Умение самостоятельно определять цели обучения и планировать пути их достижения.
- Развитие навыков смыслового чтения текстов геометрического содержания.
- Умение создавать обобщения, устанавливать аналогии и классифицировать объекты.
Предметные
- Знать определение осевой симметрии и симметричных точек.
- Уметь находить оси симметрии в различных геометрических фигурах (квадрат, круг, равнобедренный треугольник).
- Владеть навыком построения фигуры, симметричной данной, с помощью чертёжных инструментов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом.
- Оценивание усваиваемого содержания исходя из социальных и личностных ценностей.
Регулятивные УУД
- Постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что предстоит узнать.
- Выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Поиск и выделение необходимой информации из различных источников (текст, чертёж, модель).
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать раздаточный материал для исследования: листы с нарисованными точками A, B, C и прямой l (по одному на парту).
- Подготовить презентацию с изображениями симметрии в природе (бабочка, лист дерева, снежинка) и архитектуре.
- Подготовить демонстрационные чертёжные инструменты: большая линейка, угольник, циркуль для доски.
- Заготовить карточки для самостоятельной работы трёх уровней сложности (по количеству учеников).
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создание эмоционального настроя на урок, включение учащихся в мыслительную деятельность через визуальный «крючок».
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте! Рад вас видеть. Сегодня наш урок геометрии будет немного напоминать урок искусства. Посмотрите на экран (слайд с бабочкой и Тадж-Махалом). Как вы думаете, какое общее свойство объединяет эти объекты, несмотря на то, что один создан природой, а другой — человеком?» | Ученики приветствуют учителя, смотрят на экран. Предлагают варианты: «Красота», «Равновесие», «Они одинаковые слева и справа», «Симметрия». |
2 мин | «Верно, это симметрия. Герман Вейль сказал: "Симметрия — это идея, с помощью которой человек веками пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство". Но мы с вами математики. Как описать эту красоту языком геометрии? Что происходит с точками фигуры при таком отражении? Сегодня мы это выясним». | Записывают тему урока в тетради: «Осевая симметрия и её свойства». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели симметрию вокруг нас. Теперь давайте вспомним инструменты, которые помогут нам описать её математически».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторение опорных понятий (перпендикуляр, середина отрезка), необходимых для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Прежде чем строить симметрию, вспомним базу. У вас на столах карточки №1. Начертите прямую a и точку M, не лежащую на ней. Проведите через M перпендикуляр к прямой a. Как вы это сделаете? Какие инструменты используете?» | Работают в тетрадях. Один ученик у доски. Используют угольник или циркуль. Отвечают: «Прикладываем угольник катетом к прямой, проводим линию через точку». |
2 мин | «Отлично. А теперь найдите середину получившегося отрезка между M и точкой пересечения. Вспомните определение серединного перпендикуляра. Почему это понятие будет важно сегодня?» | Формулируют определение: «Прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему». Предполагают связь с «зеркальным» отражением. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Эти навыки — построение перпендикуляра и откладывание равных отрезков — станут нашими главными инструментами сегодня».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и выявление затруднения (5 мин)
Цель этапа: создать ситуацию затруднения, мотивирующую к поиску алгоритма построения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт листы с нарисованной прямой l и точкой A. «Ребята, самый простой способ получить симметричную точку — согнуть лист по прямой l и проткнуть его иголкой. Попробуйте. Полученную точку назовем A'. Как вы думаете, как построить такую же точку A', если нам ЗАПРЕЩЕНО сгибать бумагу?» | Ученики сгибают листы, видят результат. Пытаются предложить способы построения «на глаз» или по линейке, осознают неточность метода. |
3 мин | «Давайте сформулируем проблему: какими свойствами обладает пара точек A и A' относительно прямой l? Если мы найдем эти свойства, мы сможем строить симметрию в любой ситуации, даже на каменной стене, которую не согнешь». | Формулируют цель: «Найти математические условия, при которых две точки называются симметричными относительно прямой». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, переходим к исследованию. Вы — первооткрыватели свойств симметрии».
Этап 4. Реализация проекта (открытие нового знания) (12 мин)
Цель этапа: экспериментальным путём выявить свойства осевой симметрии и зафиксировать их в виде определения и алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Работаем в парах. У вас есть лист с точкой A и её "отражением" A', полученным сгибанием. Соедините A и A' отрезком. Обозначьте точку пересечения с прямой l как O. Измерьте транспортиром угол между AA' и l. Измерьте длины AO и OA'. Что вы заметили?» | Проводят измерения. Обсуждают в парах. Выводят: «Отрезок AA' перпендикулярен прямой l. Точка O является серединой отрезка AA'». |
4 мин | «Давайте обобщим. Кто готов дать строгое определение: какие две точки называются симметричными относительно прямой l? Используйте приём ПОПС-формула для аргументации своего определения». | Ученики формулируют: «Точки A и A' симметричны относительно прямой l, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку AA'». Один ученик отвечает по ПОПС: «Я считаю, что..., потому что..., например..., следовательно...». |
3 мин | «А теперь составим алгоритм. Как построить точку B', симметричную точке B? Запишем шаги в тетрадь. Шаг 1: Провести перпендикуляр из B к l. Шаг 2: Продолжить его. Шаг 3: Отложить равный отрезок». | Записывают алгоритм в тетрадь, зарисовывают схему построения. |
Запись в тетрадях
Определение: Точки A и A' называются симметричными относительно прямой l, если l ⊥ AA' и AO = OA' (где O — точка пересечения). Прямая l называется осью симметрии.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели закон симметрии. Теперь проверим, работает ли он для целых фигур».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: применить алгоритм для построения симметричного отрезка и треугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Начертите в тетрадях произвольный треугольник ABC и прямую l, не пересекающую его. Постройте треугольник A'B'C', симметричный данному. Подсказка: симметрия фигуры — это симметрия её ключевых точек. Каких именно?» | Ученики строят симметричные вершины A', B', C' по алгоритму, затем соединяют их. Отвечают: «Нужно построить симметричные вершины». |
3 мин | «Сравните треугольники ABC и A'B'C'. Что можно сказать об их равенстве? Сохраняются ли расстояния между точками при симметрии? Это важное свойство — симметрия является движением». | Ученики накладывают кальку или визуально оценивают: «Треугольники равны. Расстояния сохраняются». |
Эталон решения
Для каждой вершины $X ∈ {A, B, C}$:
1. $h_X ⟂ l$, $X ∈ h_X$.
2. $O_X = h_X ∩ l$.
3. $X' ∈ h_X$ такая, что $XO_X = O_X X'$.
4. Соединить $A', B', C'$ отрезками.
1. $h_X ⟂ l$, $X ∈ h_X$.
2. $O_X = h_X ∩ l$.
3. $X' ∈ h_X$ такая, что $XO_X = O_X X'$.
4. Соединить $A', B', C'$ отрезками.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы справились с построением. Теперь время проверить свои силы в индивидуальной работе».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала, дифференциация заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «У вас на партах карточки трёх цветов. Зелёная — база (построить точку и отрезок). Жёлтая — средний уровень (найти оси симметрии у букв и фигур). Красная — сложный (построить симметрию, если ось пересекает фигуру). Выберите ту, которая вам по силам, и приступайте». | Ученики выбирают уровень сложности и выполняют задания. Учитель проходит по рядам, консультирует. |
2 мин | «Время вышло. Переверните карточки — на обороте эталон решения. Оцените свою работу с помощью приёма "Светофор": поставьте на полях зелёный круг, если всё верно, жёлтый — если одна ошибка, красный — если не получилось». | Сверяются с эталоном, проводят самооценку, фиксируют результат в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу много зелёных сигналов, отлично! Те, у кого возникли трудности, не переживайте — дома будет возможность закрепить навык».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: подведение итогов, осознание приращения знаний, инструктаж по ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Наш урок подходит к концу. Мы сегодня были и художниками, и исследователями. Что для вас было самым неожиданным сегодня? Какое свойство симметрии кажется вам самым важным?» Учитель диктует домашнее задание. | Отвечают на вопросы. Записывают домашнее задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — все построения выполнены верно и аккуратно, соблюдены условия перпендикулярности и равенства отрезков, верно определены оси симметрии в доп. задании.
- «4» — алгоритм построения соблюден, но допущены небольшие неточности в измерениях (1-2 мм) или чертёж выполнен небрежно.
- «3» — ученик понимает принцип симметрии, но допускает ошибки в алгоритме (например, не соблюдает перпендикулярность) или выполнил менее половины работы.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое условие является обязательным, чтобы точки были симметричны? | Проверка усвоения ключевого определения (перпендикуляр и середина). |
Где в реальной жизни вам может пригодиться умение строить симметричные объекты? | Связь с практикой и функциональной грамотностью (дизайн, архитектура). |
В какой момент урока вы почувствовали себя наиболее уверенно? | Эмоциональная самодиагностика и выявление успешных зон. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня вы доказали, что за красотой и гармонией всегда стоит строгий математический закон. Мы научились видеть и строить осевую симметрию. На следующем уроке мы познакомимся с её "сестрой" — центральной симметрией, и узнаем, чем они отличаются. Спасибо за активную работу, особенно за ваши гипотезы на этапе исследования. Урок окончен!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, №413, №415. | Построение симметричных точек и простейших фигур по клеткам. |
Средний (повышающий) | Найти 5 логотипов известных брендов с осевой симметрией. | Анализ окружающего пространства, развитие читательской грамотности. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческая работа «Симметричный витраж». | Создать на листе А4 сложный симметричный узор, используя циркуль и линейку. |
Контрольный вопрос перед выходом: «Если точка лежит на самой оси симметрии, где будет находиться её симметричная пара?» (Ожидаемый ответ: «В той же самой точке»).