Описанная окружность треугольника
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие описанной окружности треугольника, доказать теорему о центре описанной окружности и научить алгоритму её построения с помощью циркуля и линейки.
- Образовательная задача: Изучить определение описанной окружности, доказать теорему о существовании и единственности окружности, описанной около любого треугольника.
- Развивающая задача: Развивать навыки геометрического моделирования, умение выдвигать гипотезы и анализировать расположение центра окружности в зависимости от вида треугольника.
- Воспитательная задача: Воспитывать культуру графического труда и критическое отношение к точности математических построений.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие логического мышления и воображения при решении исследовательских задач.
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
Метапредметные
- Умение самостоятельно ставить цели и планировать пути их достижения.
- Развитие навыков смыслового чтения при работе с текстом теоремы.
- Способность устанавливать причинно-следственные связи и строить логическое рассуждение.
Предметные
- Знать определение окружности, описанной около треугольника.
- Уметь доказывать теорему о центре описанной окружности.
- Владеть навыком построения описанной окружности для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявление интереса к новому учебному материалу, ориентация на успех в учебной деятельности.
Регулятивные УУД
- Определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата (алгоритм построения).
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации, моделирование геометрических объектов.
Коммуникативные УУД
- Умение работать в паре, аргументировать свою позицию при обсуждении доказательства.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с заготовками треугольников (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный) — по 1 на ученика.
- Подготовить демонстрационный циркуль и линейку для работы у доски.
- Создать презентацию со слайдами: 1) Фотография древней мозаики с геометрическим узором; 2) Определение описанной окружности; 3) Анимация пересечения серединных перпендикуляров.
- Подготовить карточки для рефлексии «Билет на выход».
- Проверить исправность проектора и ноутбука.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и вызвать интерес к теме через проблемную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «"Здравствуйте! Сегодня мы почувствуем себя реставраторами. Представьте, что в археологической экспедиции найден фрагмент круглой античной тарелки. От неё остался только треугольный осколок, вершины которого лежали на краю тарелки. Как нам восстановить первоначальный размер и форму всей тарелки?"» | Слушают учителя, представляют ситуацию, настраиваются на работу. |
2 мин | «"Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, как связаны треугольник и окружность, проходящая через его вершины. Как бы вы назвали такую окружность? Запишите тему урока: 'Описанная окружность'."» | Предлагают варианты названия («окружающая», «внешняя», «описанная»). Записывают тему в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Мы поставили перед собой инженерную задачу. Чтобы её решить, нам нужно вспомнить наши инструменты."»
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить опорные понятия (серединный перпендикуляр и его свойства), необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «"Вспомните, что такое серединный перпендикуляр к отрезку? Каким важным свойством обладают его точки? Посмотрите на чертёж на доске: точка M лежит на серединном перпендикуляре к AB. Что можно сказать о расстояниях MA и MB?"» | Отвечают: «"Серединный перпендикуляр — это прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно к нему. Каждая его точка равноудалена от концов отрезка, значит MA = MB."» |
2 мин | «"Верно. А если у нас есть точка, равноудалённая от трёх вершин треугольника A, B и C, то чем она будет являться для окружности, проходящей через эти вершины?"» | Предполагают: «"Эта точка будет центром окружности, а расстояние до вершин — радиусом."» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Отлично, мы нашли ключ к решению: нам нужна точка, равноудалённая от всех вершин. Давайте выясним, всегда ли она существует."»
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (4 мин)
Цель этапа: осознать нехватку знаний о том, где именно находится центр такой окружности для любого треугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «"Возьмите рабочий лист №1. Там изображён произвольный треугольник. Попробуйте 'на глаз' поставить точку, которая могла бы стать центром описанной окружности, и провести её циркулем. Получилось ли у вас сразу попасть во все три вершины? В чём трудность?"» | Пробуют выполнить построение. Сталкиваются с тем, что окружность проходит через две вершины, но не попадает в третью. Отвечают: «"Трудно найти точное место для центра, чтобы радиусы были равны."» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Метод 'тыка' в геометрии не работает. Нам нужно строгое доказательство и точный алгоритм."»
Этап 4. Построение проекта и открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: доказать теорему об описанной окружности и вывести алгоритм нахождения центра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «"Давайте рассуждать логически. Если центр O равноудалён от A и B, он должен лежать на серединном перпендикуляре к AB. Если он равноудалён от B и C — на серединном перпендикуляре к BC. К какому выводу мы приходим?"» | Формулируют гипотезу: «"Центр должен находиться в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника."» |
7 мин | «"Проведём доказательство. Пусть p и q — серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC. Они пересекаются в точке O, так как стороны не параллельны. По свойству перпендикуляра OA=OB и OB=OC. Значит, OA=OC. Что это означает для третьей стороны AC?"» | Делают вывод: «"Это значит, что точка O также лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC. Значит, все три перпендикуляра пересекаются в одной точке, и она равноудалена от всех вершин."» |
Запись в тетрадях
Теорема: Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Мы доказали существование центра. Теперь проверим, всегда ли он находится внутри треугольника."»
Этап 5. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработать навык построения и исследовать положение центра окружности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «"Используя циркуль и линейку, постройте описанные окружности для трёх треугольников на вашем листе: остроугольного, прямоугольного и тупоугольного. Обратите внимание, где оказывается точка O в каждом случае. Примените приём 'Исследователь'."» | Выполняют построения. Обсуждают результаты в парах. Замечают: в остроугольном центр внутри, в прямоугольном — на середине гипотенузы, в тупоугольном — вне треугольника. |
Эталон решения (для прямоугольного треугольника)
1. Построить серединный перпендикуляр к катету $a$.
2. Построить серединный перпендикуляр к катету $b$.
3. Точка пересечения $O$ совпадёт с серединой гипотенузы $c$.
4. Радиус $R = rac{c}{2}$.
2. Построить серединный перпендикуляр к катету $b$.
3. Точка пересечения $O$ совпадёт с серединой гипотенузы $c$.
4. Радиус $R = rac{c}{2}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Вы сделали важное открытие о расположении центра. Это поможет вам быстро проверять себя в задачах."»
Этап 6. Самостоятельная работа (7 мин)
Цель этапа: проверить усвоение материала через решение задачи на вычисление.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «"Решите задачу: В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см и 8 см. Найдите радиус описанной окружности. Помните о нашем открытии про гипотенузу!"» | Решают задачу самостоятельно. Применяют теорему Пифагора (или египетский треугольник) для поиска гипотенузы (10 см) и делят её пополам. Ответ: 5 см. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Сверьтесь с эталоном на слайде. Если у вас 5 см — вы отлично справились с теорией и практикой."»
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознание учеником результатов своей учебной деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «"Наш урок подходит к концу. Заполните 'Билет на выход': напишите одно предложение — что было самым понятным, и один вопрос — что осталось неясным."» | Пишут краткие ответы на карточках и сдают их учителю. |
2 мин | «"Запишите домашнее задание. Оно разделено по уровням сложности. Выберите тот, который вам интересен."» | Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Построены все 3 типа окружностей, линии построения (дуги серединных перпендикуляров) сохранены, окружность точно проходит через все вершины.
- «4» — Построены 2-3 окружности, но есть небольшие погрешности в точности (окружность не идеально касается одной из вершин).
- «3» — Построена 1 окружность, или допущены ошибки в нахождении центра (использованы биссектрисы вместо перпендикуляров).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
«Где лежит центр описанной окружности у прямоугольного треугольника?» | Проверка усвоения ключевого факта урока. |
«Какой инструмент был самым важным сегодня и почему?» | Осознание значимости серединного перпендикуляра. |
«Сможете ли вы теперь восстановить ту самую античную тарелку?» | Возврат к мотивационному крючку и оценка практической значимости. |
Завершающее слово учителя
«"Сегодня мы не просто изучили новую тему, мы нашли способ соединить прямолинейный мир треугольников с совершенством окружности. Это знание используется везде: от архитектуры куполов до спутниковой навигации, где положение объекта определяется как центр пересечения сфер. На следующем уроке мы заглянем внутрь треугольника и узнаем, как вписать в него окружность. Спасибо за работу!"»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, п. 74, № 702, 705 | Выучить определение и теорему, решить задачи на прямое применение свойств. |
Средний (повышающий) | № 710 + практическая задача | Начертить произвольный треугольник со сторонами 5, 12, 13 см и доказать расчётом положение центра. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческий проект | Подготовить мини-сообщение «Описанная окружность в архитектуре моего города» с фотопримерами. |
Контрольный вопрос: «Как изменится положение центра описанной окружности, если один из углов треугольника станет равен 91 градусу?»